2022-2023学年浙江省衢温5+1联盟高二（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年浙江省衢温5+1联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x+2≥0}，B＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}，则A⋂B＝（）A．[﹣2，2） B．（﹣3，2） C．[﹣2，+∞） D．（﹣3，﹣2]2．（5分）复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知圆C1：（x﹣2m）2+（y﹣2m）2＝9（m﹣2）与圆C2：x2+y2﹣8x﹣8y+34﹣m＝0，则“m＝4”是“圆C1与圆C2外切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图，四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，设，若可用表示为（）A． B． C． D．5．（5分）设a＝log72，b＝log83，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a6．（5分）已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的表面积为（）A． B． C．8π D．16π7．（5分）超市举行回馈顾客有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后可参加抽奖活动，抽奖原则是：从装有4个红球、6个黄球的甲箱和装有5个红球、5个黄球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，得奖金20元；若只有1个红球，则获二等奖，得奖金10元；若没有红球，则不获奖．现某顾客有3次摸奖机会，则该顾客3次摸奖共获得40元奖励的概率为（）A． B． C． D．8．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2|MB|+|MD|的最小值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知直线l：（1+2λ）x+（1﹣λ）y﹣3﹣3λ＝0（λ∈R），圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2（a≠0），下列说法正确的是（）A．圆C的圆心为C（﹣2，﹣1），半径r＝a B．直线l与圆相交且平分圆C的面积与周长 C．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则λ＝0 D．若直线l的倾斜角为，则λ＝1（多选）10．（5分）关于函数的描述正确的是（）A．函数f（x）图象的一条对称轴为直线 B．函数f（x）在上单调递增 C．函数f（x）在[0，π]上有2个零点 D．将f（x）的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称（多选）11．（5分）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．≥（a＞0，b＞0） B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C．≥（a＞0，b＞0） D．≥（a≥0，b＞0）（多选）12．（5分）如图，若正方体的棱长为2，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的一个动点（含边界），Q是棱CC1的中点，则下列结论正确的是（）A．若保持∠POC1＝60，则点P在底面A1B1C1D1内运动路径的长度为 B．三棱锥D1﹣PBQ体积的最大值为 C．若PO⊥BD，则二面角B1﹣PQ﹣C1的余弦值的最大值为 D．若PQ⊥BD，则AB与PQ所成角的余弦值的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）已知平面上三点A（﹣1，1），B（﹣5，4），C（4，1），则在上的投影向量的坐标为．14．（5分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝5，AB＝12，上底面A1B1C1D1的中心O到平面A1BCD1的距离是．15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（x），若，则＝．16．（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2c＝a+2bcosA．（1）求角B的值；（2）若c﹣a＝1，且cosC＝，求△ABC的面积．18．（12分）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康．为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：收入（千元）[6，8）[8，10）[10，12）[12，14）[14，16）[16，18]频数151035201010（1）估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数和平均数；（2）用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在[6，8）和[8，10）的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在[8，10）千元的概率；19．（12分）已知在梯形ABCD中，AD＝BC，A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（﹣），E为AD中点．（1）求直线CD的方程；（2）求△ABE的外接圆的方程及该圆上一点到点C的距离的最小值．20．（12分）函数f（x）＝，g（x）＝x2+ax+3．（1）当x∈[1，4]时，总有g（x）≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若a＞﹣3，对∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．