河南省禹州市第三高级中学2025-2026学年高二下学期开学数学检测试卷 附答案

/菁华校区高二第一次阶段性考试数学试题（考试试卷）测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部，第三册第一章.第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，，则的前2026项和（）A.2023 B.2025 C.2026 D.2137【正确答案】D【分析】应用数列的周期性计算求和.【详解】由，得，，，，所以，所以是以3为周期的周期数列，又，所以.故选：D.2.已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（）A. B. C.40 D.80【正确答案】B【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】由题知，，解得，所以的展开式的通项为，令，得，所以的系数为.故选：B.3.函数的单调递增区间是（）A. B. C.和 D.【正确答案】B【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可.【详解】因为函数的导函数为，令，即得，所以函数的单调递增区间是.故选：B.4.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（）A.120种 B.96种 C.72种 D.48种【正确答案】C【分析】先确定去上海游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解.【详解】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有种，其次从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，共有种，故选：C5.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.数列公差大于0B.中最大C.数列的公差与数列的公差相等D.使得的正整数的最小值为24【正确答案】B【详解】因为，所以，则，所以数列的公差小于0，故A错误；因为等差数列单调递减，且，，所以中最大，故B正确；设公差为，则，其公差为，故数列的公差与数列的公差不相等，故C错误；因为，故D错误.6.已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】分析，的单调性，确定x1和x2都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解.【详解】由，得，所以在R上单调递增,由，得，且，所以在上单调递增因此，对任意，x1和x2由题意：，，即，则，故，故，根据的x1是唯一的，得，即，故，令，，则，由得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故当时，取得最小值：，因此，即.故选：C7.把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（

）A.10种 B.种 C.种 D.45种【正确答案】B【分析】采用隔板法求解.【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种.故选：B.8.记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（）A7 B.8 C.9 D.12【正确答案】C【分析】根据牛顿数列的定义通过函数求导化简得数列递推式，即得等比数列，求出数列的通项与前项和，利用数列的增减性即可求得答案.【详解】由可得，根据牛顿数列的定义，，将和代入上式，得，则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，于是，则，，则等价于，即，因为递增数列，且，故满足条件的有4，5两个，它们的和为.故选：C.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BD【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断.【详解】对于A，取，得，A错；对于B,展开式中项的系数为，B对；对于C，令，可得二项式，展开式中各项系数均为正，即，又，C错；对于D，取，得，取，得，联立解得，因此，D对.故选：BD10.已知函数，则（）A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线对称中心D.过点且与曲线相切的直线恰有两条【正确答案】ABD【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B，利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断.【详解】对于A，由求导得．令，得或，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以和2是函数的两个极值点，故A正确；对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值，且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确；对于C，由，因为，故曲线关于点不成中心对称，故C错误；对于D，设切点为，则切线的方程为，代入，可得，化简得，解得或．故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确．故选：ABD11.设和分别为数列和的前项和.已知，则（）A.是等比数列 B.是递减数列C. D.【正确答案】ABC【分析】利用求出即可判断AC，利用错位相减法求，进而判断D，利用解出即可判断B.【详解】由，当时，，所以，当时，，所以，所以，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，故A正确；所以，所以，所以，由，解得，所以当时，是递减数列，又，所以，所以是递减数列，故B正确；由有：，所以，故C正确；由①，所以②，由①②有：，解得，所以，当时，当时，，所以，故D错误.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2520的正因数有__________个.【正确答案】48【详解】对2520分解质因数：，根据正因数个数公式计算得.13.已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.【正确答案】【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案.【详解】当时，，设切点为，则切线斜率为，那么切线方程为，将代入方程中解得，故切线方程为；由于为偶函数，其图像关于轴对称，故当时，切线方程为.综上可知，切线方程为和.故答案为.14.已知数列满足，，则数列的通项公式为______.【正确答案】【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证；【详解】由，当时，，当时，，两式相减，得，即，所以，所以，所以，由于时，不满足上式，所以.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？（1）该数是奇数：（2）不大于4210的偶数；（3）数字4和5至多出现一个.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据个位和千位的特殊位置，利用分步乘法计数原理即可求解；（2）根据千位和个位的数字分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解；（3）根据数字4和5出现的情况，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解.【小问1详解】根据题意，排四位奇数的排法分三步：第一步：先排个位共有种排法，第二步：再排千位有种排法，第三步：最后排中间两位共有种排法，根据分步乘法计数原理共有：种排法；【小问2详解】第一类：千位为1或3时，个位为选一个，共有种排法；第二类：千位为2时，个位为和选一个，共有种排法，第三类：千位为时，个位为0时，当百位2时，十位排1共有1种排法，当百位排1时，十位有3种排法，所以千位为时，个位为0时，共有种排法，第四类：千位为4时，个位为2时，百位从0和1选一个排有种排法，十位有种排法，所以共有种排法，根据分类加法计数原理共有：种排法；【小问3详解】第一类：数字4和5没有出现，则从排四位数，共有种排法；第二类：数字4出现一次，数字5没有出现，数字4排千位有种排法，数字4不排千位，在后面三位选一个位置排数字4有种选法，再排千位有种选法，最后排剩下的两个位置有种排法，共有种排法，所以数字4出现一次，数字5没有出现，共有种排法；第三类：数字5出现一次，数字4没有出现，同理数字4出现一次，数字5没有出现的情况，共有种排法，根据分类加法计数原理共有种排法.16.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，.令，求数列的前n项和.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得其通项公式；（2）由，求得数列的通项公式，根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到数列的前n项和.【小问1详解】设等差数列的公差为d，则，解得.所以的通项公式；【小问2详解】数列满足，，①.当时，，解得；当时，，②，①-②得：，整理得，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以；结合（1）知，所以数列的前n项和.17.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）当时，求最值.【正确答案】（1）（2）最小值为，无最大值【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值.【小问1详解】依题意，，，则在处的切线斜率为，又，即切点坐标为，故所求切线方程为：，即.【小问2详解】由.当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故当时，取得最小值为当时，，，故在区间上的最小值为，无最大值.18.已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，.（1）求数列的通项公式：（2）记，求的值；（3）记，若，求n的最小值.【正确答案】（1）（2）2551（3）316【分析】（1）利用递推关系可证明等差数列求通项公式；（2）利用分组求和，放缩求和可求值；（3）利用对数运算性质来估计项数，即可求解.【小问1详解】由，当时，可得，两式相减可得：所以，（），又因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即；【小问2详解】由，则，因为，，所以，即.【小问3详解】由，则，，，，可得：当时，，，当时，记则两式相减可得：则，因为时，，，所以则所以，因为，所以，所以.19.已知函数，（）．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围；（3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值．【正确答案】（1）答案见解析.（2）（3）1【分析】（1）函数定义域为，求导，再分和两种情况讨论求解即可得答案；（2）函数零点即方程的解，等价于,将问题转化为求与图像的交点个数;（3）根据题意得在上恒成立，故令，求函数最大值即可得答案