河北博野中学2025-2026学年高一下学期3月数学检测试卷 附答案

/数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平行四边形中，下列结论错误的是（

）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.【详解】画出图像如下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.故选：C.2.已知，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】.，因为，所以，因为，所以，所以.3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（）A. B. C. D.或【正确答案】D【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小.【详解】在中，因为，，，且，故，由正弦定理可得，又因，故或.故选：D.4.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形【正确答案】B【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B5.在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果.【详解】由，得，则，又，，则，又共线，因此，即.故选：C6.若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论.【详解】因为是夹角为的两个单位向量，所以，，设为夹角，，故选：A.7.已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值.【详解】以线段中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，则，，，所以，，则，当且仅当，时，取最小值.故选：B.8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】因为，可得，且，所以，由余弦定理可得，又因为，所以，因为为锐角三角形，则满足，可得，由正弦定理得，又因为，所以，可得，可得.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则值为2B.当时，求与夹角为C.若在方向上的投影向量的模为，则或D.若与夹角为钝角，则的取值范围是【正确答案】BC【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量垂直的坐标运算求解判断B，根据投影向量的坐标公式列式求解判断C，根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D.【详解】对于A，向量，且，所以，则，故A错误；对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确；对于C，由已知在方向上的投影向量的模为，所以，解得或，故C正确；对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线，所以且，故D错误.故选：BC10.已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形或直角三角形B.在锐角中，不等式恒成立C.若，，且有两解，则的取值范围是D.若，则为锐角三角形【正确答案】ABC【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项.【详解】对于A，若，则由余弦定理得，即，，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确；对于B，在锐角中，，故且，故，所以不等式恒成立，故B正确；对于C，若，且有两解，则，故，即，故C正确；对于D，若，则，即，由正弦定理得，所以角为锐角，但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误.故选：ABC.11.已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（）A.B.C.是函数的一条对称轴D.函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到【正确答案】ABD【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解.【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确；B，由，可得，可得，解得，因为，所以，所以B正确；C，由，令，可得，令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误；D，将函数的图象向左平移个单位，可得，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________.【正确答案】4【分析】由求得，计算即可得出的结果.【详解】∵向量在向量上的投影向量为，∴，∴，，则，∴.故413.如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________【正确答案】【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围.【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，其中，则，，所以，因为，所以，则，故，即的取值范围是.14.如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______；【正确答案】【分析】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案.【详解】在中，，，则，其中，由正弦定理，得，在中，，，则，又，则，又，在中，由余弦定理，得，所以.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.【小问1详解】因为所以①.又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.【小问2详解】因为，所以，即，又，所以.因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故.16.已知在中，为中点，，，.（1）若，求；（2）设和的夹角为，若，求证：；（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）点为线段的中点【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；（2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立；（3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.【小问1详解】因为，则，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.【小问2详解】因为为的中点，则，由平面向量数量积的定义可得，所以，，又因为、均为非零向量，故，即.【小问3详解】因为点在线段上一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，，解得，此时，点为线段的中点.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（1）求角A；（2）若D是线段的中点，且，求的面积；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A；（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.【小问1详解】由正弦定理可知，∴，∴，又，，∴，∵，∴，∵，∴．【小问2详解】由（1）及余弦定理得，即，①又因为，则，则，即，所以，②由得，所以．【小问3详解】由（1）得，则，即，由正弦定理可知，，所以．因为△ABC为锐角三角形，所以，，即，，则，即，则，故△ABC的周长的取值范围为．18.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数.（1）求函数的解析式;（2）若是函数的一个零点，求的值；（3）若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据题意，求得，得到，再由三角函数的图象变换，结合三角函数的性质，求得，得到，即可求得的解析式；（2）根据题意，转化为，得到，再由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，化简得到，代入即可求解；（3）令，根据题意，利用正弦函数的性质，转化为方程在上有2个不相等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，可得函数的最小正周期为，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，因为为偶函数，可得，所以，因为，所以，所以函数的解析式为.【小问2详解】解：因为是函数的一个零点，即，可得，由（1）知，所以，即，又由，因为，所以.【小问3详解】解：由（1）知，因为，可得，令，当时，有两个解；当或时，有一个解，若方程在上有4个不相等的实数根，即为关于的方程在上有2个不相等的实数根，设，则满足，解得，所以实数的取值范围为.19.在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6