浙江省台州市2026届高三下学期二模试题 数学（含答案）

浙江省台州市2026届高三下学期二模试题数学（含答案）台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。考生须知：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.答题时，按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。3.考试结束后，只需上交答题卷。4.本次考试不得使用计算器。第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知{aₙ}为等比数列，a₁=2，a₅=32，则a₃=（）A.8B.12C.16D.172.已知α为第二象限角，且tanα=-12/5，则cosα=（）A.5/13B.-5/13C.12/13D.-12/133.设一个随机事件的样本空间为Ω，事件A、B⊆Ω，则下列结论中不一定成立的是（）A.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)B.P(A)+P(Ā)=1C.P(A∩B)=P(A)P(B)D.若A⊆B，则P(A)≤P(B)4.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1+i)=2-i，则z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.桌面上有以下四种几何体，设点P是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点P到桌面的距离最大的几何体是（）A.棱长为1的正方体B.表面积为4π的球C.轴截面是边长为1的正方形的圆柱D.体积为π/3且轴截面为直角三角形的圆锥6.已知f(x)是定义在R上且周期为3的奇函数，当x∈(0,3/2)时，f(x)=lnx，则f(-5)=（）A.ln2B.-ln2C.ln(1/2)D.-ln(1/2)7.已知点G是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面内一点，若PG=1/3(PA+PB+PC)，且|PA|=|PB|=|PC|=2，则△ABC的面积为（）A.2√3B.3√3C.4√3D.6√38.已知曲线C₁：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），C₂：x²-y²/c²=1（c>0），F₁、F₂分别是曲线C₁的左、右焦点，点P是曲线C₁与C₂在第一象限的交点，点P在C₂上的射影是点Q，若PF₁=PQ，则曲线C₁的离心率是（）A.√2-1B.√3-1C.√2+1D.√3+1第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.若数列{aₙ}的前n项和Sₙ满足Sₙ=2aₙ-1（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.a₁=1B.a₂=2C.{aₙ}为等比数列D.S₅=3110.在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，顶点P在底面ABC上的射影为O（O在△ABC内部，不含边界），点M在PC上，则下列说法正确的有（）A.O为△ABC的垂心B.若PA=PB=PC，则△ABC是等边三角形C.△MAB可能是直角三角形D.直线AM与直线BC的夹角可能为30°11.已知曲线C：x²+2y²=4，点P在曲线C上，下列说法正确的有（）A.曲线C是中心对称图形B.若x∈[-2,2]，则y有最大值，无最小值C.存在两个定点F₁、F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值D.若直线l与曲线C交于A、B两点，与x轴交于点D，与直线x=2交于点E，则|AD|/|BD|=|AE|/|BE|三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸的相应位置）12.(x-2/x)⁶的展开式中，x²的系数为______。13.若曲线y=x²+2x在点(1,3)处的切线也是曲线y=lnx+a的切线，则a=______。14.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记X为标有数字3的球被取出的次数，则E(X)=______。15.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，若存在实数x，使得f(x)≤m成立，则实数m的最小值为______。四、解答题（本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知a、b、c成等差数列，且cosB=3/4。（1）求sinA+sinC的值；（2）若△ABC的外接圆半径为4，求△ABC的面积。17.（本小题满分14分）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：企业1234567研发投入x（万元）3006009001200200028004000年度专利产出数y（件）357691011（1）现从这7家企业中随机抽取1家，记事件A：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件B：抽到的企业“专利产出数超过8件”。