12.3 复数的几何意义 教学课件 2025-2026学年苏教版2019高中数学必修第二册

第十二章复数12.3

复数的几何意义1.理解复数的几何意义；2.理解实轴、虚轴、复数模的概念，掌握用向量的模表示复数模的方法；3.理解复数的加法、复数的减法的几何意义.实数(数)思考2：类比实数的数轴表示，可以用什么来表示复数？思考1：在几何上，我们用什么来表示实数?一一对应

实数用数轴上的点来表示数轴上的点(形)复数的几何意义：根据复数相等的定义，任何一个复数

z=a+bi

都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.

复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数.复数

z=a+bi（数）有序实数对

(a，b)直角坐标系中的点

Z

(a，b)（形）一一对应一一对应一一对应

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x

轴叫做实轴，y

轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数，原点(0，0)表示实数0.

复平面内的纵坐标轴上的单位长度是

1，而不是

i.

复数

z=a+bi可用点

Z(a，b)表示，点

Z

的横坐标是

a，纵坐标是

b.Z(a，b)abZ：a+bi虚轴实轴问题1：由复平面的引入过程我们知道，每一个复数在复平面有唯一确定的点与它对应，反过来，复平面内的每一个点，是否有唯一确定的复数与之对应呢？Z(a，b)abZ：a+bi0点(0，0)对应2点(2，0)对应-i点(0，-1)对应-2+3i点(-2，3)对应复数

z=a+bi

复平面内的点

Z(a，b)

一一对应解：点

A(0，1)

→

zA=

0+i→zA=

i；例1：指出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).DACB点

B(3，2)

→

zB=

3+2i；点C

(-2，0)

→

zC=

-2；点

D

(1，-2)

→

zD=1-2i.问题2：平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？abZ：a+bi复数

z=a+bi平面向量

一一对应连接

OZ，向量

由点

Z唯一确定；反过来，点

Z也可以由向量

唯一确定.规定：相等向量表示同一个复数.为方便起见，常把复数

z=a+bi说成点

Z或向量abZ：a+bi向量

的模叫做复数

z=a+bi的

模

或

绝对值，记作|z|或|a+bi|.即，其中

a，b∈R.如果

b=0，那么

z=a+bi是一个实数

a，它的模就等于|a|(a的绝对值).例2：设复数z1=4+3i，z2=4-3i.（1）在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；（2）求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.解：（1）复数

z1，z2对应的点分别为

Z1，Z2，对应向量分别为

xyO1-32341-223-1（2）例3：设

z∈C，在复平面内

z对应的点为

Z

，那么满足下列条件的点

Z

的集合是什么图形.

(1)|z|=1；(2)1<|z|<2.解：（1）由|z|=1得，向量

的模等于1，所以满足条件|z|=1的点

Z的集合是以原点

O为圆心，以1为半径的圆.(2）不等式1<|z|<2可化为不等式不等式|z|<2的解集是圆|z|=2的内部所有点组成的集合，不等式1<|z|的解集是圆|z|=1的外部所有点组成的集合，两个集合的交集就是不等式组的解集.即以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界.例3：设

z∈C，在复平面内

z对应的点为

Z

，那么满足下列条件的点

Z

的集合是什么图形.(2)1<|z|<2.问题3：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.

由向量加法的几何意义出发如何得出复数加法的几何意义？复数的加法可以按照向量的加法来进行.（复数加法的几何意义）设

分别与复数a+bi，c+di对应，则ZZ1(a，b)Z2(c，d)问题4：类比复数加法的几何意义，说出复数减法的几何意义？xOyZ1(a，b)Z2(c，d)复数

z2-z1思考：|z1-z2|表示什么?两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.复数的减法可以按照向量的减