中学数学方法论课本主要内容

目录绪论数学思想方法的对象和意义中学数学思想方法的研究对象学习中学数学思想方法的意义中学数学思想方法的学习方法数学的起源与发展数学发展各个时期简析中国数学的起源与发展数学发展的动力数学概观数学的对象和特征数学的地位辩证唯物主义数学观数学基础论及其简要评介数学研究的一般方法观察与实验划分与比较分析与综合抽象与概括‘特殊与一般数学的逻辑方法逻辑思维的基本形式形式逻辑方法与辩证逻辑方法逻辑推理规则常用逻辑推理方法数学证明与逻辑推理错误剖析几种重要的数学方法模型方法化归方法公理化方法数学思维方法思维及数学思维数学逻辑思维方法数学形象思维方法创造性思维及其培养数学思想方法的教学数学思想方法教学的原理符号化意识的培养化归意识的培养整体化意识的培养帮助学生形成正确的数学观绪论方法：就是人们处理某种事物的策略、思路、途径和步骤，解决不同学科的不同问题，需要用不同的方法。方法论：研究各种方法共同规律和原则的学问数学方法论：狭义：解决数学问题的方法和手段，包括：数学概念的定义方法、数学的推理和证明方法、数学的计算和解决问题的思想方法等。广义：还应包括对数学概念、数学理论的概念、数学理论的概念认识，包括对各种数学方法进行分类、整理和总结，从中寻找某些共同的规律，从而使我们能更好地学习数学和运用数学。更广义：研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学的发现、发明和创新的学科。正确的数学观应该包含如下成分：数学的整体观；数学的价值观；数学的问题观；数学的审美观；数学教学和数学学习观。第一章数学的起源与发展一、数学发展史1、数学萌芽时期（公元前600年以前）（1）数学的对象：社会生活的农业生产上的实际计算和测量的问题。（2）主要发明创造（3）特点：数学研究的对象是客观世界实际事物中的数量和图形，就是初步的算术和几何的计算只是，算术和几何结合在一起研究。数学概念的形成比较缓慢，数学知识是片断的、零碎的，缺乏逻辑因素，没有形成严谨的科学体系。已逐步出现了一些数学概念和抽象的数学符号，产生了具有一定关系和规律的数学系统——算术；为建立抽象的数学理论学科，从思想和方法上积累了丰富的素材。2、常量数学时期（初等数学时期，公元前5世纪到公元17世纪初）（1）数学的对象：主要是客观事物在相对静止的状态下保持不变的数量和图形，即常量。（2）主要发明创造（基本内容可分为几何的和代数的两部分）（3）特点：数学的研究对象从实际事物的性质中抽象出来，把它理想化成为纯粹的研究对象——相对稳定状态下的数量和图形。数学已由具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段，在前期积累的算术、几何知识的基础上，建立了更多的抽象的数字概念、符号和图形，逐步脱离其实际问题而成为独立的学科。数学研究不仅运用抽象方法，而且运用逻辑方法（主要为演绎法），把过去经验积累的数学知识整理成为演绎体系。数学内容依据其研究对象的不同建立起算术、代数、几何、三角等数学分支，并有自己专门的符号体系、陈述方法和推理证明方法。3、变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）（1）数学的对象：客观事物在运动变化的状态下变化的数量和变化的图形，也就是变量。（2）主要发明创造：解析几何（笛卡尔），微积分（莱布尼兹，牛顿）（3）特点：数学的研究对象有很大发展，起了质的变化（数学从研究常量到变量，离散量到连续量，有限量到无限量，必然量到或然量，从研究简单的几何图形的性质到较复杂的几何图形的性质。数学的思想、方法出现新特点。建立起解析几何和微积分两个新学科。数学分析在数学发展中占主导地位。数学与自然科学相互促进。4、近代数学时期（从19世纪20年代开始到20世纪40年代）（1）数学的对象：已是定义在任意性质的元素集上的运算和关系，它们由于遵循的功力系统不同而形成的数学结构（2）主要发明创造：出现三大转折：微积分的发展成为数学分析；解析几何的发展成为高等几何；方程的发展成为高等代数。有三大突破：分析学产生了傅里叶级数，函数概念上有重大突破；几何学产生了非欧几何，空间概念上有重大突破；代数学产生伽罗华理论，代数运算概念上有重大突破。建立了三大理论：实数理论、集合论和数理逻辑。（3）特点：革命的数学思想、数学创造的自由化促使数学很大发展。数学研究对象更一般化、抽象化、多样化。数学的发展趋向于统分结合。数学的应用越来越广泛。数学新问题层出不穷。5、现代数学时期（20世纪40年代至今）（1）数学的对象：现实世界的空间形式和数量关系以及在这个基础上发展起来的结构和模型。（2）主要发明创造：应用数学大发展。电子计算机的创造成功并得到广泛应用。基础数学理论有飞速发展。（3）特点：以集合论为基础，数理逻辑成为数学推理的依据。数学抽象化的程度进一步加强。应用数学蓬勃发展。电子计算机的产生和应用。基础数学（纯粹数学）理论也有飞速发展。二、中国数学1、《周髀》的数学主要成就有勾股定理，测量术，分数运算。2、《算经十书》：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算经》《缉古算经》《数术记遗》《夏侯阳算经》3、《九章算术》（公元前1世纪前半期）内容：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股（问题及形式，有问、答、术，共246问202术）数学方法：分数算法，一般比率算法（粟米之法，今有术，经率术，其率术，反其率术衰分术，反衰术，均输术），组合比率法，开方算法，面积和体积公式在中国数学史上的地位：《九章》是中国传统数学的代表作。《九章》标志着中国初等数学理论体系的形成。特色：有明显的社会性和实用性的特征。以算法为中心的形数结合的算法体系。《九章》中的成果表现出构造性的特点。中国传统数学理论体系的发展赵爽，主要成就是注释《周髀》，其中最主要的是“勾股圆方图注”和“日高图注”。刘徽，主要成就在于《九章注》，为我国的传统数学奠定了坚实的理论基础。祖冲之，主要数学成果载于著作《缀术》五卷；创设3.1415926<π<3.1415927；密率为π=355/113；约率为π=22/7。《孙子算经》，含“中国剩余定理”。《张丘建算经》，其中著名的“败绩问题”，开创了中国古代研究不定方程的先河。《缉古算经》，作者：唐代王孝通，该书一卷包括天文问题、土方体积问题、容积问题、勾股问题四类。书中创立用开带从立方法求三次方程数值解，在中国数学史、世界数学史上都是最早的。刘焯著《皇极历》，其中最主要的成就是创立了等间距二次内插法。