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2026年高考数学立体几何试题及答案一、选择题已知棱台的上、下底面分别为边长为2和4的正三角形，下列命题中正确的是（）A.棱台的侧棱长均相等B.棱台的所有侧面均为全等的等腰梯形C.棱台的侧棱延长线必交于同一点D.棱台的高等于两底面正三角形中心的距离答案：C解析：棱台是由棱锥被平行于底面的平面截得的，因此侧棱延长线必交于原棱锥的顶点（同一点），C正确。棱台的侧棱长不一定相等（除非原棱锥为正棱锥），A错误；侧面为梯形，但不一定全等（侧棱长度可能不同），B错误；棱台的高是两底面间的垂直距离，而两底面中心的距离是沿棱锥高的分量，若原棱锥的高与底面不垂直，则中心距离不等于棱台的高，D错误。二、填空题在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，O为三棱锥P-ABC外接球的球心，则该外接球的体积为________。答案：解析：由PA⊥平面ABC，AB⊥BC，可将三棱锥补形为长方体，其中PA、AB、BC分别为长方体的三条棱。外接球的直径等于长方体的体对角线，体对角线长度为==2？不，PA=AB=BC=2，AB⊥BC，PA⊥AB且PA⊥BC，故长方体的长宽高应为AB=2，BC=2，PA=2，体对角线应为=2，则半径R=，体积应为π=4π？这里可能出错。重新分析：PA⊥平面ABC，AB⊥BC，故底面ABC为直角三角形，直角边AB=2，BC=2，斜边AC=2。外接球的球心O到四个顶点距离相等。设底面ABC的外心为，则为AC的中点（直角三角形外心在斜边中点），坐标可设为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则坐标为(1,1,0)。球心O在过且垂直于底面ABC的直线上（即z轴方向），设O(1,1,h)，则OP=OA，即=，解得h=1。故球心O(1,1,1)，半径R三、解答题如图（注：实际考试中无图，需文字描述），四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点，PA=AD=2，AB=。（1）证明：PB∥平面AEC；（2）求二面角E-AC-D的余弦值。（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO。∵底面ABCD为矩形，∴O为BD的中点。又E为PD的中点，∴EO为△PBD的中位线，故EO∥PB。∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC。（2）解：以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(,0,0)，C(,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E为PD中点，故E(0,1,1)。平面ACD的法向量可取→=设平面EAC的法向量为→=→AC=由→·→Ax+y+取

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