河北保定市雄安容西容兴高级中学等校2025-2026学年高二下学期3月月考数学检测试卷 附答案

/数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误．2.已知函数，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】通过导数的四则运算求导，再令，得到，进而可求解.【详解】求导得：，令，得，解得，所以所以．3.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B；又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合．4.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由恒成立，通过分离参数求最值即可求解.【详解】由，得恒成立，由的解析式可知其在区间上单调递增，所以，则，则的最大值为．5.函数的部分图象大致是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据函数的对称性和单调性判断图像的大致形状，对照各个选项可得答案.【详解】因为，所以是奇函数，函数图像关于原点对称，可排除B．对部分求导可得：，所以在上为负，在上为正，所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像函数在时的图像形状应当是先上升再下降，同时排除A，D．6.已知P为抛物线上一点，且该抛物线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由导数的几何意义结合斜率的定义列出不等式求解即可.【详解】设点P的横坐标为，求导得：，则，即，解得．即点P的横坐标的取值范围为.7.已知是函数的极大值点，则实数（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】求导得，进而分，，，四种情况讨论求解即可.【详解】函数的定义域为，．因为是函数极大值点①若，则，上单调递增，没有极大值点，不符合题意；②若，令，得，所以当时，时，故在上单调递增，在上单调递减，所以不是函数的极大值点，不符合题意；③若，令，得，当时，时，所以在上单调递增，不是函数的极大值点，不符合题意；④若，令，得，当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合题意．综上，实数.8.路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上.如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为，，，其中，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】过A，B，C分别向x轴作垂线，垂足分别为D，E，F，利用割补法及梯形的面积公式求三角形的面积，再应用导数求其最大值.【详解】如图，过A，B，C分别向x轴作垂线，垂足分别为D，E，F，则的面积为，设，则，所以在上单调递减，则．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数在区间上连续，且，，，有，则称函数在上是“下凸函数”，记为导函数的导函数，如，则，．性质：若在给定的区间上恒成立，则函数在给定的区间内的“下凸函数”．下列选项中所给的函数在给定定义域内的“下凸函数”的有（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】分别求各选项中的函数的二阶导数，判断其符号，结合性质即可判断.【详解】对于A，因为，，所以在上是“下凸函数”，A正确；对于B，因为，，所以在上不是“下凸函数”，B错误；对于C，因为，，所以在上是“下凸函数”，C正确；对于D，因为，，所以在上不是“下凸函数”，D错误．10.已知函数，若有三个零点，，，且，则的值可能为（）A. B.0 C. D.【正确答案】BC【分析】画出图象后，由图象分析可得，，构造函数，利用导数研究其单调性即可得的范围，即可得解.【详解】由题意得图象如图所示：而图象的对称轴为直线，由，得，即，由图可知，则，所以，设，，则，它在上单调递增，所以，则在上单调递增，故，由，故A、D错误，B、C正确.11.已知函数，，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】先求导分析函数的单调性与符号，计算的大小，结合单调性与符号逐一验证选项.【详解】的定义域为，，令，得，即在上单调递增；令，得，即在上单调递减；且当时，，作出函数的图象如下．对于A，因为，，所以，A正确；对于B，要证，就要证，即，因为，所以，又，所以，从而，B错误；对于C，由上知，，所以，，C正确；对于D，，由选项B知，根据函数的单调性可知，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.放射性同位素技术已经在医学上取得了广泛的应用.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系式，其中为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则_______．【正确答案】【分析】先对函数关系式进行求导，根据瞬时变化率的概念，可求得，代入求值即可.【详解】由题意，，则，因为时，钍234含量的瞬时变化率为，所以，解得，即，所以．13.若曲线与曲线有相同的切线，则_______．【正确答案】4【分析】先根据直线与曲线相切求得，再结合其与相切求得.【详解】设直线与曲线相切于点，，故，解得，，代入方程，得．设直线与曲线相切于点，，故，且，解得所以．14.已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______．【正确答案】【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可.【详解】先对原函数求导得，令得或；当，，当，，当，.可得在和上单调递减，在上单调递增，有极大值．因为函数在上有最大值，需要满足，再由函数在开区间有最大值可得且.根据已知函数的单调性，可得当时，恒成立.故a<2  求解可得，求解可得−4≤a.综上得到.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.2026年2月6日至22日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为（1）求该运动员从1s到3s时滑雪的平均速度；（2）求该运动员在时滑雪的瞬时速度；（3）当该运动员的滑雪路程为90m时，求此时的滑雪速度.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据平均速度的概念，求出从1s到3s时的路程，进而求出结果；（2）根据瞬时速度的概念，求出结果即可；（3）根据函数导数的几何意义，求出结果即可；【小问1详解】当时，，所以从1s到3s时的滑雪的平均速度为．【小问2详解】因为，所以，即该运动员在时滑雪的瞬时速度为．【小问3详解】当时，，所以，．由，即，解得或（舍去）．因为，所以此时的滑雪速度为．16.已知函数．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数单调性．【正确答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）根据题意，求得，得到，，利用导数的几何意义，即可求解；（2）求得，分，和，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间.【小问1详解】当时，，可得，则，，即切线的斜率为，切点为，所以的图象在点处的切线方程为，即．【小问2详解】由函数，可得其定义域为，且．令，可得或，当时，，在上单调递增；当时，令，可得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减.综上可得，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.17.我国将深化“人工智能＋”行动，“十五五”末人工智能相关产业规模将增长到10万亿元以上．某“人工智能＋”设备的能量转换值关于运行时间（单位：s）的函数解析式为，为常数．（1）当，且设备运行时间时，求能量转换值的最小值与最大值；（2）若运行时间，能量转换值随着的增大而增大，求的取值范围．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）对原函数求导后确定单调区间，分别求两个端点的函数值和极值进行比较即可.（2）由已知函数单调递增，可得导函数在特定区间恒大于等于零，可得的取值范围.【小问1详解】当时，，，当时，，当时，，则在上为减函数，在上为增函数，而，，易知，又，所以，．【小问2详解】由已知在上单调递增，求导得，对恒成立，所以，可得．令，求导得，则在上单调递减，则，所以，的取值范围为.18.已知定义在上的函数．（1）求函数的最大值；（2）若对于任意的，恒成立，求整数a的最大值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用导数求在的最大值，再利用放缩法证明当时，，即可得最值；（2）分析可知对于任意，恒成立，设，利用导数求的最小值，利用零点代换求最小值的取值范围，即可得结果.【小问1详解】由已知得，则，当时，令，解得；令，解得；可知函数在上单调递增，在上单调递减，则；当时，，所以.【小问2详解】由题设知对于任意，恒成立，设，则，令，则恒成立，可知在上单调递增．且，，则存在，使得，即，当时，，即；当时，，即；可得在上单调递减，在上单调递增，则，设，可知在上单调递增．且，，即，则，又因为，且，所以整数的最大值为．19.已知函数．（1）当时，判断函数在上的单调性.（2）设函数存在两个极值点，．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：．【正确答案】（1）在上单调递增（2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析【分析】（1）利用导数法求函数的单调性；（2）（ⅰ）由存在两个极值点得到在上有两个解，即．令，则有两个不等实根．构造函数，利用导数法求出单调性，求出，当时，，当时，，且当时，，从而得到的取值范围．（ⅱ）令，，要证，需证，构造函数，，求出．构造函数，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到，从而得到，再利用在上单调性可证得结论．小问1详解】由题意得，函数的定义域为．当时，，，因为和在上单调递增，所以在上