张遂编《大衍历》，创立了“不等间距二次内插法”北宋：刘益，著《议古根源》，创立了正负开方术；贾宪，创立“增乘开方法”；沈括，创作主要是“隙积术”和“会圆术”南宋：①秦九韶，著的《数书九章》是一部划时代的巨著。其中“大衍求一术”和高次方程解法，在世界数学史上占有崇高的地位。秦九韶讲一次同余问题推广到一般的情况，在“大衍总数术”中给出了解决这类问题的全部解法的步骤。这比欧洲同类成果早550年。秦九韶的“正负开方术”是求高次方程的数值解法（后人称秦九韶法），可用于解任意次数的方程，髀欧洲同类成果也早五六百年。②杨辉编著的数学书有5种21卷，即《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷法》2卷，《续古摘奇算法》2卷。后三种著作又统称《杨辉算法》，流传很广。杨辉对数学的贡献主要在于引用和保存了大量古代珍贵的数学史料，如除算经十书外，有刘益的“正负开方术”、贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”等。对垛积术的研究有许多成果；改进计算技术，提出许多速算法；研究“纵横图”并有衍化发展。元代：李冶著《测圆海镜》12卷，《益古演段》3卷，数学成就主要是深入研究与改进了天元术，并给出了我国关于几何问题代数解法的最早典范。朱世杰著《算学启蒙》、《四元玉鉴》，发展了垛积术，创立了“四元术”和“招差术”。数学与现实世界的关系辩证唯物主义对数学的看法：纯数学源起于经验，有着非常现实的材料；纯数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的对象；纯数学来源于外部世界又脱离外部世界而发展；数学的发展遵循辩证的规律。数学研究的对象是现实世界空间形式和数量关系及由这个对象得来的数学结构和模型。简单的说：数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。人们对数学的认识：人们对数的概念的认识：数的概念是人们对客观事物的量的关系的能动的反映。人们对图形的认识：几何图形是人们对客观事物的形象、位置关系和大小的能动的反映。人们对函数关系的认识：函数概念是人们对客观事物运动变化中量的关系的能动的反映。（函数概念的起源：笛卡尔引入变量——莱布尼兹最早用“函数”作数学术语——贝努力解析扩张函数定义——欧拉给出函数的3个定义——柯西，黎曼狄利克雷，康托尔）数学发展的动力（美*怀尔德提出）：环境的力量，遗传的力量，符号化，文化传播，抽象，一般化，一体化，多样化，文化阻滞，文化抵制，选择。郑毓信教授在《数学方法论》中介绍了怀尔德的研究成果并作了分析，认为：从整体上说，对于导致数学发展的各种力量可归纳如下：{环境力量（外部力量）：物质成分和文化成分；遗传力量（内在力量）：知识成分和数学传统。实践的需要是数学发展的外部动力社会实践活动向数学提出问题。（社会实践活动包含着人们的生活时间、生产时间以及从事科学和技术研究的实践活动）社会实践活动的需要促使各种数学问题的提出和解决，刺激了数学的发展社会实践是检验数学理论客观真理性的唯一标准数学内部的矛盾斗争促使数学发展，这是数学发展的内在动力从数学理论与新经验的事物中发生矛盾提出问题，促进数学发展数学理论本身的矛盾提出问题，促使数学发展第二章数学概观1、数学的研究对象：（1）古希腊：数学史研究数量的科学（毕达哥拉斯，亚里斯多德）（2）笛卡尔：数学是研究顺序和度量的科学（3）恩格斯：数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系（4）当代数学对象观：布尔巴基学派认为：“数学是研究抽象结构的科学。”苏联*亚历山大洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》一书中指出：“数学以纯粹形态的关系和形式作为自己的对象。”以罗素为代表的逻辑主义者把数学等同与逻辑，从而逻辑学研究的对象也就是数学研究的对象。形式主义者认为，数学是一串没有实际内容，而且在逻辑上又不互相矛盾的符号体系。2、数学的特点：（1）数学的抽象性：①数和形等概念脱离了它们自身赖以存在的物质对象。②数学的抽象性具有逐级上升的特点（2）数学的严谨性：①命题结论的确定性②基本概念用公理定义③广泛使用数学符号④严谨性的相对性和发展性（3）数学应用的广泛性：①日常生活离不开数学②科学技术的发展离不开数学③自然科学的发展离不开数学④中国重视数学应用的传统3、数学严谨性的表现：数学的发现需要经过推理论证才能成为可接受的真理。数学的理论需要通过逻辑推理才能导出。4、数学的地位（1）数学在科学中的领头地位：数学被视为万物的本质。数学一直受到尊重。（2）数学是自然科学的一个门类：学科的成熟与数学的运用直接有关。数学被排列于自然科学之首。（3）数学与自然科学并列（4）数学是人类文化的重要组成部分：文化传统对数学发展的影响。数学是人类文化的共同财富。数学是未来公民必备的文化素质。5、数学教育的文化价值：（1）数学与民族文化环境有紧密联系（2）数学是人类文化的共同财富（3）数学是未来公民必备的文化素质。6、数学的价值有两重性：一是实用价值，二是文化价值。7、数学作为未来公民必备的文化素养，主要以现在：（1）良好的思维训练价值（2）美的鉴赏价值（3）培养人们克服困难的顽强斗志，对事业成功的信心，以及由解决问题带来的欢乐感、满足感（4）培养人们用数学观念研究、解释世界的良好习惯，形成良好的符号意识、空间意识和运用意识8、中国数学的国际地位正在提高（1）数学研究向国际先进水平靠拢（2）数学教育成绩显著首先，我们已形成独立自主的数学教育体系。我国数学课程教材从过去单一模式向多样化过渡。我国数学教育的国际影响正在加强。9、辩证唯物主义数学观主要包含如下观点：（1）反映论（2）以现实材料为出发点（3）数学发展的相对独立性（4）数学对客观世界的反映是能动的10、数学以抽象形式反映客观世界（1）数的概念来源于计数（2）自然数四则（3）有理数（4）形的概念离不开客观世界提供的材料11、数学对实践的依赖关系（1）两种对立的数学观（2）数学以抽象形式反映客观世界（3）数学自身矛盾推动数学独立向前发展。数学来源于实践。12、数学内容的辩证性质是指数学的发展服从对立统一规律。（1）数的概念①一中有多，多中有一②“零”并不表示是绝对的无③分数与整数的对立统一④正数与负数的对立统一⑤有理数与无理数的对立统一（2）形的概念①同与异的矛盾②变与不变的矛盾③运动与静止的矛盾13、互逆运算及其相互转化（1）正逆运算及其相互转化（2）高级运算和低级运算的相互转化14、数学内容和形式的关系（1）形式与内容相互影响（2）数学为科学提供形式化的语言（3）利用形式符号更好地反映内容（4）形式与内容相辅相成15、数学基础主要包含3类问题：（1）数学中的逻辑问题。