11.3多边形及其内角和重难点突破讲义年人教版八年级数学上册

11.3多边形及其内角和任务一利用内、外角和公式求边数子任务1已知正多边形的内角度数,求边数母题1若一个多边形的每个内角都是108°,则这个多边形的边数为()A.4 B.5 C.6 D.8变式练1：若一个正n边形的每个外角为36°,则这个正n边形的边数是()A.10 B.11 C.12 D.14子任务2已知多边形的内角和,求边数母题2已知两个多边形的内角和为2160°,且边数之比为1∶3,求这两个多边形的边数.【关键点拨】变式练2：若n边形的内角和是五边形的外角和的3倍,则n的值为()A.6 B.7 C.8 D.9子任务3已知多边形的内角和与外角和的关系,求边数母题3(1)已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍,求这个多边形的边数.(2)已知一个多边形的内角和比外角和多540°,问它是几边形?变式练3：一个多边形的内角和与它的外角和的比为5∶2,则这个多边形的边数为()A.8 B.7 C.6 D.5任务二利用内、外角和公式求角度子任务1求多边形的外角的度数母题4已知一个正多边形的内角和为1440°,则这个正多边形的每一个外角的度数是()A.36° B.45° C.72° D.60°【关键点拨】变式练4：已知正多边形的一个内角等于一个外角的3倍,那么这个正多边形的边数为()A.6 B.7 C.8 D.9子任务2求多边形的内角的度数母题5若一个多边形除一个内角外,其余内角的和为1510°,则这个多边形的边数是,这个内角的度数是.

变式练5：小明在计算一个多边形的内角和时,漏掉了一个内角,结果算得800°,则这个多边形应该是()A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形子任务3求两个角的和母题6如图,在四边形ABCD中,去掉一个60°的∠A得到一个五边形,求∠1+∠2的度数.变式练6：有一张直角三角形纸片,记作△ABC,其中∠B=90°,按如图所示的方式剪去它的一个角(虚线部分),在剩下的四边形ADEC中,∠1、∠2满足的等量关系为()A.∠1=∠2 B.∠1+∠2=270°C.∠1-∠2=20° D.∠1-∠2=∠C子任务4求复杂几何图形中相关角的和母题7如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.【关键点拨】变式练7：如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数是.

任务三多边形的截角问题母题8将一张长方形桌子的桌面锯掉一个角后,剩余桌面所有内角的度数之和为多少?变式练8：将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和不可能是()A.360° B.540° C.720° D.900°任务四多边形外角和公式在实际生活中的应用母题9如图,小华从操场上点A出发,沿直线前进10m后向左转36°,再沿直线前进10m后,又向左转36°,照这样走下去,小华第一次回到出发地,所走的路程为()A.80m B.90m C.100m D.110m变式练9：如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α的度数为()A.30° B.40° C.80° D.108°任务五与多边形有关的探究性问题母题10在四边形ABCD中,∠BAD的平分线与边BC交于点E,∠ADC的平分线交直线AE于点O.(1)若点O在四边形ABCD的内部,①如图1,若∠B=40°,∠C=70°,则∠DOE=°;

②如图2,试探索∠B,∠C,∠DOE之间的数量关系,并说明理由.(2)如图3,若点O在四边形ABCD的外部,请你直接写出∠B,∠C,∠DOE之间的数量关系.变式练10：已知在四边形ABCD中,∠A=x,∠C=y(0°<x<180°,0°<y<180°).(1)∠ABC+∠ADC=.(用含x,y的式子表示)

(2)如图1,若x=y=90°,DE平分∠ADC,BF平分与∠ABC相邻的外角,请写出DE与BF的位置关系,并说明理由.(3)如图2,∠DFB为四边形ABCD的∠ABC,∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.①当x<y时,若x+y=140°,∠DFB=30°,试求x,y的值.②小明在作图时,发现∠DFB不一定存在,请直接指出x,y满足什么条件时,∠DFB不存在.

