安徽省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月数学检测试卷（A卷） 附答案

/安徽省县中联盟2025−2026学年高二上学期12月质量检测数学试题（A卷）一、单选题1．椭圆的焦距为（

）A． B． C． D．2．抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A． B． C．3 D．63．若直线和互相垂直，则a的值是（

）A．0 B．2 C．0或 D．0或24．已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点P到平面的距离是（

）A． B． C． D．7．已知抛物线，点，过点的直线l与C交于A，B两点，且，则l的斜率为（

）A． B． C． D．8．已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知椭圆和椭圆，则（

）A．两椭圆有相同的焦点B．两椭圆的离心率相等C．两椭圆有相同的顶点D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心10．已知点P在圆上，点Q在圆上，则（

）A．两圆相交 B．圆与x轴相切C．的取值范围为 D．面积的最大值为611．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（

）A．C的离心率为B．C的焦点到其渐近线的距离为1C．若，则的面积为2D．若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则三、填空题12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为C上一点，则______．13．设为抛物线上任意一点，则的最小值为______．14．已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______．四、解答题15．求满足下列条件的双曲线的标准方程．（1）焦点在x轴上，经过点，；（2）与双曲线有相同的渐近线，且过点．16．已知抛物线的焦点在直线上．（1）求的方程；（2）为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值．17．已知图1是由矩形ABCD和以CD为直径的半圆拼接而成，，，将半圆面沿CD折起，使得半圆面平面ABCD，点P为半圆弧（不包括端点）上一动点，如图2．（1）证明：平面平面BCP；（2）若，求平面ACP与平面BCP的夹角的大小．18．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）若A是线段BP的中点，求直线l的方程；（3）证明：为定值．19．已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上．（1）求C的方程；（2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求；（3）若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：．

答案1．【正确答案】B【详解】椭圆的长短半轴长分别为，则其半焦距，所以所求焦距为.故选B2．【正确答案】C【详解】可知抛物线，则焦点为，准线为，则焦点到其准线的距离为.故选C.3．【正确答案】B【详解】若直线和互相垂直，则，解得.故选B.4．【正确答案】C【详解】若方程表示双曲线，则，解得或，所以实数m的取值范围为.故选C.5．【正确答案】D【详解】设点，则，且，可得，化简得，即，且.故选D.6．【正确答案】A【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量，所以点P到平面的距离.故选A.7．【正确答案】D【详解】由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为，，联立方程，消去y可得，则，解得，可得，，因为，若，则，即，整理可得，则，解得，所以直线l的斜率为.故选D.8．【正确答案】A【详解】圆，可知圆心为，半径，设，，点关于直线的对称点为，则，，可得，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选A.9．【正确答案】BD【详解】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上，且，，则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故AC错误；两椭圆的离心率均为，即离心率相等，故B正确；两椭圆有相同的对称轴（为坐标轴）和对称中心（为坐标原点），故D正确；故选BD.10．【正确答案】AB【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.对于选项A：因为，即，所以两圆相交，故A正确；对于选项B：因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确；对于选项C：由圆的性质可得，且，所以的取值范围为，故C错误；对于选项D：由圆的性质可知点到直线的距离最大值为，所以面积的最大值为，故D错误；故选AB.11．【正确答案】ABD【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上，因为，即，则，可得点，，渐近线为，即.对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确；对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确；对于选项C：因为，若，则，可得，即，可得，所以的面积为，故C错误；对于选项D：可知渐近线，直线，联立方程，解得，即，因为，即，则，当且仅当点Q在线段上时，等号成立，所以，故D正确；故选ABD.12．【正确答案】【详解】由椭圆可知，且点P为C上一点，所以.13．【正确答案】【详解】因在抛物线上，故，则.则当时，取最小值.14．【正确答案】/【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，，三棱锥的外接球的球心为，则，即，解得，即，可得外接球的半径，当且仅当时，等号成立，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为.15．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点，得，解得，所以所求双曲线标准方程为.（2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，由该双曲线过点，得，所以所求双曲线的方程为，标准方程为.16．【正确答案】（1）（2）8【详解】（1）因为抛物线的焦点在轴正半轴上，对于直线，令，可得，可知焦点，即，可得，所以抛物线的方程为.（2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0，设直线的方程为，，联立方程，消去y可得，则，可得，，则，可得的面积，当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为8.17．【正确答案】（1）见详解（2）【详解】（1）由题意可知：，平面平面ABCD，平面平面，平面，则平面，且平面，可得，又因为，，平面，可得平面，且平面，所以平面平面BCP.（2）取的中点分别为，在半圆弧上取点，使得，可知，且平面，则平面，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，若，则，可得，可知平面BCP的一个法向量为，因为，设平面ACP的法向量为，则，令，则，可得，设平面ACP与平面BCP的夹角为，则，可得，所以平面ACP与平面BCP的夹角的大小为.18．【正确答案】（1）（2）或（3）见详解【详解】（1）设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时，得有两组不同的解，消去得，化简得，可知，化简得，解得，所以直线l的斜率的取值范围是.（2）设，已知，当A是线段BP的中点时，可得，化简得，由（1）可知为方程的两个解，则，当时，，化简得，解得，所以直线l的方程或.（3）设，已知，则，则，由（2）可知，则，所以为定值．19．【正确答案】（1）（2）（3）见详解【详解】（1）对于圆，令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为；令，可