电子技术基础 课件 7(1)逻辑代数基础

第7章逻辑代数基础7.1数制与码制7.2逻辑代数运算7.3逻辑代数的数学描述7.4逻辑代数的化简7.5逻辑代数的描述方法及转换数字电路的基础知识电子电路中的信号模拟信号数字信号幅度随时间连续变化的信号例：正弦波信号。幅度不随时间连续变化,而是跳跃变化计算机中,时间和幅度都不连续,称为离散变量。tutu101010对应：数字电路中的波形都是这类不连续的波形，通常将这类波形又统称为脉冲。数字逻辑和逻辑电平:我们所研究的数字信号是一种二值信号，我们用逻辑0和逻辑1来表示。例如：开关打开用逻辑1表示，而开关闭合用逻辑0表示。在数字电路中，我们用逻辑0和逻辑1来表示高电平和低电平。有两种逻辑体制：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。如果采用正逻辑，数字电压信号就成为下图所示逻辑信号

数码：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。

计数制（简称数制）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。§7.1数制与码制一、数制几种常用的计数体制1.十进制（Decimal）2.二进制（Binary）3.十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）数码为：0～9；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：1）十进制５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－22）二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1运算规则各数位的权是２的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。八进制数的权展开式：如：(207.04)8＝2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝(135.0625)103）八进制4）十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16＝

13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各数位的权是8的幂各数位的权是16的幂结论①一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律为逢N进一。②如果一个N进制数M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即(an-1an-2…a1a0·a－1a－2…a－m)N则该数的权展开式为：(M)N

＝an-1×Nn-1

＋

an-2×Nn-2

＋…＋a1×N1＋

a0×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m表1几种计数进制数的对照表十进制二进制八进制十六进制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F二、不同数制间转换：1、二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数：按权相加法2、十进制数转换为二进制数：（1）整数：除基取余倒记法（2）小数：乘基取整正记法（3）一般十进制数：分解为整数和小数两部分，分别转换后，再合并整数部分采用除基取余法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘基取整法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。225余1122余062余032余112余10例1：整数(25)D=(11001)B0.8125取整1例2：小数(0.8125)D=(0.1101)B

21.6250.625

2

2

21.250.250.50.51取整1取整0取整1注意：不是任何有限位的十进制小数都能化为有限位的二进制小数。例3：一般十进制数：(25.8125)D=(25)D+(0.8125)D=(11001)B+(0.1101)B=(11001.1101)B

a.二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。3.二进制数与八进制数的相互转换1101010.01000＝(152.2)8

b.八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。 =011111100.010110(374.26)8(10011100101101001000)B从末位开始三位一组=(10011

100101

101

001

000)B

=()O01554=(2345510)O324.二进制数与十六进制数的相互转换111010100.0110000＝(1D4.6)16=101011110100.01110110(AF4.76)16二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。=(010111001011.01001000)B从小数点开始四位一组=(0101

1100

1011.

01001000)B

=()H84B.C5=(5CB.48)H(10111001011.01001)B用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0~9十个数码。简称BCD码。

用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。三、编码常用BCD码十进制数8421码余3码5421码2421码01234567890000000100100011010001010110011110001001001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111权842154212421

每一位十进制数都用四位二进制数示。

四位二进制数中的每一位都有固定的权值。（1）8421BCD码每一位的权值从高位到低位分别为：

BCD码具有十进制数的特点、二进制数的形式。是人-机对话的中间表示。23

,22

,21,20

即：8,4,2,1BCD码分为有权BCD码和无权BCD码1、有权BCD码：特点：1、每个十进制数用四位二进制数表示。3、8421码和十进制数之间直接按位转换。2、四位二进制数有16种状态组合，8421码只用了前十种，1010～1111六种没有使用，是禁用码。位权值00000100012001030011401005010160110701118100091001十进制数8421

例1:(37.86)10=(?)8421BCD=(00110111.10000110)8421BCD一位十进制数，用四位二进制数表示。例2:(011000101000.10010101)8421BCD=(?)10四位二进制数,可以表示一位十进制数。=(0110，0010，1000.1001，0101)8421BCD=(628.95)10十进制数位权值300114010051000610017101081011911000000010001200105421特点：

1、每一位的权值从高位到低位分别为：5，4,2,1

2、前五位与8421码相同3、直接按权展开求十进制。（1011)5421BCD=1X5+0X4+1X2+1X1=(8)104、5421BCD码和十进制之间可直接按位转换。（645.89)10=(?)5421BCD

=(100101001000.10111100)5421BCD（2）5421BCD码特点：1、每一位的权值从高位到低位分别为：2，4，2，1

。2、前五位与8421码相同。3、直接按权展开求十进制。4、2421BCD码和十进制之间可直接按位转换。5、2421BCD码具有对9的自补特性。000011110001111000101101按位求反（3）2421BCD码特点：1、无权BCD码，没有确定的位权值。2、不能按位权展开求十进制。3、有自身特点，根据使用条件，按需选用。2、无权BCD码：特点：1、比8421BCD码多出0011所以称为余3码。余3码=8421码+00112、余3码，没有确定的位权值只能理解记忆和十进制之间的关系。3、余3码也是一种对9的自补代码。0011110001001011（1）、余三码7.2逻辑代数运算数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1。一、基本逻辑运算设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表。

与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。1．与运算若用逻辑表达式来描述，则可写为

真值表

ABF000010100111与逻辑符号:ABF

&或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。2．或运算

真值表

ABF000011101111或逻辑表达式：

或逻辑符号:ABF≥13．非运算“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。真值表0110AF非逻辑表达式：

非逻辑符号:1FA二、其他常用逻辑运算2．或非

——由或运算和非运算组合而成。

1．与非

——由与运算和非运算组合而成。FFFF3．与或非——由与运算、或运算和非运算组合而成。与或非逻辑的逻辑符号4．异或

逻辑关系：当两个变量取值相同时，输出为0；当两个变量取值不同时，输出为1。

异或的逻辑表达式为：Y5．同或

逻辑关系：当两个变量取值相同时，输出为1；当两个变量取值不同时，输出为0。

异或的逻辑表达式为：Y=A⊙B=17.3逻辑代数的数学描述1、18个基本公式0－1律重叠律互补律交换律结合律分配律反演律非非律分配律:

A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)求证:（分配律第2条）A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;重叠律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边反演定理（德摩根定理）A•B=A+B

A+B=A•B用真值表证明ABA•BA+B1110000110111110证明:2、5个常用公式A⊙B()吸收律反变量吸收原变量吸收混合变量吸收吸收规则：原变量吸收规则:反变量吸收规则:A+AB=A+BA+AB=A+B注:红色变量被吸收掉！A+AB=A+AB+AB=A+(A+A)B=A+1•B;A+A=1=A+BA+AB=A证明:推广混合变量吸收规则:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+A