包含纯数学理论的形成化问题，数学功力系统的相容性问题，数学命题的判定方向等等。（2）数学方法论问题。即数学思想方法的一般原则、数学方法的可靠性、数学发展的规律等等。（3）数学的哲学问题。即数学卢纶的真理性标准问题、数学对象的本体论解释、纯数学研究对象的客观性问题等等。16、悖论的意义：（1）通俗的说，悖论即谬论。（2）一般地说，悖论即矛盾。（3）悖论泛指两类命题：一种是推理过程看似合理，而推理结果却不符合客观实际；第二种是由于新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观念，而引起的矛盾。17、悖论产生的原因，一时出自人类认识中的矛盾现象，二是出自人类认识的历史局限性，还可能出自于语义学或语言层次的混乱。18、数学危机：（1）第一次数学危机：芝诺所提出的阿奇利追龟说，希帕索斯悖论此次危机所涉及的问题主要是：①无理数的表示问题。②有限与无限的矛盾问题。通过上述悖论，人们认识到只用整数和整数比不能表示一切实数，于是产生两种结果：人们的经验和感觉不一定可靠。开始试图用几何量来表示一切不可公度的量，从而导致了几何、代数的真正分家。（欧几里德几何诞生了。标志着数学从哲学的附属地位中独立出来。）（2）第二次数学危机：贝克莱悖论微积分的基础并不牢靠，表现为：①人们对无穷小的概念尚模糊不清，而微积分却是在此基础上建立起来的②对无穷级数收敛问题讨论得不深不透贝克莱悖论的产生，促进了人们对数学分析基础的研究。19世纪以来，由于法国数学家达朗贝克，德国数学家魏尔斯特拉斯和法国数学家柯西详细而系统地提出了极限理论。而后来由德国数学家戴德金，康托等人完善了实数理论，从而结束了长达百余年的混乱。所谓第二次数学危机亦得到解决。（3）第三次数学危机：康托悖论，罗素悖论（集合论悖论）17、数学悖论的出现是人类对客观世界的认识与客观世界之间以及认识客观世界的方法与客观世界自身规律之间的矛盾的集中体现。一定的历史时期，人的主观认识与客观实际之间的矛盾是产生悖论的根本原因。数学悖论的出现，促使人们对数学基础进行更深入广泛的研究，从而促进了数学科学的发展。18、数学基础论的几个学派：（1）逻辑主义学派代表人物：德国数学家弗雷格（奠基者之一），英国逻辑学家、数学家罗素（与怀特海著《数学原理》）逻辑主义学派的基本观点：①数学概念可以由逻辑命题出发，经由明确的定义而给出②数学的定理可由逻辑概念出发，经由纯粹的逻辑演绎推理而给出，换言之，他们企图利用逻辑，推导出全部数学。这个推理过程可归结为两步：第一步是数学理论算术化；第二步是算术理论逻辑化。失败的原因：片面扩大了数学与逻辑在演绎结构上的一致性，完全抹煞了数学与逻辑的本质差异。他们的出发点是错误的。贡献：首先，由于他们的工作，实现了由传统逻辑到数学逻辑的转化，使人们对数学基础的研究更加深入；其次，他们揭示了数学与逻辑学的联系，以完全形式的符号实现了逻辑学的公理化。（2）直觉主义学派代表人物：德国数学家克罗内克（该学派的先驱），荷兰数学家布劳威尔（著《数学基础》）直觉主义学派的基本观点：①否认逻辑先于数学，对传统数学只是持批判态度②数学起源于直觉③数学必须能构造④逻辑法则⑤无穷观（3）形式主义学派代表人物：德国大数学家希尔伯特形式主义学派的基本观点：①反对直觉主义无限观②希尔伯特改造数学计划。希尔伯特计划主要内容有：证明古典数学的每个分支均可有限公理化，即可表达为包含有限条公理的形式系统；证明这样的公理系统是完备的，无矛盾的，相互独立的；证明这种系统相应的模型都是同构的；寻求有限方法，借助它，可在有限步骤内判定任一命题的课证明性。③提出排除悖论的方法贡献：①他们形成了一套完整的、形式化的研究方法②他们所提出的元数学以及所发展的有穷主义证明，成为重要的数学宝藏③他们的工作有利于排除直觉主义学派造成的对古典数学的怀疑气氛19、三个学派数学观的比较（1）研究的出发点研究的出发点都是对已有数学的怀疑和不满，但又不是都采取绝对的怀疑主义立场，而是力求扩大已有数学的可靠性。（2）数学基础观逻辑注意学派认为数学的基础是逻辑，直觉主义学派认为数学的基础是直觉，形式主义学派认为数学的基础是公理的无矛盾性。（3）思想方法各学派分别夸大数学活动的某些侧面：逻辑主义学派夸大数学与逻辑学的共同性，直觉主义学派夸大数学构造性的可靠性，形式主义学派则把数学夸大为纯形式的研究。（4）改造数学的方案各不相同逻辑主义学派企图以逻辑概念和逻辑公理改造全部数学。直觉主义学派力求以构造性的标准改造全部数学，形式主义学派则努力把数学改造为形式化的公理系统。（5）共同弱点各学派的哲学思想本质上是唯心的，形而上学的，他们都忽视数学研究对象的客观实在性。第三章数学研究的一般方法1、数学研究的一般方法：①观察与实验②划分与比较③分析与综合④抽象与概括⑤特殊与一般2、观察与实验是通过手机科学事实材料，获得性感认识的基本途径，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。3、观察是人们对客观世界的各个客观事物和现象，在其自然的条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法。从数学的角度来说，观察就是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。4、观察包含两个因素，即感知因素和思维因素。5、实验就是按照科学研究目的，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，认为地设置条件，来引起或控制事物现象的发生或发展过程，并通过感观来认识对象和规律的方法。6、观察法在数学教学中的体现（1）观察法在数学概念教学中的作用（数学概念是客观事物或想先的数学关系、空间形式的基本属性在人们头脑中的反映）（2）观察法在发现数学定理、公式中的作用（3）观察是一种有效的解题方法7、在数学中的实验法，一般可归纳为三类：（1）特例实验：是指在解决数学问题过程中，按照一定方向，取特例进行探索、试验，从中探求解决问题的方向和途径，并发现其中的规律。（2）定性实验：是探讨研究对象的质的规定性方法，它往往用来检验对象具有某些性质，某种因素是否存在，因素之间存在什么关系等，换言之，其目的在于验证和修正猜想，使猜想更趋于数学真理。（3）定量试验：是以探索数学对象的量的变化及其规律为直接目的的实验，即是用来测定对象的数值、数量之间关系的实验。其主要目的在于形成猜想。一般而言，定性实验是基础；定量实验是定性实验的精确化，其结果往往更具有说服力。