《体育统计学》课程第2讲样本特征数

体育统计学

第二讲样本特征数

目标要求1了解集中位置量数的概念及分类，会计算中位数、众数、几何平均数和算术平均数。2了解离中位置量数的概念及分类，会计算全距、绝对值、平均差、方差、标准差。3理解平均数和标准差的合成计算4掌握算术平均数、标准差和变异系数的概念和在体育领域中的运用。

内容提纲集中位置量数离中位置量数平均数的合成计算与标准差的合成计算平均数和标准差在体育中的应用第一节集中位置量数

一集中位置量数的概念集中位置量数——反映一群性质相同的观察值的平均水平或集中趋势的统计指标。他表示同类现象在一定的时间、地点、条件下所达到的一般水平。第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

1中位数将样本的观察值按其数值大小顺序排列起来，处于中间位置的那个数值就是中位数，中位数常用表示，它处于频数分配的中点，不受极端数值的影响。

中位数的项数计算式为

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

（1）当样本含量为奇数时，则居于中间位置的那个数就是中位数。

例3.1若有7位运动员的纵跳成绩（单位：cm）为：60.263.563.866.268.168.869.9

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

（2）样本含量为偶数时，则中间两项的平均数为中位数。例3.2若有8位铅球运动员推铅球的成绩（单位：m）为：10.2010.3510.8410.6810.9211.0511.2111.38

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

2众数

众数（）是样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值。

例3.3已知150名男生60m跑成绩（单位：s）的频数分布表，见表3.1。

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

第5组的频数最多，频数为42人，该组的下限为8.7，上限为9，组中值为8.85。由众数的定义可知这群数众数为=8.85s。第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

3几何平均数

几何平均数（）是样本观测值的连乘积，并以样本观测值的总数为次数，开方求得。求解公式：

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

例3.4若有3人的引体向上的成绩（单位：次）为：22025则其几何平均数为：

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

利用几何平均数求集中位置量数时，在n较大时，要求开高次方，此时宜采用取对数方法计算，即：

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

4算术平均数

常简记为平均数或均数计算公式：

式中，为算术平均数，n为样本含量，为总和，Xi为个体变量

第一节集中位置量数二集中位置量数的种类

例3.5若有5人的跳高成绩（单位：m）为：1.601.621.681.651.64

则其算术平均数为

为了书写方便，可简化为：第一节集中位置量数三算术平均数的计算1算术平均数的直接求法

小样本时（n<45），可直接求解。求解步骤：第一步：列计算表，求变量的总和第二步：根据算是平均数的公式求解例3.6随机抽取某中学初中三年级10名男生，并测得他们的身高数据（单位：cm）如下：164168159161154157159163163160

试用直接求法求其算术平均数。第一节集中位置量数三算术平均数的计算第一步：列计算表，求变量的总和第二步：求算术平均数第一节集中位置量数三算术平均数的计算2算术平均数的简捷求法简捷求法的思想方法是先假定一个假设均数，用A表示，它与真均数之间一般是有偏差的，我们可以用c表示该偏差。那么，真均数为=A+c

第一节集中位置量数三算术平均数的计算规则1：若每一原始观察值都加上或减去某常数T，可得一组新的数据、、...、,若要以这组新的数据去求解原始观察值的平均数，则有

式中为原始观察值的平均数，为新数据的平均数，T为该常数。第一节集中位置量数三算术平均数的计算如有4个原始观察值10、10、12、16，现取常数T=10。若将这4个数据都加上10，可得一组新数据20、20、22、26。如果要以这组新数据来获取原始观察值的平均数，则有第一节集中位置量数三算术平均数的计算若每个原始观察值都减去常数T=10，则得新数据0、0、2、6。如仍要以这组新数据去求原始观察值的平均数，则有

第一节集中位置量数三算术平均数的计算规则2：若每一原始观察值都都乘上或除以某常数T，可得一组新的数据、、,若要以这组新的数据去求解原始观察值的平均数，则有

式中为原始观察值的平均数，为新数据的平均数，T为该常数。第一节集中位置量数三算术平均数的计算现仍以上面的4个原始观察值为例，若乘上常数T=10，则得一组新数据100、100、120、160，如果要以这组新数据求原始观察值的平均数，则有第一节集中位置量数三算术平均数的计算

若每个原始观察值都除以某常数T=10，也可得一组新数据1、1、1.2、1.6，如果要以这组新数据求原始观察值的平均数，则有第一节集中位置量数三算术平均数的计算例3.7某校150名男生60m跑原始数据经频数分布表整理，其结果分析列入表3.3的第一栏、第二栏和第三栏中，试用简捷求法求平均数。组距I=0.3s。第一节集中位置量数三算术平均数的计算第一步：制作平均数的简捷求法计算表（见表）

