山东临沂第二十四中学2025-2026学年高二下学期3月学生素养评价数学检测试卷 附答案

/临沂第二十四中学2024级学生素养评价数学试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A.6种 B.10种 C.4种 D.60种【正确答案】B【分析】根据分类加法计数原理求解即可.【详解】根据分类加法计数原理，6+4=10.故选：B.2.从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（）A. B. C. D.【正确答案】C分析】利用排列计数原理可得结果.【详解】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种.故选：C.3.已知，那么（）A.5 B.6 C.7 D.8【正确答案】C【分析】根据组合数的性质和计算公式，直接计算即可求解.【详解】由，得，即，整理得，解得或（舍去）.故选：C4.若展开式中存在常数项，则n的值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9【正确答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合常数项的意义即可求解.【详解】对于，第项为：

，

其中，，根据题意可知的指数为，即，得，所以必须是的正整数倍，对比选项：选项中只有满足，故C正确.5.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．记事件A：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件B：“两枚骰子的点数之和是6”，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算得解.【详解】事件含有的基本事件数为，事件含有红1蓝5和红2蓝4两个基本事件，所以．故选：C6.已知，且，则下列等式正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，所以，C正确；对于D，，D错误.故选：C7.对于事件,,,,则()A0.4 B.0.08 C.0.6 D.0.48【正确答案】D【详解】,所以，又，所以.8.有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（）A.90 B.120 C.270 D.720【正确答案】A【分析】利用分步计数乘法原理来求解即可.【详解】先给第1列选2人，从6人中选2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有1种符合要求的排法，共种选法，再给第2列从剩余4人中选2人，同理也只有1种排法，共种选法，最后剩余2人自动为第3列，仅1种排法，即，即总站法数为：

.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式共有8项，则（）A. B.无常数项C.含项的系数为92 D.所有项的二项式系数之和为128【正确答案】ABD【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解.【详解】对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确；对于B，展开式通项为，设，此时无解，所以不存在常数项，故B正确；对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误；对于D，展开式二项式系数和为，故D正确.故选：ABD10.已知，且，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】AB选项，利用排列和组合的性质得到BC正确；C选项，可举出反例；D选项，利用组合数公式得到.【详解】A选项，由组合数性质得，A正确；B选项，由组合数计算公式得，B正确；C选项，不妨设，则，显然，C错误；D选项，，D正确.故选：ABD11.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（）A.没有空盒子的方法共有24种B.可以有空盒子的方法共有128种C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种【正确答案】ACD【分析】利用全排列计算判断A；每个球有4种放法，利用乘法原理计算判断B；取1个盒子不放球，再将4个球按分成3组放入3个盒子计算判断C；从4个盒4个球中选定一组标号相同的球和盒子，另外3个球3个盒子标号不能对应放，列式计算判断D．【详解】对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共种，A正确；对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，B错误；对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，C正确；对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子，另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：________【正确答案】【分析】根据排列数和组合数公式进行求解即可.【详解】，故13.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，该生近视的概率大约是__________.【正确答案】【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得.【详解】设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件，由题意可得，，，则，所以.故答案为.14.若，则的值被4除的余数为__________．【正确答案】3【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案.【详解】令，得，因为，所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以，又，故被4除余3．故答案为.四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求：（1）若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？（2）若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？（3）若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得；（2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法；（3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区.小问1详解】选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法．选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法．所以志愿者中有教师的选调方法为：种．【小问2详解】若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用，再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法．【小问3详解】选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况：当高一高二各选1名学生时，种分配方法；当高一高二各选2名学生时，种分配方法；当高一高二各选3名学生时，种分配方法；则共有种分配方法.16.在二项式的展开式中（1）若为满足的整数，且展开式中有常数项，求的值和常数项；（2）若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中系数最大的项．【正确答案】（1），常数项为；（2），.【分析】（1）首先写出通项公式，根据展开式中存在常数项，得到，根据的取值范围，即可求解，再求常数项；（2）根据二项式系数的性质求，再代入不等式法求系数最大的项，即可求解.【小问1详解】展开式的通项公式，因为展开式有常数项，所以，，所以时，，满足条件，时，不是正整数，不满足条件，所以，常数项为；【小问2详解】展开式的后三项的二项式系数和前三项的二项式系数和一样，所以，所以，整理为：，解得：，或（舍），设中第项的系数最大，第项为，所以系数为，则，，得，解得：，且，所以或，则系数最大的项为，.17.（1）求值：；（2）解方程：；（3）解不等式.【正确答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）直接利用排列数公式计算即可；（2）根据组合数的性质可得出关于的方程，解出的值，再结合题意检验即可；（3）根据排列数公式可得出关于的不等式，结合题意得出且，即可得出的取值.【详解】（1）原式；（2）由可得或，解方程，即，解得或，解方程，即，解得或，又因为、均为整数，且，所以或符合要求，和均不符合要求.故或；（3）由可得，由题意可知且，整理可得，即，解得，又因为且，所以.18.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.（1）求甲在比赛中获胜的概率；（2）求比赛需打两局的概率；（3）已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）分析可知甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知这两局甲全赢或乙全赢，结合独立事件的概率公式额可求得所求事件的概率；（3）记事件甲在第一局中获胜，事件甲赢得比赛，求出的值，利用条件概率公式可求得的值.【小问1详解】若甲在比赛中获胜，则甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局，故甲在比赛中获胜的概率为.【小问2详解】比赛需打两局，则这两局甲全赢或乙全赢，故比赛需打两局的概率为.【小问3详解】记事件甲第一局中获胜，事件甲赢得比赛，则，故.19.某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.【正确答案】（1）144（2）144（3）1008【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解.【小问1详解】完成该件事情可分两