2023届九师联盟高三开学考试数学（理）试题

高三理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若集合,则A.B.C.D.2.若复数满足,则A.B.C.D.3.已知为等差数列的前项和,若,则A.450B.400C.350D.2254.“”成立的一个必要不充分条件为A.B.C.D.5.已知满足约束条件则的最大值为A.5B.6C.-7D.-36.如图,在四边形中,分别为的中点,若,则A.B.C.D.7.如图,在正方体中,点为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.8.已知双曲线与斜率为1的直线交于两点,若线段的中点为,则的离心率A.B.C.D.9.如图,函数的图象过两点,为得到函数的图象,应将的图象A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度10.已知是上的奇函数,且,则A.-3B.-1C.1D.211.已知为抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点,若,则A.1B.2C.3D.412.已知定义在上的函数满足为的导函数,当时,,则不等式的解集为A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的系数为560,则实数的一个值为______.14.在等比数列中,,且,则数列的公比______.15.已知,则曲线在点处的切线方程为______.16.如图,在三棱锥中,平面平面,点在上,,过点作三棱锥外接球的截面,则截面圆面积的最小值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角;(2)若边上的高为,求.18.(本小题满分12分)2022年7月6日～14日,素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会,受疫情影响,在线上进行,世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生,得到如下调查结果:男生占调查人数的55%,喜欢数学的有40人,其余的人不喜欢数学;在调查的女生中,喜欢数学的有20人,其余的不喜欢数学.请完成下面列联表,并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关?喜欢数学不喜欢数学合计男生女生合计(2)采用分层抽样的方法,从不喜欢数学的学生中抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记为3人中不喜欢数学的男生人数,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.临界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,侧面底面为的中点.(1)若,求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,且与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点,点在上.(1)求的方程;(2)过点作互相垂直且与轴均不重合的两条直线分别交于点和,若分别是弦的中点,证明:直线过定点.21.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,判断曲线与曲线交点的个数,并说明理由.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.