21．（12分）如图1，等腰梯形AECD是由三个全等的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至△BCP，使得PD＝AB，如图2所示．（1）求证：PD⊥BC；（2）在直线PD上是否存在点M，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，过F2作不与x轴重合的直线l交椭圆C于M、N两点，△F1MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）设线段MN的垂直平分线l1交x轴于点P，是否存在实数λ，使得|MN|＝λ|PF2|？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（3）以F1为圆心4为半径作圆，过F2作直线l1∥l2交圆F于A、B两点，求四边形AMBN的面积的最小值及取得最小值时直线l的方程．

2022-2023学年浙江省衢温5+1联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x+2≥0}，B＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}，则A⋂B＝（）A．[﹣2，2） B．（﹣3，2） C．[﹣2，+∞） D．（﹣3，﹣2]【分析】先解不等式得A、B，再利用交集的定义计算即可．【解答】解：由题意可得x+2≥0⇒x≥﹣2，（x﹣2）（x+3）＜0⇒﹣3＜x＜2，即A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，所以A⋂B＝[﹣2，2）．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．2．（5分）复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算可化简，从而可求对应的点的位置．【解答】解：，所以该复数对应的点为（1，1），该点在第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．3．（5分）已知圆C1：（x﹣2m）2+（y﹣2m）2＝9（m﹣2）与圆C2：x2+y2﹣8x﹣8y+34﹣m＝0，则“m＝4”是“圆C1与圆C2外切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】求出圆心和半径，利用圆外切的等价条件求出m的值，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可，【解答】解：圆C1：（x﹣2m）2+（y﹣2m）2＝9（m﹣2）的圆心坐标为（2m，2m），半径R＝3（m＞2），圆C2：x2+y2﹣8x﹣8y+34﹣m＝0，可化为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝（m﹣2）的圆心坐标为（4，4），半径r＝（m＞2），由两圆相外切，可得C1C2＝R+r＝4，即|C1C2|＝＝4，得m＝4或m＝2（舍去），则“m＝4”是圆C1与圆C2外切”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用两圆外切的等价条件求出r是解决本题的关键，是中档题．4．（5分）如图，四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，设，若可用表示为（）A． B． C． D．【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，设，所以＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．5．（5分）设a＝log72，b＝log83，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】根据对数函数的单调性判定即可．【解答】解：易知．故选：C．【点评】本题主要考查了对数函数的性质在函数值大小比较中的应用，属于基础题．6．（5分）已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的表面积为（）A． B． C．8π D．16π【分析】由圆锥体的结构特征求体高，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式求表面积即可．【解答】解：由题设，圆锥的底面半径为1，母线长为2，所以圆锥体的高为h＝＝，若外接球的半径为r，则（﹣r）2+12＝r2，可得r＝，所以圆锥的外接球的表面积为4πr2＝．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的外接球的表面积计算，属于基础题．7．（5分）超市举行回馈顾客有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后可参加抽奖活动，抽奖原则是：从装有4个红球、6个黄球的甲箱和装有5个红球、5个黄球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，得奖金20元；若只有1个红球，则获二等奖，得奖金10元；若没有红球，则不获奖．现某顾客有3次摸奖机会，则该顾客3次摸奖共获得40元奖励的概率为（）A． B． C． D．【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：由题意可知，顾客抽一次奖，获得一等奖的概率为＝，获得二等奖的概率为＝，不获奖的概率为＝，该顾客3次摸奖共获得40元奖励，包括2次一等奖和1次不获奖，1次一等奖和2次二等奖，两种情况，则概率P＝+＝．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．8．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2|MB|+|MD|的最小值为（）A． B． C． D．【分析】建立直角坐标系，取点E（0，），探讨满足条件|M′D|＝2|M′E|的点M′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答．