北京市海淀区2026届高三下学期一模数学试题（含答案）

北京市海淀区2026届高三下学期一模数学试题（含答案）本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合\(A=\{x|\log_2(x+1)\lt2\}\)，\(B=\{x|x^2+2x-3\leq0\}\)，则\(A\cupB=\)（）A.\((-1,3]\)B.\((-2,-1]\)C.\((-\infty,-2]\cup[3,+\infty)\)D.\((-\infty,-2]\cup(-1,+\infty)\)2.已知复数\(z\)满足\((1+i)z=i+2\)，则在复平面内，复数\(z\)对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中，是奇函数且最小正周期为\(\pi\)的是（）A.\(f(x)=2\sinx\cosx\)B.\(f(x)=\cos2x\)C.\(f(x)=\tan2x\)D.\(f(x)=\sinx\)4.已知\(a,b\inR\)，且\(a\neqb\)，则下列不等式恒成立的是（）A.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)B.\(2^{a^2+1}\gt2^{b^2+1}\)C.\(a^3+a\gtb^3+b\)D.\(\frac{1}{a^2+1}\lt\frac{1}{b^2+1}\)5.若双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率为\(2\)，则其渐近线方程为（）A.\(y=\pm\sqrt{3}x\)B.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)D.\(y=\pm2x\)6.在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=120^\circ\)，\(AB=2\)，\(AC=6\)，\(\sinB=4\sinC\)，则\(BC=\)（）A.\(\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{21}\)C.\(\sqrt{17+4\sqrt{3}}\)D.\(\sqrt{17-4\sqrt{3}}\)7.矩形\(ABCD\)中，\(AB=6\)，\(AD=3\)，且\(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}\)，则\(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BD}=\)（）A.\(\frac{9}{2}\)B.\(\frac{9}{4}\)C.6D.38.设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\neq0\)，其前\(n\)项和为\(S_n\)，则“\(a_1\lt0\)”是“\(S_n\)存在最小值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，若对任意的点\(A(x_1,1)(a\gt0且a\neq1)\)，都存在点\(B(x_2,\log_ax_2)(a\gt0且a\neq1)\)，使得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，且\(x_1\neqx_2\)，则\(a=\)（）A.\(\frac{1}{e}\)B.\(e^2\)C.\(\frac{1}{e^2}\)D.\(e\)10.三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作\(\triangleABC\)，点\(A(6,t)\)，点\(B(-3,2)\)，点\(C(1,-2)\)，且其“欧拉线”与圆\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)相切，则圆\(M\)上的点到直线\(x-y+6=0\)的距离的最小值为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.\(\left(x-\frac{6}{x}\right)^2(x^2+1)\)的展开式中，常数项为______。12.已知抛物线\(y^2=4x\)上一点\(P(x_0,y_0)\)到焦点\(F\)的距离为4，则\(x_0+y_0^2=\)______。13.已知\(\theta\)是任意角，且满足\(\cos\theta\cdot\sin\theta=\frac{1}{3}\)，则常数\(\sin\theta+\cos\theta\)的一个取值为______。14.长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的底面\(ABCD\)是一个正方形，其边长为4，长方体的高为\(2\sqrt{2}\)，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为______，八面体的体积和长方体的体积之比为______。（第一空3分，第二空2分）15.若非空实数集\(M\)中存在最大元素\(M\)和最小元素\(m\)，记\(\DeltaM=M-m\)。下列命题中，所有不正确的命题是______。①已知\(M=\{0,1\}\)，\(N=\{-1,t\}\)，且\(\DeltaM=\DeltaN\)，则\(t=0\)；②已知\(M=\{x|-2\leqx\leqt,t\inR\}\)，则存在实数\(t\)，使得\(\DeltaM=1\)；③已知\(M=\{x|x\geqa,x\in[-1,1]\}\)，若\(\DeltaM=2\)，则对任意\(x\in[-1,1]\)，都有\(x\geqa\)；④已知\(S_n\)是等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，\(M=\{S_n|n\inN^*\}\)，则存在等比数列\(\{a_n\}\)，使得\(\DeltaM\leq1\)。