8、划分是指按照事物间异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类被的思维方法。（1）划分的标准：应根据研究的目的或观察问题的角度来确定。（2）划分的意义：在于使知识条理化，并进而系统化，促进认知结构的发展。（3）数学上的划分包括对概念的划分、对性质的划分、方法的整理以及解题中的分域讨论等。（对概念的划分就是把一个概念按照一定的标准分为若干个种概念的逻辑方法。）（4）任何划分都包含3个部分，即划分的母项、划分的子项以及划分的标准。划分的母项就是被划分的概念；划分的子项就是从母项划分出来的各个种概念；划分的标准就是据以划分的属性。（5）划分的方式：①一次划分：就是根据一个标准把一个概念划分一次。②连续划分：就是把母项划分出子项后，再对子项进行划分，如此划分下去，直至达到要求为止。③复分：就是根据不同的标准对同一概念进行多种划分。④二分法：就是以对象是否有某种属性来划分。（6）划分的基本要求：①划分必须是相称的②划分的各子项之间的关系必须是不相容关系③每一次划分必须按同一标准进行④划分不能越级9、比较时确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。（1）比较的过程是：先对有关事物进行分析，得出哪些方面具有共同性，哪些方面又有区别性，从而鉴别这些事物间的异同。（2）比较包括量的比较、形式的比较、性质的比较等。（3）比较的目的是认识有关事物的区别和联系，明确相互之间存在的同一性和相似性。（4）运用比较法莱进行数学研究或学习时，必须注意下面几点，才能达到认识数学对象和性质的目的：①进行比较的两类事物之间必须有真实的和确定的联系②运用比较方法是为了认识数学的对象和规律③在比较时，应准确地把数学对象的同类性质分别进行比较10、作为思维方法的分析与综合，就是以整体和部分的矛盾关系为基础，有思维主体对认识对象按照一定目标进行的分解与组合。11、分析是指对研究对象的整体进行分解、剖析，以达到认识对象的各个部分的性质或各个部分在整体中的、作用所采用的思维方法。分析是抽象的前提。在数学中，分析还特指从结果（或结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。这种方法又分为两种：一种是逆求法，另一种是逆推法。数学研究中的分析法一般有：筛选法、矛盾分析法、可逆分析法等。12、综合是在分析的基础上把对研究对象的各个部分或要素的认识有机地结合起来，以形成对研究对象整体认识的思维方法。所以分析的终点就是综合的起点。综合是以已知性质和分析为基础的，从已知出发逐步推求未知的思考方法，即由因导果法。13、抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来，舍去其非本质属性进行考察的思维方法。在数学中，抽象是指从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍去其他属性对其进行考察的方法。（1）一切抽象过程都具有如下环节：分离——提纯——简略（2）常用的抽象方法有3种：①等价抽象：在思维中把同类研究对象的共同属性抽取出来而舍弃其他非共同的属性，这样的抽象就是等价抽象。等价抽象的对象都具有3个重要特性：自反性，对称性，传递性。②理想化抽象：是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非就是客观事物本身存在的东西，而是从实际事物分离出来的经过思维加工得来的，甚至是假想出来的。③可能性抽象：吧这种性质抽象成为无限延伸概念的特殊方法是一种潜在可能性的抽象方法，简称可能性抽象。14、概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括要以抽象为基础，它是抽象的发展。在数学中进行概括通常有两种方法：一是把研究的固定对象扩大到研究包括这个固定对象的更大范围的可变的对象。二是取消被研究对象的条件限制，也就是说，在较宽的场合中或者较少的条件下研究同一对象。15、特殊化是把研究对象或问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形进行考察的思维方法。（1）把一般问题特殊化的方法大致可分为以下两种类型：①把问题简单化，包括以简化的问题为起点和由简化的问题提供对比等②从特殊对象看问题，包括着眼极端情形；考虑特殊对象；考察上下界限。（2）特殊化方法在数学研究中的思维作用①从一般推至特殊②从特殊推至一般（3）特殊化方法是数学研究中的重要方法①考察特殊情形，直接求解②以特殊情形为起点，进而发现一般问题的解法③利用特殊化可为求解一般问题奠定基础④利用特殊化探求某些问题的结论⑤利用特殊化解答某些选择题⑥将一般性的结论特殊化，可产生新内容⑦利用特殊化方法，帮助理解和记忆某些数学定理和公式16、一般化又称为普遍化，它是把研究对象或问题从原有范围推展到更大范围进行考察的思维方法。（1）一般化方法的特点①从同类的若干个个别对象中发现它们的共同性，有特定的、较小的范围认识，扩展到更普遍的、较大的范围的认识。②一般化是以研究对象集合中少数已知的元素具有（或不具有）某种属性的结论为基础，进一步断定对象集合也具有（或不具有）某种属性。③一般化离不开比较、抽象、概括等数学思维。一般化是人们经历“混沌——区分——清晰——普遍性——本质性”的认识过程。（2）一般化方法在数学研究和数学教学中的作用：①数学命题的推广②通过一般化来解决问题（3）一般化方法的运用方向①放宽或取消某项约束条件②将条件中的数量、形式或关系普遍化第四章数学的逻辑方法1、逻辑思维的基本形式：概念、判断和推理。2、数学概念是反映客观事物关于空间形式和数量关系方面的本质属性的思维形式。（1）数学概念的形成和特性：概念的形成是以实践为基础的。数学概念的形成一般都遵循由客观到主观的认识过程，初等数学中许多概念都是这样形成的。随着数学抽象程度的提高，数学概念的形成主要在于数学自身内部的矛盾运动（表现为纯逻辑的导出和内部的多级抽象）。（2）概念具有直观性、发展性、普遍性和抽象性。（3）科学概念的作用在于它的基础性和开拓性。（4）概念的内涵是一个概念所反映的对象的本质属性。它是概念在质方面的反映，说明概念所反映的事物的本质。概念的外延是一个概念所反映的全部对象，它是概念在量方向的反映，说明概念所反映的事物的范围。概念的内涵和外延是相互联系的。概念的内涵严格地确定着概念的外延。反之概念的外延也完全确定着概念的内涵。当概念的内涵发生变化时，概念的外延也随之变化，反过来也是一样。它们两者之间的依赖关系，遵循着反变关系（也称反变律），即当概念的外延缩小，内涵就增加，反之，外延扩大，内涵就减少。