【解答】解：依题意，以点C为坐标原点，直线CB，CD所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图，取点E（0，），设M′（x，y），则当|M′D|＝2|M′E|时，＝2，化简整理得x2+y2＝1，∴点M′的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，∵点M在以C为圆心，1为半径的圆上，∴|MD|＝2|ME|，∴点B在圆C：x2+y2＝1外，则2|MB|+|MD|＝2（|MB|+|ME|）≥2|BE|，当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号，∵|BE|＝＝，∴2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|＝．故选：D．【点评】本题考查两点间距离公式、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知直线l：（1+2λ）x+（1﹣λ）y﹣3﹣3λ＝0（λ∈R），圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2（a≠0），下列说法正确的是（）A．圆C的圆心为C（﹣2，﹣1），半径r＝a B．直线l与圆相交且平分圆C的面积与周长 C．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则λ＝0 D．若直线l的倾斜角为，则λ＝1【分析】根据圆的标准方程，结合直线所过的定点逐一判断即可．【解答】解：（1+2λ）x+（1﹣λ）y﹣3﹣3λ＝0⇒（x+y﹣3）+（2x﹣y﹣3）λ＝0，直线l过定点（2，1）．A：由（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2（a≠0）可知，圆C的圆心为C（2，1），半径为|a|，故A不正确；B：因为直线l过定点（2，1）恰好是圆C的圆心，所以直线l与圆相交且平分圆C的面积与周长，故B正确；C：当λ＝﹣1时，直线l的方程为﹣x+2y＝0，所以y＝x，直线l在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，故C不正确；D：因为直线l的倾斜角为，所以，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查直线恒过定点的求法，直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（多选）10．（5分）关于函数的描述正确的是（）A．函数f（x）图象的一条对称轴为直线 B．函数f（x）在上单调递增 C．函数f（x）在[0，π]上有2个零点 D．将f（x）的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称【分析】利用三角恒等变换化简函数式结合三角函数的图象与性质一一判定即可．【解答】解：由二倍角公式、诱导公式及辅助角公式可得，对于A项，可知时取得最小值，故A正确；对于B项，当，由正弦函数的单调性知此时函数递减，即B错误；对于C项，，可知或时函数值为零，即有两个零点，故C正确；对于D项，f（x）的图象向右平移个单位得函数，显然函数不关于原点对称，即D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．≥（a＞0，b＞0） B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C．≥（a＞0，b＞0） D．≥（a≥0，b＞0）【分析】分别在Rt△ADB和Rt△OCD中，利用射影定理和OD≥CD、CD≥DE判定选项A、C正确．【解答】解：∵AC＝a，BC＝b，∠ADB＝，根据图形，在Rt△ADB中，由射影定理得CD2＝AC⋅CB，所以CD2＝ab，由OD≥CD，且OD＝，得：（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号，即A正确；在Rt△OCD中，同理得CD2＝DE⋅OD，所以DE＝，又CD≥DE，所以（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号，即C正确；故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在实际问题中的应用，属于中档题．（多选）12．（5分）如图，若正方体的棱长为2，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的一个动点（含边界），Q是棱CC1的中点，则下列结论正确的是（）A．若保持∠POC1＝60，则点P在底面A1B1C1D1内运动路径的长度为 B．三棱锥D1﹣PBQ体积的最大值为 C．若PO⊥BD，则二面角B1﹣PQ﹣C1的余弦值的最大值为 D．若PQ⊥BD，则AB与PQ所成角的余弦值的最大值为【分析】根据题意可知，A选项中点P的轨迹是以C为圆心，半径为的圆的四分之一，即可得轨迹长度为，判断出A正确；建立空间直角坐标系，由△BQD1的面积为定值可知P到平面BQD1的距离最大时，三棱锥D1﹣PBQ体积的最大值为，可得B正确；对于C、D选项，当PQ⊥BD时可得点P在A1C1上，设出点P坐标并利用空间向量可求得二面角B1﹣PQ﹣C1的余弦值的最大值为，可判断C错误，AB与PQ所成角的余弦值的最大值为，可得D正确．