参考答案母题1B提示:外角的度数是180-108=72°,则这个多边形的边数是360÷72=5.故选B.变式练1A提示:一个正n边形的每个外角为36°.所以这个正n边形的边数为360°÷36°=10.故选A.母题2解:设这两个多边形的边数分别是x和3x,则(x-2)·180°+(3x-2)·180°=2160°,解得x=4,则这两个多边形的边数分别为4和12.变式练2C提示:∵一个n边形的内角和是五边形外角和的3倍,∴180°×(n-2)=360°×3,解得n=8.故选C.母题3解:(1)设这个多边形的边数为n.∵n边形的内角和为(n-2)·180°,多边形的外角和为360°,∴(n-2)·180°=360°×3,解得n=8,∴这个多边形的边数为8.(2)设这个多边形的边数为n,则其内角和为(n-2)·180°.∵这个n边形的外角和为360°,内角和比外角和多540°,∴(n-2)×180°-360°=540°,解得n=7,∴这个多边形是七边形.变式练3B提示:设多边形的边数是n,则(n-2)·180°∶360°=5∶2,整理得n-2=5,解得n=7.故选B.母题4A提示:设此多边形为n边形,根据题意得180(n-2)=1440,解得n=10,故这个正多边形的每一个外角等于360°÷10=36°.故选A.变式练4C提示:设这个正多边形的一个外角的度数为x,则其一个内角的度数为3x,所以x+3x=180°,x=45°,则该正多边形的边数是360°÷45°=8.故选C.母题511;110°提示:设多边形有n条边,根据多边形内角和定理,得0°<180°×(n-2)-1510°<180°,解得10.39<n<11.39.由边数为正整数,得n=11,∴(11-2)×180°-1510°=1620°-1510°=110°,故这个多边形的边数为11,这个内角的度数是110°.变式练5B提示:设多边形的边数是n.依题意有0°<(n-2)·180°-800°<180°,解得649<n<74则多边形的边数n=7.故选B.母题6解:∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°,∠A=60°,∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°.∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴∠1+∠2=540°-300°=240°.变式练6B提示:∵∠B=90°,∴∠BDE+∠BED=90°,∴∠1+∠2=180°+180°-90°=270°.故选B.母题7解:如图,连接AB,设BF与AG交于点M.∵∠F+∠G+∠FMG=180°,∠GAB+∠FBA+∠AMB=180°,∴∠F+∠G+∠FMG=∠GAB+∠FBA+∠AMB.∵∠FMG=∠AMB,∴∠F+∠G=∠GAB+∠FBA,∴∠GAE+∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠GAE+∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠GAB+∠FBA=180°×(5-2)=540°.变式练7540°提示:连接BE,如图所示.在△CDM与△BEM中,∠CMD=∠BME,∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB,∴在五边形ABEFG中,∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°.母题8解:长方形的桌子据掉一个角以后可能是三角形或四边形或五边形,即还剩下3或4或5个角,180°×(3-2)=180°,180°×(4-2)=360°,180°×(5-2)=540°,故这些角的度数之和可能是180°或360°或540°.变式练8D提示:①将长方形沿对角线剪开,得到两个三角形,则两个多边形的内角和为180°+180°=360°;②将长方形从一顶点剪向对边,得到一个三角形和一个四边形,则两个多边形的内角和为180°+360°=540°;③将长方形沿一组对边剪开,得到两个四边形,则两个多边形的内角和为360°+360°=720°;④将长方形沿一组邻边剪开,得到一个三角形和一个五边形,则两个多边形的内角和为180°+540°=720°.故选D.母题9C提示:360°÷36°=10,10×10=100m.故选C.变式练9B提示:设路线形成的多边形的边数为n,根据题意,n=108÷12=9,则α=360°÷9=40°.故选B.母题10解:(1)①125.②∠B+∠C+2∠DOE=360°.理由:∵∠DOE=∠OAD+∠ADO,AE,DO分别平分∠BAD,∠CDA,∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC.∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°,∴∠B+∠C+2∠DOE=360°.(2)∠B+∠C=2∠DOE.提示:∵∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C,∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE,AE,DO分别平分∠BAD,∠CDA,∴∠BAD=2∠EAD,∠ADC=2∠ADO,∴∠BAD+∠ADC=2(∠EAD+∠ADO),∴360°-∠B-∠C=2(180°-∠DOE),∴∠B+∠C=2∠DOE.变式练10解:(1)360°-x-y.(2)DE⊥BF.理由:如图1,延长DE交BF于点G.由(1)知∠ABC+∠ADC=360°-(∠A+∠C)=360°-x-y.∴当x=y=90°时,∠ABC+∠ADC=180°.∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=12∠又∵∠C=90°,∴∠EDC+∠DEC=180°-∠C=90°,∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-12∠又∵∠BEG与∠DEC是对顶角,∴∠BEG=∠DEC=90°-12∠∵BF平分∠CBM,∴∠EBG=12∠又∵∠ABC+∠EBM=180°,∴∠EBM=180°-∠ABC,∴∠EBG=90°-12∠ABC∴∠EBG+∠BEG=90°-12∠ABC+90°-12=180°-12(∠ADC+∠ABC)=∴∠EGB=180°-(∠EBG+∠BEG)=90°,∴DE⊥BF.(3)①如图2,连接FC并延长至点G.∵x+y=140°,∴∠ABC+∠ADC=360°-