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题14分）如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是一个等腰梯形，\(AD\parallelBC\)，\(AD=2BC=2\)，\(E\)为\(AD\)的中点。（I）求证：\(BE\parallel\)平面\(PCD\)；（II）若\(PA\perp\)平面\(ABCD\)。（i）求证：\(BD\perp\)平面\(PAC\)；（ii）求二面角\(P-BD-A\)的余弦值。17.（本小题13分）已知函数\(f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}+\varphi\right)\)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数\(f(x)\)存在。（I）求\(\varphi\)的值；（II）设\(g(x)=f(x)-4\cos^2x+2\)，求\(g(x)\)在区间\(\left[-\frac{\pi}{2},0\right]\)上的最大值和最小值。条件①：\(f(x)\)是偶函数；条件②：\(f(x)\)的图象上所有点向右平移\(\frac{\pi}{8}\)个单位长度，所得函数是奇函数；条件③：\(f(x)\)在区间\(\left[-\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{8}\right]\)上单调递增。注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。18.（本小题13分）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》。北京中轴线坐落于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体。它共包含15处遗产点，可分为A、B、C、D、E五种类型，其中A类（古代皇家宫苑建筑）3处，B类（古代皇家祭祀建筑）4处，C类（古代城市管理设施）2处，D类（国家礼仪和公共建筑）3处，E类（居中道路遗存）3处。某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动。（I）若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为A类的概率；（II）若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为\(X\)，求\(X\)的分布列及数学期望；（III）该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为1:2:1，同时，这三个群体选择参观A类或B类遗产点的频率分布如下表：人群只参观A类型遗产点只参观B类型遗产点两类遗产点都参观老年人60%20%20%中年人25%45%30%青少年30%30%40%用频率估计概率，若从所有参观A类或B类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为\(P_1\)，“只参观B类型遗产点”的概率为\(P_2\)，请根据表中信息，判断\(P_1\)与\(P_2\)的大小关系。（结论不要求证明）19.（本小题15分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)与y轴的交点为\(A(0,b)\)、\(B(0,-b)\)（点A位于点B的上方），且\(|AB|=4\)，椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线\(l:y=kx+m\)与椭圆C交于不同两点M、N，直线AM与直线\(y=-2\)交于点P。设\(\triangleAOM\)与\(\trianglePON\)的面积分别为\(S_1\)、\(S_2\)，比较\(S_1\)与\(S_2\)的大小，并说明理由。20.（本小题15分）已知函数\(f(x)=e^{x-1}-\frac{a}{x}-x+\lnx(a\inR,a\neq0)\)。（I）当\(a=2\)时，求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；（II）讨论\(f(x)\)的单调性；（III）是否存在\(a\)，使得不等式\(f(x)\geq0\)对任意\(x\in(0,+\infty)\)恒成立？若存在，求出\(a\)的取值范围；若不存在，请说明理由。21.（本小题15分）已知集合\(M=\{1,2,3,\dots,n\}(n\inN^*,n\geq2)\)，对于集合\(M\)的任意非空子集\(A\)，定义\(f(A)\)为\(A\)中所有元素的乘积，规定\(f(\{k\})=k(k\inM)\)。记\(S_n\)为所有满足\(A\capB=\varnothing\)，\(A\cupB=M\)的有序集合对\((A,B)\)（\(A\)、\(B\)均为非空集合）对应的\(f(A)\cdotf(B)\)的和。（I）求\(S_2\)、\(S_3\)的值；（II）求\(S_n\)的表达式；（III）求证：对任意\(n\inN^*,n\geq2\)，都有\(S_n\lt(n+1)!-n!\)。北京市海淀区2026届高三下学期一模数学试题答案及解析一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910答案DAACABAADC二、填空题（每小题5分，共25分）11.\(-23\)12.\(15\)13.\(\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)（任写一个即可）14.\(32\)；\(\frac{1}{6}\)15.①③三、解答题（共85分）16.