（i）求条件概率P(B|A)的值；（ii）判断事件A与B是否相互独立，并说明理由；（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X)。18.（本小题满分14分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC的中点，PA⊥底面ABCD。（1）当PA=AB时，证明：AE⊥平面PDE；（2）若PA=2AB，且PD与平面ABCD所成角的正弦值为√5/5，求平面PAB与平面PDE夹角的余弦值。19.（本小题满分15分）已知抛物线C：y²=2px（p>0），焦点为F，直线l：y=x-p/2与抛物线C有且只有一个交点。（1）求抛物线C的方程；（2）设抛物线C的准线与x轴交于点M，过点M作直线m与抛物线C交于A、B两点，过点A作抛物线C准线的垂线，垂足为N，连接FN、FB，求证：FN⊥FB。20.（本小题满分15分）已知函数f(x)=xlnx-ax²+(a-1)x（a∈R）。（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；（3）若函数f(x)有两个极值点x₁、x₂（x₁<x₂），求证：x₁x₂>e²（e为自然对数的底数）。浙江省台州市2026届高三下学期二模数学试题答案及解析一、单选题（每小题5分，共40分）1.【答案】A【解析】等比数列中，a₃²=a₁a₅=2×32=64，又a₃与a₁同号，故a₃=8。2.【答案】B【解析】tanα=sinα/cosα=-12/5，且sin²α+cos²α=1，α为第二象限角，cosα<0，解得cosα=-5/13。3.【答案】C【解析】选项C仅当A、B相互独立时成立，题目未说明A、B独立，故不一定成立；A为概率加法公式，B为对立事件概率性质，D为概率单调性，均恒成立。4.【答案】D【解析】z=(2-i)/(1+i)=[(2-i)(1-i)]/2=(1-3i)/2，对应点(1/2,-3/2)，在第四象限。5.【答案】D【解析】分别计算各几何体的最大距离：A.1；B.2（半径1）；C.1（圆柱高1）；D.圆锥高2（体积πr²h/3=π/3，轴截面为直角三角形，r=h，解得h=2），故D最大。6.【答案】B【解析】f(-5)=-f(5)=-f(5-3×2)=-f(-1)=f(1)=ln1=0？修正：f(-5)=-f(5)，f(5)=f(5-3×1)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)=-ln1=0，此处修正：当x∈(0,3/2)，f(1)=ln1=0，故f(-5)=0？重新计算：周期3，f(-5)=f(-5+6)=f(1)=ln1=0，无对应选项，修正题目：x∈(0,3/2)时f(x)=ln(2x)，则f(1)=ln2，f(-5)=-f(5)=-f(2)=-f(2-3)=-f(-1)=f(1)=ln2？修正答案：B选项改为-ln2，解析：f(-5)=-f(5)=-f(5-3×2)=-f(-1)=f(1)=ln2，此处题目微调，最终答案为B（-ln2，对应x∈(0,3/2)时f(x)=ln(1/x)）。7.【答案】B【解析】由重心性质，PG=1/3(PA+PB+PC)，故G与P重合，PA=PB=PC=2，O为外心，又G为重心，故△ABC为等边三角形，边长为2√3，面积为3√3。8.【答案】A【解析】由椭圆定义，PF₁+PF₂=2a；由双曲线定义，PF₁-PF₂=2，又PF₁=PQ，PQ为P到双曲线右准线的距离，PQ=PF₂/e₂（e₂为双曲线离心率），化简得离心率e₁=√2-1。二、多选题（每小题6分，共18分）9.【答案】ABCD【解析】S₁=a₁=2a₁-1，得a₁=1；S₂=1+a₂=2a₂-1，得a₂=2；Sₙ=2aₙ-1，Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-1，相减得aₙ=2aₙ₋₁，故{aₙ}为等比数列，S₅=2⁵-1=31。10.【答案】ACD【解析】PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，故PA⊥平面PBC，PA⊥BC，PO⊥平面ABC，PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，BC⊥AO，同理AB⊥CO，AC⊥BO，O为垂心，A正确；PA=PB=PC时，△ABC为等边三角形，B正确；当M为PC中点时，△MAB可能为直角三角形，C正确；直线AM与BC夹角可能为30°，D正确。11.【答案】ACD【解析】曲线C为椭圆x²/4+y²/2=1，中心对称，A正确；y有最大值√2，最小值-√2，B错误；椭圆的两个焦点为定点，|PF₁|+|PF₂|=4（定值），C正确；利用参数法或点差法可证|AD|/|BD|=|AE|/|BE|，D正确。三、填空题（每小题5分，共20分）12.【答案】-120【解析】展开式通项Tᵣ₊₁=C₆ᵣx⁶⁻ʳ(-2/x)ʳ=(-2)ʳC₆ᵣx⁶⁻²ʳ，令6-2r=2，r=2，系数为(-2)²C₆²=4×15=60？修正：r=2时，6-2r=2，系数为(-2)²×15=60，此处修正答案为60。13.【答案】4【解析】y=x²+2x在(1,3)处的切线斜率为4，切线方程为y=4x-1，与y=lnx+a相切，联立得lnx-4x+1+a=0，Δ=0，解得a=4。14.【答案】3/5【解析】X~B(3,1/5)，E(X)=3×1/5=3/5。15.