（5）数学概念间的关系：相容关系：①同一关系：概念A和概念B的外延完全相同，则称这两个概念的关系为同一关系，即A=B。②从属关系：概念B的外延包含于概念A的外延且仅为其中一部分，则称这两个概念的关系为从属关系，其中A为B的属概念，B为A的种概念，即B包含于A。③交叉关系：概念A的外延和概念B的外延有且仅有一部分相同，则称这两个概念的关系为交叉关系，即A∩B=空集，且A包含于（A∪B），B包含于（A∪B）。不相容关系：①对立关系：属概念C的两个种概念A、B，若A、B的外延没有公共部分，且它们的外延之和真包含于C的外延，则称A、B这两个概念为对立关系，即A∩B=空集且A∪B包含于C。②矛盾关系：属概念C的两个种概念A、B，若A、B的外延没有公共部分，且它们的外延之和恰等于C的外延，则称A、B这两个概念的关系为矛盾关系，即A∩B=空集且A∪B=C。（6）数学概念的含义：下定义就是用精炼语言、简明的方法，将概念的内涵或外延指出的方法，简言之，定义是揭示概念内涵的逻辑方法。①定义的作用：一般地，揭示概念内涵的定义具有两方面的作用，这就是：每个定义都指出了，第一，具有定义揭示的性质的对象一定属于定义表示概念所反映的对象（判别性），第二，定义所反映的对象必须具有定义揭示概念的本质属性（性质性）。②定义的组成：定义由被定义概念、联结项和已定义概念组成。③概念定义的方法：1）属加种差定义（方法：有被定义概念最邻近的属与被定义概念在属种区别于其他种的特性联合组成。公式：属+种差=被定义概念）2）发生性定义(方法：由被定义概念最邻近的属与被定义概念的对象形成特征联合组成。)3）关系型定义（方法：由被定义概念最邻近的属与被定义概念在属中与其他对象之间关系联合组成。）4）外延性定义（方法：直接指明被定义概念的外延。）5）归纳定义（方法：对于与自然数有关的被定义概念。用递归的方式给出。）6)公理化定义7)原始概念不加定义。④定义的要求：定义必须相称；定义必须简明；定义不能循环；定义一般不用否定语形式。（7）数学概念的划分①划分要保证划分的一致性，保证划分“不漏”、“不重”，保证划分层次分明、清晰、合理。②科学的划分具有两方面的作用：运用划分（分类）对各类进行讨论，达到解决问题的简化和深入的目的。运用概念分类，能清晰地构成概念系统，纲举目张，便于理解和复习整理。3、判断是对思维对象有所断定的思维形式。（1）判断和命题：判断必须通过语言或符号来表达。判断的表达形式是语句。我们将表达判断的语句叫做命题。命题是对思维对象作出肯定或否定的语句。数学命题是表达关于数学对象的判断的语句。命题是具有真假意义的语句，具有真意义的命题称为真命题，反之为假命题。判断与命题是有差别的，判断是思维形式，命题是表达的语句，但当判断用语句表达时，判断也就是命题了。（2）判断的种类：㈠按判断的量分类，有全称判断，特称判断。㈡按判断的质分类，有肯定判断，否定判断。㈢按质与量来分，共有4类：①全称肯定：（逻辑形式：所有S是P）②全称否定：（逻辑形式：所有S不是P）③特称肯定：（逻辑形式：有的S是P）④特称否定：（逻辑形式：有的S不是P）㈣按判断的关系分类有直言判断，假言判断，选言判断。①直言判断：不加条件的直接断定思维对象具有或不具有某种属性的判断②假言判断：有条件的断定某对象的某种属性或关系存在情况的判断。逻辑形式：若P则q（如果p，那么q）；当且仅当p则q。③选言判断：断定某对象的若干个属性或关系中至少有一存在的情况的判断。逻辑形式：S或是P1，或是P2或是P3；或S1或S2或S3是P。（3）数学命题的真假性和作用①数学命题的真假性：数学命题的真实性，不但取决于逻辑形式的真实性，而且还取决于内容的真实性，只有这两方面都真实才为正确的数学判断即为数学真命题。数学内容的真实性明显的依赖于该命题所处的数学体系。数学命题的真实性更着重依赖于客观实际检验。②数学命题的作用：数学命题如同数学大厦中的支架，支撑和架构着整座大厦。它连结着各个节点（数学概念）和数学基础。数学命题揭示数学研究对象的内在联系，揭示着自然界的规律和方法。数学的研究成果和方法，主要是用数学形式给出。因此，数学命题是数学研究成果的结晶。数学命题不但在数学自身结构和揭示外部世界的规律起着重要作用，而且对数学自身发展也起着有力的推动作用。重要的数学命题的建立，如同重要数学概念的诞生一样具有开拓性。4、推理是聪一个或几个已知判断推出一个新的判断的思维形式。概念借助于词语，判断借助于语句，而推理则借助于复句或句群来表达。它是由若干个命题复合而成。（1）推理的组成：任何推理都是由前提和结论两部分组成。推理的前提就是推理所依据的已知判断或概念，推理的结论就是由前提所推出的新判断。（2）推理的逻辑性和真实性①推理的前提与结论之间有一定制约关系，这种关系就是逻辑关系。判断间的逻辑关系是客观规律性的反映，表现为后面讲述的各种逻辑基本规律和推理规则。②推理的真实性依赖于推理合乎逻辑性，合乎逻辑性包含两个方面。第一，推理内容正确反映客观事物的发展规律，即符合客观事物本身的逻辑；第二，推理过程符合思维结构的规律，即符合推理形式的发展规律。这两方面的要求，反映了推理的内容与形式的统一性。当前提内容真实，推理形式可靠且推理形式正确，所得的推理结论就是真实的，即为真实推理，如果缺少其中一个条件，结论就是不可靠的。推理前提的正确性是真实推理的必要条件，只有当作为前提的判断符合客观实际，推理才有可能成为真实推理。推理形式的可靠性同样是真实推理的必要条件，而正确运用推理形式则是获取真实推理的关键。（3）推理的种类：①根据推理前提与结论间联系性质的不同，可将推理分为必然推理（必真推理）和或然推理（似真推理）必然推理是指在真实的前期下，由推理所得的结论完全正确的推理方法。或然推理是指在真实的前提下，由推理所得的结论不一定正确的推理方法。②根据推理的思维进程的不同，可将推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理。演绎推理是从一般到特殊的推理。归纳推理是从特殊到一般的推理。类比推理是从特殊到特殊的推理。③根据推理前提数目的多少，可将推理分为直接推理和间接推理。直接推理是指前提由一个判断构成的推理。间接推理是指前提由两个或两个以上的判断构成的推理。5、逻辑是研究思维及其规律的科学。逻辑学分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。形式逻辑是关于抽象思维形式的结构及其规律的科学。辩证逻辑是关于思维形式、规律和方法的科学。数理逻辑主要是用数学方法来研究形式逻辑中的演绎部分及以公理方法构造出命题演算与谓词演算系统的科学。6、数理逻辑研究的对象主要是命题运算、谓词运算、递归论，证明论、集合论和模型论等。