山西太原新力惠中学校2025-2026学年高一数学下学期第一次月考题 附答案

/高一数学下学期第一次月考卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.向量，，，若，则k的值是（）A.4 B.－4 C.6 D.－6【正确答案】D【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值.【详解】向量，，则因为，所以，故选：D2.的值为（）A. B. C.1 D.【正确答案】A【分析】由两角差正弦公式结合题意可得答案.【详解】.故选：A3.已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先计算，再利用公式计算即可.【详解】因，则，则，又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，则，即，则.故选：A4.若函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C.-1 D.【正确答案】D【分析】利用辅助角公式化简得，根据正弦型函数的对称性，求得的表达式，进而求得的值.【详解】函数.令，则，则.故选：D.5.已知中，，则此三角形为（）A.等边三角形 B.等腰非等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【正确答案】A【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状.【详解】若是的中点，则，故，所以，显然为等腰三角形，即，由，可得，又，故，故为等边三角形.故选：A6.已知，，则的值是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解.【详解】因为，，所以，所以，又，所以，所以故选：A关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值.7.在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（）A. B. C.2 D.【正确答案】C【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解.【详解】令，，由，，则，，则，由、、三点共线，故，即，即，则，解得，即的长为.故选：C.8.若，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出，从而求出，再由即可求出，最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解.【详解】一方面由题意，且注意到，联立得，解得，所以，另一方面不妨设，且，所以有，解得或（舍去），即，由两角和的正切公式有，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，，其中，，，且，则（）A. B. C. D.与共线【正确答案】ACD【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D.【详解】由题设，A对，由，，，所以，则，B错，由上知且，，，，如下图，显然三个向量构成一个直角三角形，且，所以，D对，由，所以，C对.故选：ACD10.已知，，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，所以，故A正确；对于B选项，，故B正确；对于C选项，，故C错误；，故D正确.故选：ABD.11.已知，若，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为【正确答案】AD【分析】根据向量线性运算及相等的条件可得，再利用三角恒等变形可得，继而可判断各项.【详解】，，故A正确；，，即，相加得，解得，，，故BC错误；,在上的投影向量为,故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知在矩形中，，点是边的中点，则________.【正确答案】【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可.【详解】由题意如图所示：由，，因为，所以，所以，故答案为.13.已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则___________．【正确答案】【分析】利用辅助角公式，方程可变形为，其中锐角满足，，则有，结合倍角公式求解即可.【详解】，其中锐角满足，，方程在上有两个不同的实数解，即方程在上有两个不同的实数解，不妨设，由，得，，，所以.故14.如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________．【正确答案】4【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】在中，由，又，所以，所以，又，所以，所以又D，E，F三点共线，且在直线外，所以有：，且，所以，，当且仅当时，等式成立，所以最小值为4．故4．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，且.（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模；（2）先计算，，最后根据计算即可.【小问1详解】由整理得，又，代入得，解得，则；【小问2详解】因为，又，所以.16.如图，在平面直角坐标系中，锐角以为始边，终边与单位圆交于点，将角的终边绕点逆时针旋转交单位圆于点．已知点的横坐标为．（1）求的值；（2）求点的横坐标．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题可求出，然后利用诱导公式化简计算即可；（2）由两角和的余弦公式可得答案.【小问1详解】由题意知A，所以，．因为，，所以【小问2详解】由题意知点B的横坐标为，因为.所以点B的横坐标为.17.如图，在梯形中，，且，设，．（1）试用和表示；（2）若点满足，且，，三点共线，求实数的值．（3）若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值.【正确答案】（1）（2）（3）分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出；（2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出．（3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得，利用二次函数性质即可求解最值.【小问1详解】因为，，，所以，化简为．【小问2详解】因为，，三点共线，所以，因为，，所以，又，所以，所以解得．【小问3详解】因为点E是线段AC上的动点，设，因为，所以，所以，，所以，故当时，取到最小值．18.已知函数.（1）求函数的单调减区间；（2）若，，求的值；（3）当时，函数的最大值为，求m的值.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递减区间.（2）由（1）中函数求得，确定的范围求出，再利用和角的余弦公式计算得解.（3）利用二倍角公式，结合换元法，借助二次函数由最大值求出.【小问1详解】依题意，函数，由，得，所以函数的单调减区间为.【小问2详解】由（1）得，解得，由，得，当时，，当时，，因此，，所以.【小问3详解】由（1）得，当时，，令，函数，依题意，函数在上的最大值为，当时，，，不符合要求；当时，，，不符合要求；当时，，，则，所以.19.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．（1）求向量，的仿射坐标；（2）当时，求；（3）设，若对恒成立，求的最大值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）向量的线性运算计算即可；（2）应用向量夹角公式计算即可；（3）先把恒成立转化