第一节集中位置量数三算术平均数的计算第二步：求各组的组中值。在求各组的组中值时，我们要找到各组的组下限和组上限。组中值的求解公式如下：

第三步：确定假设均数A。从理论上说，假设均数可以取任何一个常数。为了使计算工作更简捷些，我们在选择假设均数时，最好取频数最多的那组的组中值。本例取第五组的组中值为假设均数，即A=8.85s。第一节集中位置量数三算术平均数的计算第四步：求各组的组序差d。这步工作是简捷求法求平均数的很重要的一步。首先把各组对象的水平都近似地看成该组组中值的水平。第五步：求缩小两次后的新变量的和。新变量的总和。第一节集中位置量数三算术平均数的计算第六步：求缩小两次后的新变量的平均数。根据平均数的定义有：式中为缩小两次的新变量的平均数，为新变量的总和，为样本含量。

所以本例的平均数为

第一节集中位置量数三算术平均数的计算第七步：求原始变量的平均数

由于前面的计算过程中，曾对原始变量作过两次缩小，第一次是减去假设均数A，第二次是除以组距I。所以在求原始变量的平均数时，要根据规则1和规则2，在新变量的平均数上先乘上I，然后再加上A，便可得到原始变量的平均数。

第二节离中位置量数一、离中位置量数的概念离中位置量数——描述一群性质相同的观察值的离散程度的统计指标。二、离中位置量数的种类1全距全距即两极差，就是一组观察值中最大值与最小值之差。第二节离中位置量数二、离中位置量数的种类2绝对差绝对差是指所有样本观测值与平均数的绝对差之和，其定义为：

第二节离中位置量数二、离中位置量数的种类3平均差平均差是指样本中所有观测值与平均数绝对差距的平均数，其定义为：第二节离中位置量数二、离中位置量数的种类4方差式中：为方差，为总体均数，N为总体中的个体数目

上述方差公式是指总体情况的，在很多情况下，我们无法了解总体参数（，），而只能用样本的均数（）和方差（）代替总体均数和方差，为此，方差的公式可改写成：第二节离中位置量数二、离中位置量数的种类5标准差方差能全面反映数据的离散程度，可是由于方差的单位与原观察值的单位不一致，为了统一单位起见，将方差开方，便得到标准差。第二节离中位置量数三、标准差的计算1标准差的直接求法（n<45）第一步：列标准差的计算表，求出变量的和和变量的平方和。第二部：根据标准差的计算式计算出S例3.6随机抽取某中学初中三年级10名男生，并测得他们的身高数据（单位：cm）如下：164168159161154157159163163160试用直接求法求其算术平均数。第二节离中位置量数三、标准差的计算2标准差的简捷求法（n≥45）

规则1：若每个原始观察值都加上或减去同一常数T，可得一组新数据，，若要以这组新数据去求解原始观察值的标准差，则S=S′。

规则2；若每个原始观察值都乘上或除以某一常数T，可得一组新数据，若要以这组新数据去求得原始观察值的标准差，则有

第二节离中位置量数三、标准差的计算2标准差的简捷求法（n≥45）例如，有三个原始观察值2、4、6，现取常数T=10，若将这三观察值都加上10，可得一组新数据12、14、16。原始变量的均数=4，新变量的平均数=14。根据标准差的定义（3.16）式计算得：

原始变量的标准差s=2，新变量的标准差s′=2第二节离中位置量数

若上述三个原始观察值都减去T=10，可得另一组新数据-8、-6、-4，其平均数=-6。同理，根据标准变量的定义（3.16）式计算得：

原始变量的标准差s=2，新变量的标准差s′=2第二节离中位置量数

仍以上述三个原始数据观察值为例。若上述三个原始数据观察值都乘上T=10，可得一组数据20、40、60，其平均数为=40。若要以这组新数据去求原始观察值的标准差则有新变量的标准差s′=20

原始变量的标准差

第二节离中位置量数若上述三个原始观察值都除以T=10，又可得一组新数据0.2、0.4、0.6，其平均数为=0.4。要以这组新数据去求原始观察值的标准差，则又有新变量的标准差s′=0.2

第二节离中位置量数例3.7某校150名男生60m跑原始数据经频数分布表整理，其结果分析列入表3.3的第一栏、第二栏和第三栏中，试用简捷求法求平均数。组距I=0.3s。第二节离中位置量数第一步：制作计算表（表3.5）。

第二节离中位置量数第二步：计算缩小两次后的新变量的总平方和。=402。第三步：求标准差S。原始变量经过两次缩小，第一次缩小是减去假设均数A，根据标准差计算的规则1，这次变量缩小的标准差没有影响；而二次缩小是除以了组距I，故根据标准差计算的规则2得知，原始变量的标准差S是新变量的标准差S′与组距I的乘积。标准差的简捷求法计算公式为第二节离中位置量数式中是新变量的总平方和，为新变量的总和，为样本含量，I是组距所以该校150名男生60m跑成绩的标准差为0.49s。