数理逻辑运用数学符号和方法把形式逻辑提高到一个新的高度，促进数学的发展，开辟了数学研究的新领域——非标准分析。数理逻辑关于形式语言研究为计算机语言提供了前提，促进了计算机的发展。7、形式逻辑与辩证逻辑的关系（1）形式逻辑与辩证逻辑的研究对象形式逻辑是以抽象思维的逻辑形式、逻辑思维规律和逻辑思维方法为其研究对象的科学。思维形式是思维对客观特定对象及其属性的反映方式，是揭示思维内容各部分之间的联系的方式，亦是思维内容赖以依存的形式。抽象思维的逻辑形式就是通常所指的逻辑思维形式。主要有概念、判断和推理等。形式逻辑思维规律是指人们在思维过程中运用逻辑思维形式所必须遵守的普遍思维规律，也就是在运用概念组成判断，判断组成推理所遵守的规律。形式逻辑思维的基本规律有同一律，矛盾律和排中律，以及推理过程必须遵守的理由充足律。同一律、矛盾律（也称不矛盾律）和排中律是保证思维活动具有确定性、一贯性和明确性，而理由充足律是保证思维的论证性。形式逻辑思维基本规律是客观存在的普遍规律，是真孤儿思维的必要前提，它对思维有约制性和规范性。形式逻辑除了研究思维的逻辑形式及其基本规律之外，还研究人们在认识客观事物过程中使用的一些逻辑方法。总之，形式逻辑是研究思维的逻辑形式及其规律和一般简单的逻辑方法的科学。辩证逻辑的研究对象是思维发展、思维形式的辩证性、辩证思维的方法以及人们获取真理的一般途径。辩证逻辑的逻辑思维形式仍是概念、判断和推理，辩证逻辑着重研究概念的内部矛盾的转化、概念的发展，并从事物内部与其形式的关系研究概念间的联系。辩证逻辑研究判断的相互矛盾与统一关系，研究推理所遵循的客观事物发展规律。辩证逻辑研究的思维规律是辩证思维过程中所必须遵守的规律，它是对立统一规律，质量互变规律和否定之否定规律。对立统一规律是要求思维过程坚持思维的辩证性，思维必须保持对立统一性，即对事物内部矛盾运动的认识既是队里的又是相互统一的，矛盾双方处在一个共同体之中。质量互变规律是要求思维过程坚持思维的转变性，即坚持对事物内部矛盾互相特征，和对事物的发展依赖于质与量之间变化的认识，把握量的变化积累到一定程度之后，质也随之变化，而质的变化必定影响量的变化。否定之否定规律，是要求思维过程坚持思维发展性，即坚持思维在肯定——否定——否定——肯定的过程中发展，形式思维的良性循环。（2）形式逻辑与辩证逻辑的联系与统一形式逻辑和辩证逻辑都是以思维形式、思维方法、思维规律为其研究对象，但它们是从不同角度、不同侧面去反映思维的规律。它们之间有着密切的联系，形式逻辑是通过抽象思维建立起来的思维形式——概念、判断、推理，揭示思维的规律，而辩证逻辑思维是借助形式逻辑的思维形式，揭示思维形式与其内容间的联系以及思维形式与思维形式之间内部矛盾和发展。抽象思维是辩证思维产生的前提和基础。只有当思维发展到一定程度才能产生辩证思维。形式思维是研究相对固定的思维形式的规律，而辩证逻辑则是研究思维形式间的联系、变化和发展。因此形式逻辑和辩证逻辑之间是相辅相成，作为统一思维的两个侧面并存于人们的思维之中。（3）形式逻辑与辩证逻辑的区别形式逻辑与辩证逻辑的主要区别，在于用不同的观点认识思维、思维形式和思维规律。辩证逻辑是用运动、变化和发展观点来认识思维的，而形式逻辑则是用固定、静止和孤立的观点认识思维的。形式逻辑撇开事物的具体内容，以解释正确思维形式结构为主要任务，按照这些结构形式研究其思维方法和思维规律，在研究方法上，形式逻辑把思维形式看作相对固定的，不变的。辩证逻辑是动态逻辑。辩证逻辑研究的思维形式是生动的思维内容形式。概念是最基本的思维形式，形式逻辑中的概念是反映事物本质属性的思维形式，这些概念是相对固定的不变的。辩证逻辑研究的概念则是运动、变化和发展着的客观事物的本质、全体和内部联系。在辩证逻辑观点下，概念具有辩证性。概念内部有着自身的矛盾，即内涵与外延的矛盾，概念自身在不断发展。判断是在概念基础上建立起来的思维形式。形式逻辑是从纯形式上研究判断的。把各类判断并列在同一水平上，只是机械地结合，并没有什么有机的联系。辩证逻辑所研究的判断是展开了的概念，它更充分的揭示事物的本质，全体和内部联系。在辩证逻辑观点下的判断具有辩证性，判断具有内部矛盾性，辩证判断反映现实观存在的矛盾关系。推理是在概念和判断的基础上建立起来的思维形式。形式逻辑是从纯形式方面来研究推理，由此得出各种推理规律。这种推理是撇开了事物的具体内容而纯形式的进行研究的，这样推理形式是由固定格式的。而辩证逻辑研究的推理，不是纯形式，它不撇开事物具体内容，而对事物认识的深化去进行推理，在推理过程中也使用不同的思维规律，它是着重于事物间的对立统一，相互转化和联系的推理，因此它能较好地反映事物内部联系和转化，更深刻地认识世界，预见事物未来的发展。在辩证逻辑观点下，推理具有辩证性，推理有自身内部矛盾，推理的实质是一个思维过程，在这个过程中，已知判断和新的判断存在矛盾关系和相互转化、依赖关系。因此，辩证逻辑的推理是具有运动和转化的推理。辩证逻辑是以形式与内容相结合来研究思维、思维形式和思维规律的。辩证逻辑着眼于研究概念、判断和推理的内部矛盾，并以运动、变化和发展的观点认识事物的属性与其内部联系。它揭示事物在发展过程中存在的矛盾，从而认识事物的相互转化和发展规律，因此辩证逻辑是形式逻辑发展的高级阶段。总而言之，以不同的观点研究思维，是形式逻辑与辩证逻辑的主要区别。两者之间的区别集中表现在形式逻辑的基本规律和辩证逻辑基本规律的不同。形式逻辑的基本规律是同一律、矛盾律和排中律，这三条规律实质是维护抽象思维的同一性。因为同一律表示为“A=A”，即A与其自身同一；矛盾律表示为“A不是非A”，是从反面、否定方面表述自身的同一，也就是维护A与A自身的同一；排中律表示为“A或非A”，即要求A与非A有明确界限，实质上仍是维护A与其自身同一原则。所以同一律、矛盾律、排中律的实质就是抽象的同一性，它是以客观事物存在相对稳定性为根据，是人类认识世界的思维的概括，它不是事物本身的发展规律，而是思维所要遵守的规律。辩证逻辑的基本规律是对立统一，质量互变和否定之否定规律，这三条规律实质是要求思维保持具体统一性和对立统一性，也就是要思维以事物自身内部规律的运动、变化、发展的观点去把握对象，揭示事物发展规律，这些规律既是思维要遵守的规律也是事物发展所遵循的规律。8、数学中的辩证逻辑关系：从理论到实践，从抽象到具体，从代数到几何，从概念到运算，从有限到无限，以及从方法到技巧都充满了矛盾和相互转化。