【解答】解：对于A，根据题意可知QC1⊥平面A1B1C1D1，所以△PQC1为直角三角形，即∠PC1Q＝90°，且QC1＝1，若保持∠PQC1＝60°，可知，所以点P的轨迹是以C1为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆，因此点P在底面内的运动路径长度为，即A正确；对于B，以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知D1（0，0，0），B（2，2，2），Q（0，2，1），则，，设平面BQD1的一个法向量为，可得，令z＝2，可得x＝﹣1，y＝﹣1，即；可设P（m，n，0），0≤m≤2，0≤n≤2，则，所以P到平面BQD1的距离为，易知当m＝n＝2时，距离最大值为；又在△BQD1中，易知，所以BD1边上的高为；其面积为定值，即；所以P到平面BQD1的距离最大时，三棱锥D1﹣PBQ体积的最大为，即B正确；所以可得点P在∩平面AA1C1C，又点P在底面A1B1C1D1内，平面AA1C1C∩平面A1B1C1D1＝A1C1，所以P∈A1C1，根据B中的坐标系可知，所以可得P（m，2﹣m，0），0≤m≤2，B1（2，2，0），C1（0，2，0），Q（0，2，1）；则，，设平面B1PQ的一个法向量为，可得，令x1＝m，则y1＝m﹣2，z1＝2m，即；易知平面PQC1的一个法向量为，所以，易知当m＝1时，，当m∈（1，2]时，，令，可得在（1，2]上恒成立，即f（m）在（1，2]上单调递增；此时m＝2时，最大，当，易知f（m）在[0，1）上单调递减，所以m＝0时，cos＜，＞＝取得最小值，又由图可知，当m＝0时，二面角B1﹣PQ﹣C1为锐角，所以二面角B1﹣PQ﹣C1的余弦值的最大值为，即C错误；对于D，根据选项C易知，可得，当m＝0时，．当m≠0时，，易知当m＝2时，取到最大值为，综上可知，AB与PQ所成角的余弦值的最大值为，即D正确；故选：ABD．【点评】本题主要考查在求解立体几何中动点问题时，往往根据其几何位置关系找到变量之间的数量关系式，结合变量与定值之间的关系利用函数单调性或基本不等式求得最值，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）已知平面上三点A（﹣1，1），B（﹣5，4），C（4，1），则在上的投影向量的坐标为（﹣4，0）．【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．【解答】解：因为，所以，||＝5，所以在上的投影向量的坐标为：＝＝（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．【点评】本题考查平面向量的坐标运算和投影向量，属于基础题．14．（5分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝5，AB＝12，上底面A1B1C1D1的中心O到平面A1BCD1的距离是．【分析】根据线面平行的性质，O到平面A1BCD1的距离等于点E到平面A1BCD1的距离，又点E到平面A1BCD1的距离等于点B1到平面A1BCD1的距离的一半，计算出点B1到平面A1BCD1的距离即可．【解答】解：如图，过点O作OE∥A1D1交A1B1于点E，过点B1作B1H⊥A1B，过点E作EF⊥A1B，可得E是A1B1的中点，EF∥B1H，，∴OE∥平面A1BCD1，∴O到平面A1BCD1的距离等于点E到平面A1BCD1的距离，因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以CB⊥平面ABB1A1，∴CB⊥B1H，又B1H⊥A1B，∴B1H⊥平面A1BCD1，又EF∥B1H，∴EF⊥平面A1BCD1，在△A1B1B中，由等面积法可得，，∴，点E到平面A1BCD1的距离为，∴O到平面A1BCD1的距离等于．故答案为：．【点评】本题主要考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（x），若，则＝﹣2．【分析】利用奇函数性质与f（2﹣x）＝f（x）可知函数f（x）的周期为4，即可求得结果．【解答】解：根据题意可知f（2﹣x）＝f（x）＝﹣f（x﹣2），即可得f（x）＝﹣f（x﹣2）；所以f（x﹣2）＝﹣f（x﹣4），因此可得f（x）＝f（x+4），即函数f（x）的周期为4，所以，即．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16．（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为．【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率．【解答】解：根据题意画出图象如图所示：利用椭圆定义可知|PF1|+|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝60°，利用余弦定理可知：＝，化简可得，所以△PF1F2的面积为，设△PF1F2的外接圆半径为R，内切圆半径为r，由正弦定理可得，可得，易知△PF1F2的周长为l＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c，利用等面积法可知，解得，又△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，可得，所以10c＝8a，离心率．故答案为：．【点评】本题考查了求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，重点考查了等面积法公式求三角形内切圆半径，属中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2c＝a+2bcosA．（1）求角B的值；（2）若c﹣a＝1，且cosC＝，求△ABC的面积．【分析】（1）代入正弦定理，利用两角和差公式即可求值；（2）先求出sinA，再根据正弦定理可得a，c边长，即可求得面积．【解答】解：（1）∵2c＝a+2bcosA，∴2sinC＝sinA+2sinBcosA，∵A+B+C＝π，∴2sin（A+B）＝sinA+2sinBcosA，∴2cosBsinA＝sinA，∴，∴；（2）∵，∴，∴，由，得4a＝3c，又c﹣a＝1，解得a＝3，c＝4，∴．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差公式，属于基础题．18．（12分）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康．