2024 届广东省四校高三第一次联考数学答案

参考答案：1．D【解析】由题意，，故，故2．A【解析】由复数，可得，对应的点为，在第一象限.故选：A.3．A【分析】先由不等式恒成立求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】由在上恒成立，得在上恒成立，令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，所以，所以，所以“在上恒成立”的充要条件为，所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件，故选：A4．C【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积及模的坐标运算求解即可.【详解】由题意，，，所以，如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立平面直角坐标系，

则，所以，，，所以，，，，，所以，所以选项ABD正确，C错误.故选：C5.B【解析】4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有种不同情况，记者A被安排到甲组有种，所求概率为，故选:B．6.B【解析】记双曲线C的右焦点为，P为第二象限上的点，连接PF，，QF，，根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形为平行四边形.因为，所以四边形为矩形，而直线l的斜率为，所以，，又，所以，则．故选：B．7.C【解析】根据题意，可得，且，所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为，可得，所以，所以外接球的表面积为.故选：C.8.A【解析】fx=2sinωx+π3+a-1sinωx=asinωx+3cosωx=a2+3∴a2+3=23，又a>0，∴a=3，∴fx=2sin⁡(ωx+π6)，又0<x<π知π6选A.9.【答案】ACD【详解】对选项A：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，正确；对选项B：，，解得，错误；对选项C：根据正态分布的对称性知，，，则，正确；对选项D：，故，，即，解得，故，D正确.故选：ACD10.【答案】BC【解析】对于A，恒成立，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，A错误；对于B，，，，所以存在正数，使得恒成立，则数列是有界的，B正确；对于C，当为偶数时，；当为奇数时，；，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，C正确；对于D，，；在上单调递增，，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，D错误.故选：BC.11.【解析】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP=2(0≤a≤2)，则P(a,2,2)，E(2,1,0).AC1=(-2,2,-2)，DE1∙AC由PE=PD1知a2+VE-PC1D1=又D1E=(2,1,0)，D1P由D1令x=2则y=-4，z=4-a，∴n又平面D1EC∴|cos<n又0≤a≤2，∴4≤(4-a)2≤16故D错误.（几何法）记棱A1D1，D1D则AC1⊥EF，若AC1⊥平面D1EP，则AC故A错误.连接EB，D1C，易知BC⊥EB，BC⊥D1记BP=m(0≤m≤2)则EP=m2+5由m2得m=74∈0,2.VE-PC1D1=过点P作PM⊥B1C1于点M，易知PM⊥D1E，过点M作MN⊥D1E于点N，知D1E⊥平面PMN设正方体棱长为2，NM=x，则NP=x2+4x记BP=m(0≤m≤2)x分析易知M在C1时x取到最大值，此时xM在B1时x取到最小值，此时x又C1N1B1N2所以255≤x≤∴cos∠故D错误.12.【解析】法1：t=x1ex1=x2lnx2=lnx2elnx2，又f'x=ex(x+1)，知fx在(-∞,-1)上递减，在(-1,从而lntx1x2=lntt(t>0)，设φt=lntt，则φ't=1-lntt2g'x=lnx+1=0⟹x=1e，∴x=1e，易知gx在(0,1e)令fx-gx=x(ex-lnx)，令rx=ex-lnx，则r'x=ex-1x，易知r'x在(0,+∞)上递增，又r'12∴fx-gx=x∙rx>2x，故选ABD.法2：对于选项AB可以采用如下方法，由x1ex1=t，x2lnx2=t得ex1=tx1，lnx2=tx2，故x113.-6【详解】二项式(x-y)6的展开式通项公式为Tr+1=C6当时，T6=C6故答案为：-614.【解析】fx=sinx+1x，又，则，故答案为：．15.根据偏导数的定义，在求对偏导数时，中可作为常数，即函数可看作是的一元函数求导，同理在求对偏导数时，中可作为常数，即函数可看作是的一元函数求导，所以，，，最小值是.16.【解析】易知RQ的方程为mx=2(y-2)，从而直线RQ过定点B(0,2)，从而A在直线RQ上的射影H的轨迹就是⊙D：x2+y-32=1，当FH与17．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，，…………1分由题意得，解得或，…………3分所以由等差数列通项公式可得或．故或；………………5分（2）当时，分别为，，2，不成等比数列；…………6分当时，分别为，2，成等比数列，满足条件．故，……………………7分记数列的前项和为，.……8分.………………10分18．【详解】（1），由正弦定理，，……1分于是，…………2分，即，得，………………3分由，则，………4分得到，根据辅助角公式可得，，结合，故，可得………………6分（2）法一：在中，由余弦定理得：，得，①……7分又因为，所以，且，即，………………8分△ADB和△ADC中，由余弦定理得，②……10分联立①②消去得.………………11分（当且仅时等号成立），所以的面积.所以面积最大值为.……12分法二：延长AD至E，使AD=DE，连BE，则∠ABE=S△ABC=在△ABC中，AB2+BE当且仅当b=c时“=”成立，………………∴S△ABC=34bc≤3419．【详解】（1）取中点，连接.

在中，分别为的中点，所以.在菱形中，因为，所以.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面平面，所以平面.（判定定理3条，证明线线平行2分，其余两条1分）……4分（2）因为平面平面，所以.连接，因为，且，所以，在菱形中，，即为正三角形.又因为为中点，所以，………………6分以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

又因为.因为为正三角形且，所以.设，……7分则，根据条件，可得平面的法向量为.……8分设平面的法向量为，则，所以，取，则，所以，………………10分由题意，二面角的大小为，所以，解得（舍负）.…………11分因为是的中点，所以的长为12.…………12分经检验符合题意.20.【解析】（1）得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，所以，……1分得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，所以；………………3分（2）方法1：由题意可知，的所有可能取值为.…………4分…………5分故的分布列如下所以……8分…………9分又由………………10分，…………11分…………12分方法2：设回答次，其中正确回答次数为，由于正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，故，…………5分又由…………7分从而的分布列及数学期望分别如下……10分…………12分21.【解析】（1）易知S△∴b=5，故椭圆的方程为x29+（2）法1：设AC的方程为x=2+ty，Axx=2+tyx29∴y1+y2=-20t设P(92,m)，则k2=∴===…………12分法2：设AC的方程为x=2+ty，Axx=2+tyx29∴y1+y2∴y1+y2设P(9k==4m5=2∙∴k2k122.【解析】（1）依题意得，，此时，，……1分则切线斜率为，…………2分故切线方程：，即…………3分（2）时a=-1，fx=sin∴f'x∴f'x在0,又f0=-1，fπ2=1-eπ（3）gxg'g'x>0⟹x>-lna；g'x<0⟹x<-lna.gx减区间为∴gx当a=1时，1+lna-a=0，∴g(x)≥0，∴g(x)在(-