上海市西外外国语学校2025-2026学年高二下学期3月月考数学检测试卷 附答案

/上海市西外外国语学校高二月考数学试卷一．填空题1.函数在区间上的平均变化率为__________.【正确答案】1【分析】利用平均变化率的定义，列式计算即得.【详解】函数在区间上平均变化率为.故12.设函数，则________．【正确答案】【详解】由题意得函数，则.3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点是__________.【正确答案】【分析】根据的图象得到函数的单调性，从而得到函数的极大值点.【详解】由图可知函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以函数的极大值点是.故答案.4.已知从小到大排列的一组数据1，2，4，，8，10，若这组数据的第60百分位数与平均数相等，则实数的值为______.【正确答案】5【详解】因为，所以该组数据的第60百分位数为从小到大排列的第4个数据.由题意知，解得.5.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______.（用分数表示）【正确答案】##【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】根据题意，从该地市场上买到一个是甲厂合格灯泡的概率为，从该地市场上买到一个是乙厂合格灯泡的概率为，所以从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是.故答案为.6.已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________．【正确答案】【分析】先对函数求导，然后令导函数等于零，则解在区间内，从而得解.【详解】因为，所以，令，得.由题意得，故．故答案为.7.设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为____.【正确答案】【分析】设切点为，由切线与平行即可求出切点，最后由点到直线距离公式即可求解.【详解】设切点为，则切线与平行，即有，所以，所以切点为，当点为切点时，点到直线距离最小，由点到直线的距离公式有，故答案为.8.若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为______.【正确答案】【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可.【详解】依题意，在区间上有解，即在区间上有解，设，则，故只需求在上的最小值，而，当时，取得最小值，故得，则实数的取值范围为.故9.已知三次函数无极值，且满足，则______.【正确答案】【分析】由已知无变号零点可得，即，结合不等关系及基本不等式有，即可求目标式的值.【详解】由题设，则，即，所以，当且仅当时等号成立，又，故，可得，所以.故10.已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．【正确答案】.【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解.【详解】设，可得，因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，又由，可得，所以当时，，即不等式的解集为.故答案为.11.如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，则，，设方程为：，所以，，方程为：，令矩形面积为，当时，，当，设，则，所以，则，令，则，在上递增，令，则或，在上递减，又，，，所以当的长为时，该矩形面积最大.故12.对于函数和，设，，若存在m，n，使得，则称和互为“零点关联函数”，若函数与互为“零点关联函数”，则实数a的最小值是______．【正确答案】【分析】首先根据函数为单调递增函数，，得仅有唯一零点，结合“零点关联函数”的定义得出函数的一个零点为，则有，即，构造函数用导数解决问题.【详解】由函数为单调递增函数，，得仅有唯一零点，设函数的一个零点为，则有，即，所以由题知，在有零点，即方程在有解,构造函数，，，，在单调递减，，所以，，单调递增，且，要使方程在有解，则，所以实数的最小值是-2.故-2．二、选择题13.对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）.A.变量与呈现正相关，且B.变量与呈现负相关，且C.变量与呈现正相关，且D.变量与呈现负相关，且【正确答案】D【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项.【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B；对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C；图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故，故选：D.14.设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（）①l与曲线可能没有交点；②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【正确答案】B【分析】根据切线的定义，结合直线与曲线的位置关系，即可判断.【详解】①因为直线为曲线在点处的切线，所以至少有交点，故①错误；②有可能切线与曲线有其他的交点，故②错误；③切线与曲线有可能除切点外，还有1个交点，即仅有两个交点，故③错误；④切线与曲线有可能有无穷多个交点，比如与，故④正确.故选：B15.根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【正确答案】B【分析】回归直线必过样本中心点，根据原经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值.【详解】因为原经验回归方程为，且平均数，所以代入方程得，因为去除的两个样本点和，由，所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，可得，解得.故选：B.16.若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题：命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（）A.命题、命题都是真命题 B.命题为真命题，命题是假命题C.命题为假命题，命题是真命题 D.