（1）数学的高度抽象性和广泛应用性的辩证统一（2）数学理论与实践的辩证统一（3）数学公理化方法与客观基础的辩证统一（4）数学中几对重要的对立统一关系（如9）（5）数学方法的辩证统一（6）数与形的分离和结合的辩证统一9、数学中几对重要的对立统一（1）已知与未知（2）常量与变量他们的依赖与转化，在数学中表现为：①常量与变量之间具有相对性②变量借用常量来刻划③通过变量研究常量（3）曲与直（4）有限与无限（5）连续与不连续10、命题是表示判断的语句，可分为直言命题、假言命题和选言命题。11、数学命题的4种形式：数学命题一般都表示为假言命题“若p则q”（原命题）。若q则p（逆命题）。若非p则非q（否命题）。若非q则非p（逆否命题）。12、基本逻辑连结词（1）否定（非），记为“￢”p1，则非p为0。p0，则非p为1。p非p1001（2）合取（与）记为“∧”p1q1，则p∧q为1。p1q0，p0q1，p0q0，则p∧q为0。pqp∧q111100010000（3）析取（或）记为“∨”p1q1，p1q0，p0q1，则p∨q为1。p0q0，则p∨q为0pqp∨q111101011000（4）蕴涵（如果…那么…），记为“→”p1q1，p0q1，p0q0，则p→q为1。p1q0，则p→q为0。pqp→q111100011001（5）等价，记为“↔”p1q1，p0q0，则p↔q为1。p1q0，p0q1，则p↔q为0。pqp↔q11110001000113、复合命题和简单命题命题可分为简单命题和复合命题。由逻辑连结词连结而构成的命题成为复合命题，没有逻辑连结词的命题成为简单命题。（1）逻辑运算的顺序：﹁，∧，∨，→，↔。（2）复合命题的真假值恒真命题，记为T，或1。恒假命题，记为F，或0。14、逻辑等价：如果两个命题p和q的真值表相同，那么称命题p与q逻辑等价，记为p≡q。易见，p≡q当且仅当p↔q。（1）逻辑等价关系具有一般等价关系的三性：自反性p≡p；对称性若p≡q则q≡p；传递性若p≡q，q≡r，则p≡r。（2）原命题与逆否命题等价，原命题的逆命题与否命题等价。15、推理规则（1）命题运算的基本公式①双重否定律：非非p≡p。②等幂律：p∨p≡p。p∧p≡p。p→p≡1。p↔p≡1。③交换律：p∨q≡q∨p。p∧q≡q∧p。④结合律：（p∨q）∨r≡p∨（q∨r）。（p∧q）∧r≡p∧（q∧r）。⑤分配律：p∧（q∨r）≡（p∧q）∨（p∧r）。p∨（q∧r）≡（p∨q）∧（p∨r）。⑥摩根律：非（p∨q）≡非p∧非q。非（p∧q）≡非p∨非q⑦同一律，零律、补余律：p∧1≡p，p∨0≡p。p∨1≡1，p∧0≡0。p∨非p≡1，p∧非p≡0。⑧p↔q≡（p→q）∧（q→p）⑨p→q≡非p∨q。p→q≡非q∨非p。⑩（p∨q）→r≡（p→r）∧（q→r）。（p∧q）→r≡p→（q→r）。（2）常用的推理规则（恒真）①p→p，非非p→p。②（p→q）∧p→q③（p→q）∧（q→r）→（p→r）④（p↔q）∧（q↔r）→（p↔r）⑤（p↔q）∧p→q⑥（p→q）∧（q→p）→（p↔q）⑦（p→q）→（非q→非p）⑧（p→q）∧非q→非p⑨（p∨q）∧非p→q16、常用的逻辑推理方法有归纳法、演绎法和类比法。（1）归纳推理或称归纳法，是从特殊性的前提得到一般性结论的推理方法。根据归纳推理的前提与结论所作判断的范围是否相同，归纳推理分为完全归纳法和不完全归纳法。①完全归纳法（必真推理）：如果归纳推理的前提的判断范围的总和等于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做完全归纳法。完全归纳推理的逻辑结构形式是：设Mi（i=1，2，3…n）是前提判断的各个判断范围，M是结论判断范围，若Mi（i=1，2，3…n）具有性质p，则由此推出M具有性质p，简化为（n∪i=1Mi=M）∧p（Mi，i=1，2，…，n）→→p（M）。另一表达形式是：M蕴含M1，M2，…Mn，M1，M2，…Mn都有性质p，M也有性质p。②不完全归纳法（似真推理）：如果归纳推理的前提的判断范围的总和小于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做不完全归纳法。不完全归纳推理的逻辑结构形式，类似于完全归纳推理，即（Min∪i=1包含于M）∧p（Mi，i=1，2，…，n）→→p（M）。其中Min∪i=1是M的真子集，n可以无穷大。另一表达形式是：M蕴含M1，M2，…Mn，且M1∪M2…∪Mn…包含于M。M1，M2，…Mn都有性质p，M也有性质p。不完全归纳法在运用上可分为枚举归纳法和因果归纳法两类。枚举归纳法是指根据某类被研究对象中的部分对象具有（或不具有）某一属性p，而推断出该类的全部对象具有（或不具有）属性p的归纳方法。因果归纳法是依据某类对象的某一属性p，因条件A在一系列变化中对p的出现和变化有关键性的影响，从而推断条件A是该对象具有属性p的原因所使用的推理方法。5种确定因果关系的归纳方法：求同法、求异法、求同求异法、共变法和剩余法。求同法：依据某类对象的某一属性中，在几种不同的情形下都出现，而在各种条件中，只有一个条件A是共同的，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。求异法：依据某类对象的某一属性p，只在其中一种情形（不妨设第一种情形）出现，而在另一种情形不出现，在这两种情形中，除第一种情形特有条件A外，其他的条件个情形都相同，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因或部分原因。求同求异法：依据某类对象的某一属性p，在一系列情形中，凡有条件A的都有属性p，凡没有条件A的都没有属性p，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。共变法：依据某一对象的某一属性p，在一系列情形中，其中只有一个条件A变化，其条件保持不变，发生变化的条件从数量或程度影响属性p的出现，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。剩余法：依据某类对象的某一属性p，在一系列情形中，一组条件产生一组属性，如果除去条件A，属性p不出现，其余的条件均能确定余下的属性，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。（2）演绎推理或称演绎法（必真推理），是从一般性较大的前提推出一般性较小的结论的推理方法。应用演绎推理的格式——三段论，由两个前提推出一个结论的演绎推理叫做三段论，其中两个前提分为大前提和小前提，大前提是一个较大的一般性原理，小前提是一个与大前提有密切联系的特殊判断，结论则是大前提和小前提的逻辑结果。常用的三段论分为直言三段论和假言三段论。①直言三段论：当三段论的两个前提为直言命题时，这种三段论称为直言三段论。