（本小题14分）（I）证明：∵E为AD的中点，AD=2BC，∴AE=BC，又AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴BE∥AC。∵BE⊄平面PCD，AC⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD。（4分）（II）（i）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD。∵底面ABCD为等腰梯形，AD=2BC=2，E为AD中点，∴AB=BE=BC=1，∴△ABD为直角三角形，且BD⊥AC。又PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC。（8分）（ii）解：以A为原点，分别以AC、AP所在直线为x、z轴，过A作AC的垂线为y轴，建立空间直角坐标系。设PA=h，由题意得A(0,0,0)，B(1,1,0)，D(-1,1,0)，P(0,0,h)。则\(\overrightarrow{BD}=(-2,0,0)\)，\(\overrightarrow{BP}=(-1,-1,h)\)。设平面PBD的法向量为\(\vec{n}=(x,y,z)\)，则\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{BD}=0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{BP}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}-2x=0\\-x-y+hz=0\end{cases}\)，取z=1，得\(\vec{n}=(0,h,1)\)。平面ABD的法向量为\(\vec{m}=(0,0,1)\)。设二面角P-BD-A的平面角为θ，则\(\cos\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}=\frac{1}{\sqrt{h^2+1}}\)。由题意，可设PA=1（不影响夹角大小），则\(\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。故二面角P-BD-A的余弦值为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。（14分）17.（本小题13分）选择条件①：（I）∵f(x)是偶函数，∴\(2x+\frac{\pi}{6}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，即\(\varphi=k\pi+\frac{\pi}{3}(k\inZ)\)。取k=0，得\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)（其他合理取值也可）。（5分）（II）由（I）得\(f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=2\cos2x\)。∴\(g(x)=2\cos2x-4\cos^2x+2=2\cos2x-2(1+\cos2x)+2=2\)。故g(x)在区间\(\left[-\frac{\pi}{2},0\right]\)上的最大值和最小值均为2。（13分）（选择条件②、③的解析略，合理即可）18.（本小题13分）（I）从15处遗产点中选3处，总共有\(C_{15}^3\)种选法，3处均为A类的选法有\(C_3^3\)种，故概率\(P=\frac{C_3^3}{C_{15}^3}=\frac{1}{455}\)。（4分）（II）X的可能取值为1、2、3。\(P(X=1)=\frac{C_3^3+C_4^3+C_2^3}{C_9^3}=\frac{1+4+0}{84}=\frac{5}{84}\)；\(P(X=2)=\frac{C_3^1C_4^2+C_3^1C_2^2+C_4^1C_2^2}{C_9^3}=\frac{18+3+4}{84}=\frac{25}{84}\)；\(P(X=3)=\frac{C_3^1C_4^1C_2^1}{C_9^3}=\frac{24}{84}=\frac{2}{7}\)。分布列如下：X123P\(\frac{5}{84}\)\(\frac{25}{84}\)\(\frac{2}{7}\)数学期望\(E(X)=1\times\frac{5}{84}+2\times\frac{25}{84}+3\times\frac{2}{7}=\frac{167}{84}\)。（10分）（III）\(P_1\ltP_2\)。（13分）19.（本小题15分）（I）由|AB|=4，得2b=4，即b=2。由离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且\(a^2=b^2+c^2\)，得\(a^2=8\)。故椭圆C的标准方程为\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)。（5分）（II）\(S_1=S_2\)，理由如下：联立\(\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{cases}\)，消去y得\((1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-8=0\)。设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，则\(x₁+x₂=-\frac{4km}{1+2k^2}\)，\(x₁x₂=\frac{2m^2-8}{1+2k^2}\)。直线AM的方程为\(y=\frac{y₁-2}{x₁}x+2\)，令y=-2，得\(P\left(-\frac{4x₁}{y₁-2},-2\right)\)。\(S_1=\frac{1}{2}|OA|\cdot|x₁|=\frac{1}{2}\times2\times|x₁|=|x₁|\)，\(S_2=\frac{1}{2}|y_P|\cd