命题、命题都是假命题【正确答案】B【分析】对命题：和有公共点，故隔离直线过该公共点，设为，结合二次函数性质对参数分类讨论研究恒成立得，则直线为，再用导数法证恒成立即可；对命题：设隔离直线为，则有对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可.【详解】（1）对命题：设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立，若，记，，则二次函数有两个不同零点，记为，由，不妨设，解不等式可知，，即与对任意恒成立矛盾，故，若，则符合题意，若，由对任意x都成立，注意到的对称轴为，从而，即，所以，又的对称轴为，∴，即，∴，故，同理可得，，即，的最小值为，故命题为假命题；（2）对命题：注意到函数和均经过，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程，即，由恒成立，即，整理得：对于均成立.若，则上述不等式转化成，显然对于恒成立；若，记，则该二次函数有两个不同零点且至少一个正零点：，此时是开口向上的二次函数，必有轴以下的部分，即对于无法成立.故，此时直线，下面证明.令，则，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题.故选：B三、解答题17.已知函数．（1）求在上的单调区间；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围；【正确答案】（1）减区间，增区间；（2）．【分析】（1）利用导数的正负判断单调性即可；（2）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可．小问1详解】求导得：，当时，，当时，，所以的减区间是，增区间是；【小问2详解】由，可得，题意等价于在上有解．设，，求导得，当时，，递增，，所以存在，即，使得成立；当时，时，，在上递增，时，，在上递减，所以，由得，所以存在，即，使得成立，综上，．18.设函数.（1）对于任意实数x，恒成立，求m的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，利用二次函数性质，求的最小值即可；（2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．【小问1详解】解：已知函数，，则，因为对于任意实数x，恒成立，则，对称轴，所以，可得，即的最大值为.【小问2详解】（2）令，即，解得或，当时，；当时，；当时，.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取极大值；当时，取极小值，故当或时，方程仅有一个实根，解得或，所以a的取值范围为.19.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名同学的阅读量(单位:本)统计结果用茎叶图记录如下(十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”)其中乙组记录有一个数据模糊，无法确认.在图中以表示（1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求的所有可能取值；（2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；（3）记甲组阅读量的方差为，在甲组中增加一名学生A得到的“新甲组”.若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为，若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为.通过计算比较的大小(结果精确到0.1)，并从数学角度解释这一现象.【正确答案】（1）1或2或3（2）（3）【分析】（1）利用茎叶图计算平均值，解不等式计算即可；（2）利用条件概率公式计算即可；（3）利用方差公式计算各方差，结合方差的统计意义解释即可.【小问1详解】甲组10名学生阅读量的平均值为：，乙组10名学生阅读量的平均值为：，由，又，且，所以的值可能为1或2或3.【小问2详解】阅读量超过15本的学生，甲组有2人，乙组有3人.设事件：抽取的学生为甲组学生，事件：抽取的学生为阅读达人.则，，所以.【小问3详解】对甲组：，所以.对新甲组1：，所以.对新甲组2：，所以.所以.数学解释：由于甲组均值为10，方差反映了数据的离散程度，当增加数据10（原样本均值），数据相对更集中，所以方差变小；当增加数据20，数据更加分散，方差变大.20.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；（3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.【正确答案】（1）（2）（3）证明见详解【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程；（2）联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即可求解；（3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立.【小问1详解】解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是，可得，解得，因此椭圆的方程为.【小问2详解】解：设，，联立方程组，整理得，由，解得，则，因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则，可得，即，代入得，整理得满足，所以.【小问3详解】解：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，，设，则，所以，则，因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，则为中点，所以，又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为，则的方程为，即；又由直线的斜率为，所以直线的方程为，由，可得，则，解得，即，又因为、分别为、在轴的垂足，则，，所以为定值.21.已知函数，（b为常数）．（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值；（2）若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围．【正确答案】（1）或1；（2）0（3）2.【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，再由直线与函数的图象相切求出的值.（2）求出函数在上的