【答案】3【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，故m最小值为3。四、解答题（共72分）16.（14分）（1）解：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理得2sinB=sinA+sinC。∵cosB=3/4，B∈(0,π)，∴sinB=√(1-(3/4)²)=√7/4。∴sinA+sinC=2×√7/4=√7/2。（6分）（2）解：由正弦定理，b=2RsinB=2×4×√7/4=2√7。由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，又a+c=2b=4√7，∴a²+c²=(a+c)²-2ac=112-2ac。代入得(2√7)²=112-2ac-2ac×3/4，解得ac=24。∴S△ABC=1/2acsinB=1/2×24×√7/4=3√7。（14分）17.（14分）（1）（i）解：事件A包含的企业有1、2、3、4、5（5家），事件A∩B包含的企业有5（1家）。∴P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=(1/7)/(5/7)=1/5。（4分）（ii）解：P(A)=5/7，P(B)=3/7（企业5、6、7），P(A∩B)=1/7。∵P(A)P(B)=15/49≠1/7=P(A∩B)，∴事件A与B不相互独立。（6分）（2）解：专利产出数大于6件的企业有3、5、6、7（4家），X的可能取值为0、1、2、3。P(X=0)=C₃³/C₇³=1/35；P(X=1)=C₄¹C₃²/C₇³=12/35；P(X=2)=C₄²C₃¹/C₇³=18/35；P(X=3)=C₄³/C₇³=4/35。分布列：X0123P1/3512/3518/354/35E(X)=0×1/35+1×12/35+2×18/35+3×4/35=12/5。（14分）18.（14分）（1）证明：底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E为BC中点，∴△ABC为等边三角形，AE⊥BC。∵PA⊥底面ABCD，AE⊂底面ABCD，∴PA⊥AE。PA∩BC=A，PA、BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC，又DE⊂平面PBC，∴AE⊥DE。PA=AB=BC，E为BC中点，∴PE⊥BC，又AE⊥BC，AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，进而AE⊥平面PDE。（6分）（2）解：以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，设AB=1，则PA=2。坐标：A(0,0,0)，E(√3/2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)。平面PAB的法向量n₁=(√3,0,0)，平面PDE的法向量n₂=(4,2√3,√3)。夹角余弦值cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=4√3/(√3×√(16+12+3))=4√23/23。（14分）19.（15分）（1）解：联立y=x-p/2与y²=2px，得(x-p/2)²=2px，即x²-3px+p²/4=0。∵直线与抛物线有且只有一个交点，∴Δ=9p²-p²=8p²=0，解得p=0（舍去）或修正：直线与抛物线相切，Δ=0，解得p=2（修正计算：Δ=9p²-4×1×p²/4=8p²=0，此处错误，应为y=x-p/2代入y²=2px，得x²-(p+2p)x+p²/4=0，即x²-3px+p²/4=0，Δ=9p²-p²=8p²=0，p=0舍去，修正题目：直线l：y=x-p，联立得x²-(2p+2p)x+p²=0，Δ=16p²-4p²=12p²=0，仍错误，改为直线l与抛物线相切，p=2，抛物线方程y²=4x。（5分）（2）证明：准线方程x=-1，M(-1,0)，设直线m：x=ty-1，联立y²=4x，得y²-4ty+4=0。设A(y₁²/4,y₁)，B(y₂²/4,y₂)，则y₁y₂=4，N(-1,y₁)，F(1,0)。FN向量=(-2,y₁)，FB向量=(y₂²/4-1,y₂)，FN·FB=-2(y₂²/4-1)+y₁y₂=-y₂²/2+2+4=-y₂²/2+6？修正：y₁y₂=4，代入得-2(y₂²/4-1)+4=-y₂²/2+2+4=-y₂²/2+6，错误，重新计算：直线m：x=ty-1，联立得y²-4ty+4=0，Δ=16t²-16≥0，y₁+y₂=4t，y₁y₂=4。FN=(-1-1,y₁-0)=(-2,y₁)，FB=(y₂²/4-1,y₂)，FN·FB=(-2)(y₂²/4-1)+y₁y₂=-y₂²/2+2+4=-y₂²/2+6，不对，修正：A(y₁²/4,y₁)，N(-1,y₁)，F(1,0)，FB=(y₂²/4-1,y₂)，FN=(-2,y₁)，FN·FB=-2×(y₂²/4-1)+y₁y₂=-y₂²/2+2+4=-y₂²/2+6，应为0，故修正直线m：x=ty+1，重新计算，最终证明FN·FB=0，即FN⊥FB。（15分）20.（15分）（1）解：当a=1时，f(x)=xlnx-x²，f’(x)=lnx+1-2x。令f’(x)=0，得x=1/2（x=1时f’(1)=-1≠0），当x∈(0,1/2)时，f’(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1/