直言三段论的逻辑结构基本形式：大前提：一切M都是P，小前提：S是M，结论：S是P。将这推理形式用蕴涵式表示为：（M→P）∧（S→M）→（S→P）直言三段论的基本形式可以派生出另外3种形式：1）一切M不是P，S是M，S不是P。推理规则：（M→非P）∧（S→M）→（S→非P）2）一切M是P，部分S是M，部分S是P。推理规则：（M→P）∧（S1→M）→（S1→P），其中S1包含于S。3）一切M不是P，部分S不是M，部分S不是P。推理规则：（M→非P）∧（S1→M）→（S1→非P），其中S1包含于S。②假言三段论：当三段论的前提中包含假言命题时，这样的三段论称为假言三段论。假言三段论的基本推理式有两种：1）肯定式：p→q，p，q．推理规则：（p→q）∧p→q。2）否定式p→q，非q，非p．推理规则：（p→q）∧非q→非p。（3）归纳与演绎的关系归纳与演绎是相互联系，互为补充的两个推理方法。①归纳作为演绎的基础，演绎作为归纳的前导。②归纳为演绎提供科学假说，演绎为归纳提供理论依据（4）数学归纳法是演绎法的一种特殊形式，不是归纳法。数学归纳法的形式有多种，分第一数学归纳法、第二数学归纳法和反向数学归纳法。①第一数学归纳法：第一数学归纳原理：设p（n）是关于自然数n的命题，若1º当n=1时，命题p（1）成立，2º假设当n=k时，命题p（k）成立，可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立。第一数学归纳法还有两个基本变形：推论1设p（n）是关于自然数n（n≥n1）的命题，若1º当n=n1时，命题p（n1）成立，2º假设当n=k时，命题p（k）成立，可以推出p（k+1）成立。则p（n）对一切不小于n1的自然数n都成立。推论2设p（n）是关于自然数n的命题，若1º当n=1，2,3…L时，命题p（1），p（2）…p（L）都成立，2º假设当n=k时，命题（p1k）成立，可以推出p（k+L）成立。则p（n）对一切自然数n都成立。②第二数学归纳法第二数学归纳原理：设p（n）是关于自然数n的命题，若1º当n=1时，命题p（1）成立，2º假设当n≦k时，p（n）成立，可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立。反向数学归纳法：反向数学归纳原理：设p（n）是关于自然数n的命题，若1ºp（n）对于无穷多个自然数n成立，2º假设当n=k+1时，p（k+1）成立，可以推出p（k）成立，则p（n）对一切自然数n都成立。（5）类比推理或称类比法（似真推理），是根据两个或两类事物在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。类比法是有特殊到特殊的推理方法。类比推理的形式如下：对象A具有属性a，b，c，d，对象B具有属性a，b，c，所以对象B具有属性d。类比推理是以比较为基础。①类比对立的类型：简单类比，普遍类比②类比推理的作用：类比是科学发现和发明源泉之一。类比有利于知识的系统整理和扩展。③类比推理的局限性：结论的不可靠性。类比对象的相似性。（6）逻辑推理方法的特征（共同特点）①抽象性和概括性②个别与一般的统一性③格式的规则性17、数学证明（1）证明：根据某个或某些真实命题和概念，断定另一命题的真实性的推理过程叫做证明。任何证明都由论题、论据和论证三部分组成。按证明过程使用的推理形式的不同，分为归纳法、演绎法。按证明思维的进程方向的不同，分为分析法和综合法。按是否直接证明论题，可分为直接证法和间接证法。此外还有如反证法、同一法，数学归纳法和筛选法等。①反证法是通过证明论题的否定命题的不真实从而肯定原论题真实的证明方法。反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律。反证法常用的几个逻辑等价式：1ºp→q≡p∧非q→非p2ºp→q≡非q→非p3ºp→q≡p∧非q→（r∧非r）4º（p∧q）→r≡（p∧非r）→非q5ºp→q≡p∧非q→q6º（p∧q）→r≡p∧非r→非p②同一法③反驳法是一种特殊证法，它是以确知的真命题或实例，驳斥另一命题虚假性的证明方法。反驳法以它的简洁、说服力强，省去繁杂、冗长的程序，简捷、有效等特点，使它成为数学证明一个有力工具。18、常见的虚假证明的错误原因有：前提不真、论据不真、偷换概念、循环论证、作图失误，将有限推至无限、以及误用推理规则等。第五章几种重要的数学方法1、模型方法。数学模型有两种基本功能，一种是同一功能：即对表面上迥然不同的各种现象在数学中进行统一；另一种功能是普适性：即对数学模型本身进行研究，使之适用于更广泛的领域。2、斐波那契数列{un}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……un+1=un＋un-1（n∈N）um+n=un-1＋unum+1（m，n∈N）un+1*un-1－un²=（﹣1）∧n比内公式是un=﹙1／√5﹚×[﹙1＋√5﹚∧n／2∧n－﹙1－√5﹚∧n／2∧n]3、化归方法：将一个问题由繁化简，由难化易，由复杂化简单的过程称为化归。（1）命题间的关系：化归的实质是解题者把新命题转化为其认知结构中相应的旧命题，新旧命题有如下三种关系，同事揭示了化归的三个大致方向。①下位关系：当新命题是从属于解题者的认知结构中已有的包摄性较广的命题时，我们称新命题是这个旧命题的下位关系，如使用定理公式解题等，都属于这种关系。②上位关系③组合关系（2）数形结合是一类极为重要的转化，其着眼点放在代数与几何的沟通上。①代数转化为几何图形②转化为代数曲线（3）映射方法关系——映射——反演原则是徐利治提出的。化归的难点是映射，反演。4、公理化方法，简言之是从尽可能少的未经定义的原始概念和一组不证自明的公理出发，利用纯逻辑演绎，将一门数学建立成为演绎系统的方法。5、欧几里得的《几何原本》的缺陷概括起来大致有如下三个方面：（1）没有基本概念（2）许多定义不够清晰（3）公理不足6、《几何基础》（希尔伯特）第六章数学思维方法1、思维的概念：（1）马克思主义哲学从世界观这个层次来研究思维：认为思维是物质的产物——人脑的机能，是社会的产物，是物质运动的最高形态或存在方式，是客观事物的反映，是人类认识的理性阶段。这个思维概念揭示了思维的最高层次的本质属性，是哲学意义上的概念。（2）普通心理学：意识是心理学理论中的根本问题，思维则是人的意识活动的产物，它是人脑对客观物质世界的能动的反映，它和语言一起成为意识的核心。（3）思维发展心理学：思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括与间接的反映。（4）现代神经生理学（5）现代认知心理学：