为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：收入（千元）[6，8）[8，10）[10，12）[12，14）[14，16）[16，18]频数151035201010（1）估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数和平均数；（2）用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在[6，8）和[8，10）的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在[8，10）千元的概率；【分析】（1）根据已知条件，结合众数、百分位数的定义，以及平均数公式，即可看求解；（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．【解答】解：（1）众数为，前三组的频率之和为0.15+0.10+0.35＝0.60，前四组的频率之和为0.05+0.30+0.35+0.10＝0.80，则第75百分位数在第4组中，设第75百分位数为t，则解得：t＝13.5，即第75百分位数为13.5；平均数为7×0.15+9×0.1+11×0.35+13×0.2+15×0.1+17×0.1＝11.6；（2）由分层抽样比例为100：20＝5：1，所以这在[6，8）和[8，10）的贫困户两组中所抽取的人数分别为＝3，＝2，记年收入在[6，8）的3名贫困户分别为A，B，C，年收入在[8，10）的2名贫困户分别为a，b，则从中随机抽取2户的所有可能结果为：AB，BC，AC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，其中抽到至少有一名在[8，10）的贫困户的可能结果：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，有7种，故年收入在[8，10）的贫困户至少有1人被抽到的概率：．【点评】本题主要考查分层抽样的方法，属于基础题．19．（12分）已知在梯形ABCD中，AD＝BC，A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（﹣），E为AD中点．（1）求直线CD的方程；（2）求△ABE的外接圆的方程及该圆上一点到点C的距离的最小值．【分析】（1）根据两条直线平行的知识可得出直线CD的斜率，结合点C坐标解出直线CD的方程；（2）先根据题意求出D点的坐标，再求出AD中点E点坐标，可判断出AE⊥BE，从而得出△ABE的外接圆方程，利用点与圆的位置关系，可求出圆上一点到点C的最小值．【解答】（1）解：因为梯形ABCD，AD＝BC，故AB∥DC，所以，又直线CD过点，所以直线CD的方程为：，即x﹣2y+7＝0；（2）设点D（m，n），则m﹣2n+7＝0①，又由AD＝BC，得②，联立①②，解得或，当时，四边形ABCD为平行四边形，故舍去，故D（﹣1，3），因为E为AD中点，所以由中点坐标公式得E（﹣1，1），所以得到直线BE斜率不存在，AE斜率为0，所以BE⊥AE，即△ABE是以∠AEB为直角的直角三角形，所以△ABE的外接圆圆心为AB的中点F（1，0），半径，所以△ABE外接圆方程为（x﹣1）2+y2＝5，由，得圆上一点到点C的最小值为，所以△ABE的外接圆的方程为（x﹣1）2+y2＝5，该圆上一点到点C的距离的最小值为．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．20．（12分）函数f（x）＝，g（x）＝x2+ax+3．（1）当x∈[1，4]时，总有g（x）≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若a＞﹣3，对∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．【分析】（1）∀x∈[1，4]，x2+ax+3≥a恒成立，整理得﹣a（x﹣1）≤x2+3，对x分x＝1与x≠1讨论，对后者分离参数a，利用基本不等式可求得答案；（2）依题意，分别求得f（x1）的值域A与g（x）的值域B，利用A⊆B，可列式求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵g（x）＝x2+ax+3，当x∈[1，4]时，总有g（x）≥a成立，即∀x∈[1，4]，x2+ax+3≥a恒成立，整理得﹣a（x﹣1）≤x2+3，当x＝1时，4≥0恒成立；当x≠1时，得﹣a≤＝（x﹣1）++2对∀x∈[1，4]恒成立，∵（x﹣1）++2≥2+2＝6（当且仅当x﹣1＝，即x＝3时取等号），∴﹣a≤6，∴a≥﹣6，即实数a的取值范围为[﹣6，+∞）；（2）∵x1∈[2，+∞），∴f（x1）＝x1+＝x1﹣1++1≥2+1＝3（当且仅当x1﹣1＝，即x1＝2时取等号）∴f（x1）的值域A＝[3，+∞）．又x2∈[2，+∞），a＞﹣3，∴g（x）＝x2+ax+3的对称轴方程为x＝﹣＜，∴g（x）＝x2+ax+3在[2，+∞）上单调递增，又g（2）＝7+2a，∴当x2∈[2，+∞），g（x）的值域B＝[7+2a，+∞），∵对∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），使得f（x1）＝g（x2），∴A⊆B，∴7+2a≤3，解得a≤﹣2，又a＞﹣3，∴实数m的取值范围为（﹣3，﹣2]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．21．（12分）如图1，等腰梯形AECD是由三个全等的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至△BCP，使得PD＝AB，如图2所示．（1）求证：PD⊥BC；（2）在直线PD上是否存在点M，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面POD，再由线面垂直性质可得PD⊥BC；（2）利用线面角定义，作出线面角的平面角，利用余弦定理能求出结果．【解答】解：（1）证明：在图1中，连接DE，交BC于点O，在图2中，由题意得BCP都是等边三角形，∴DO⊥BC，PO⊥BC，∵DO∩PO＝O，∴BC⊥平面POD，∵直线PD⊂平面POD，∴PD⊥BC．（2）假设存在点M，符合题意，设AB＝2，则PD＝3，在△POD中，∵OD＝OP＝，PD＝3，∴由余弦定理得cos∠POD＝＝＝﹣，∵∠POD∈（0°，180°），∴∠POD＝120°，由（1）得直线BC⊥平面POD，又AD∥BC，∴直线AD⊥平面POD，∵AD⊂平面ADP，∴平面ADP⊥平面POD，作OQ⊥PD，垂足为Q，则OQ⊥平面ADP，在△POD中，由OD＝OP＝，DP＝3，∠POD＝120°，得OQ