第三节合成计算与S得合成计算

一平均数的合成计算1样本含量相同的计算若有个样本含量相等的样本平均数，则其合成平均数的计算式为：

第三节合成计算与S得合成计算例3.8某校初中三年级有5个班级，各班男生数都为30名，各班男生的平均身高分别为。试以5个班的平均身高求该年级男生的平均身高（单位：cm）。

第三节合成计算与S得合成计算2样本含量不等时的计算

若有k个样本含量不相等的样本平均数，那么合成平均数的求解公式为：第三节合成计算与S得合成计算例3.9已知某中学初中男生立定跳远有关的数据（见表3.6），试求三个班男生立定跳远成绩的合成平均数。

第三节合成计算与S得合成计算在本例中，，，，故样本含量不等，=30+29+35=94。

所以该年级男生立定跳远的

第三节合成计算与S得合成计算二标准差的合成计算

合成标准差的计算方法是，先将各样本的含量、变量和以及变量的平方和分别求和，然后按照标准差的数学定义求解。

例3.10测得某校初中三年级4个班男生的身高数据，经初步整理，得到有关资料（见表3.7）。

试求4个班的合成标准差。计算步骤如下：

第三节合成计算与S得合成计算第一步：求N，，。合成的样本含量和为

合成的变量平方总和为

第二步：求合成的标准差S合。所以该年级4个班男生身高的合成标准差为5.432cm.第四节平均数和标准差在体育中的应用一、平均数和标准差在选择参赛运动员中的应用主要涉及到三方面的因素：一是运动员的最好成绩；二是运动员平均水平；三是运动员成绩的稳定性。第四节平均数和标准差在体育中的应用例3.11教练员要从两名标枪运动员中决定一人参加比赛。现得知这两位运动员在竞赛期内的10次专项成绩如下（单位：m）：

甲队员：40.5041.2640.4439.6240.1242.1039.8440.1838.7039.54

乙队员：40.4842.8840.5039.5038.0043.3238.7241.8236.8440.24

试根据不同比赛状况选择参赛队员。

第四节平均数和标准差在体育中的应用首先，要了解两位运动员的最好成绩，由上述资料可知，乙运动员的最好成绩为43.32m，甲运动员的最好成绩是42.10m。其次，要了解两位运动员专项成绩的平均水平，根据公式可得

第四节平均数和标准差在体育中的应用

第四节平均数和标准差在体育中的应用

从两位运动员的标准差来看S乙>S甲，说明甲运动员的成绩稳定性高于乙运动员。首先，了解两位运动员的最好成绩，乙：43.32m，甲：42.10m。

其次，了解两位运动员的平均水平，

两位运动员的稳定性：甲的稳定性高于乙。

选择参赛运动员：

第四节平均数和标准差在体育中的应用二、变异系数在稳定性研究中的应用变异系数也是反映变量离散程度的统计指标，它是以样本标准差与平均数的百分数来表示的，没有单位，记作CV。变异系数既能对性质相同的项目（或指标）的数据进行离散程度的比较，又能对那些性质不同的项目（或指标）数据离散程度进行比较。第四节平均数和标准差在体育中的应用例3.12有一位运动员，其主项为100m跑，兼项为跳远。在竞赛期内，其主、兼项的20次测试结果为：100m,;跳远成绩，，试比较该运动员的主、兼项成绩的稳定性。

第四节平均数和标准差在体育中的应用由于两个项目是不同性质的，所以要用变异系数进行比较。根据（3.23）式有

由于该运动员100m的CV<跳远的CV，故该运动员100m跑的成绩比跳远成绩稳定。

第四节平均数和标准差在体育中的应用三、法在原始数据逻辑审核中的作用根据正态分布（常态分布）的规定，可以证明，原始数据在[]区间中所占数目可占所有原始数据的99.74%。也就是说，在100个数据里平均只有2个多（不到3个）数据在上述区间之外。由于在上述区间外的数据很少，所以在随机抽样时要抽到这类数据的机会非常小。因此，在实际审核数据时，遇到在[]区间外的数据，一般作为可疑数据处理。第四节平均数和标准差在体育中的应用例3.13随机抽测了某市300名初中男生的身高资料，经检验基本服从正态分布，并得=158.5cm,S=4.1cm,在这300名学生中有3个人的身高原始数据分别为试用法检查这三个数据是否为可疑数据（单位：cm）。

第四节平均数和标准差在体育中的应用

第一步：求的下限和上限。原始数据的审核下限为：

原始数据的审