第-1章-导数及其应用-章末复习提升

第1章导数及其应用章末复习提升1.理解导数的定义与计算.2.掌握导数的应用.3.学会定积分的概念、运算、应用.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一导数的运算及几何意义1.函数f(x)在x＝x0处导数：答案f′(x0)函数f(x)的导数：f′(x)2.导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率等于

，其切线方程为

.f(x0)y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)3.函数的求导公式：(C)′＝

，(xn)′＝

.(sinx)′＝

，(cos

x)′＝

，(ax)′＝

，(ex)′＝

，(logax)′＝

，(ln

x)′＝

.4.导数的四则运算法则：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，[f(x)g(x)]′＝

，

＝

(g(x)≠0).0nxn－1cos

x－sinxax·ln

aexf′(x)g(x)＋f(x)g′(x)答案答案知识点二导数的应用1.函数的单调性：在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则f(x)

；f′(x)＜0，则f(x)

.2.函数的极值：f′(x0)＝0，在x0附近，从左到右，f′(x)的符号由正到负，f(x0)为

；由负到正，f(x0)为

.3.函数的最值：闭区间[a，b]上图象连续不断的函数y＝f(x)，最值在______或

处取得，最大的为最大值，最小的为最小值.4.生活中的优化问题(导数的实际应用).递增递减极大值极小值极值点区间端点知识点三定积分概念、运算和应用定积分定积分的概念定积分的运算定积分的性质定积分的几何意义微积分基本定理＝

(其中F′(x)＝f(x)定积分的应用几何中的应用：求平面图形的面积物理中的应用求变速直线运动的路程求变力做功F(b)－F(a)答案返回题型探究重点突破解析答案题型一解决与切线有关的问题例1

已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；解由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.当x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x>ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增.解析答案(2)证明：当x>0时，x2<ex.证明令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0.故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.反思与感悟反思与感悟高考中求切线方程问题主要有以下两种类型：类型1求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程(高考常考类型).则点P(x0，y0)为切点，当切线斜率存在(即函数f(x)在x0处可导)时，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；当切线斜率不存在时，对应的切线方程为x＝x0.反思与感悟类型2求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点.这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设点A(x1，y1)是曲线y＝f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程.解析答案跟踪训练1

已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；解∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴点(2，－6)在曲线上.∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13，∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.解析答案(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解设切点坐标为(x0，y0)，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).解析答案题型二利用导数求参数取值范围问题例2

设函数f(x)＝

x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；解函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex).若x＜0，则1－ex＞0，∴f′(x)＜0；若x＞0，则1－ex＜0，∴f′(x)＜0；若x＝0，则f′(x)＝0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞).解析答案(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围.解由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减，∴f(x)min＝f(2)＝2－e2.∴当m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立.反思与感悟反思与感悟利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.解析答案(1)若f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；由题意知f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴ax2－ln

x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x∈(0，x0)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减.∴h(x)在x0＝

处取得最大值.解析答案(2)若函数g(x)＝xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.解析答案解由题意知g(x)＝xf(x)＝ax2＋x＋ln

x＝0，故当x∈(0,1)时，R(x)＜0，φ′(x)＜0，函数φ(x)单调递减；且易得R(1)＝0，当x∈(1，＋∞)时，R(x)＞0，φ′(x)＞0，函数φ(x)单调递增.故φ(x)≥φ(1)＝－1.又当x→0时，φ(x)→＋∞，而当x→＋∞时，φ(x)→0且φ(x)＜0，可得如图所示的图象.故满足条件的实数a的取值范围为{a|a≥0或a＝－1}.解析答案题型三利用导数求函数的极值、最值问题(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.解析答案(2)求f(x)的单调区间；所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).解析答案反思与感悟有关函数极值、最值问题，需注意求解思路与方法，理解构造函数在解(证)题中的灵活运用.反思与感悟解析答案跟踪训练3

已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝

时取极大值.(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；解f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.x＝－2时，f(x)＝2，即(－2,2)在曲线上.又切线斜率为k＝f′(x)＝－3x2－x＋2，f′(－2)＝－8，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即为8x＋y＋14＝0.解析答案(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值.解x在变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：例4

现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？易错易混解实际问题时因忽略定义域致误解析答案返回防范措施解析答案防范措施令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去).当0＜x＜40时，y′＜0；当x＞40时，y′＞0.故为了使全程运输成本最小，轮船应以40海里/小时的速度行驶.解析答案防范措施错因分析解应用题最关键的就是要表达清楚模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域.定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义.本题错解就是因为忽略了定义域导致最后的解题错误.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去).因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值.防范措施又当0＜x≤35时，y′＜0，故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.正确确定自变量的取值范围，在解题过程中，要在其允许取值范围内求解.返回防范措施当堂检测12345解析答案1.函数f(x)＝(2πx)2的导数是

.解析因f(x)＝4π2x2，故f′(x)＝8π2x.f′(x)＝8π2x解析答案123452.函数f(x)＝x·e－x的单调递增区间是

.令f′(x)＞0,得x＜1，故增区间为(－∞，1).(－∞，1)12345解析由s′＝t3－5t2＋4t＝0，得t(t2－5t＋4)＝0，t(t－1)(t－4)＝0，t1＝0，t2＝1，t3＝4，即t＝0或1或4时，速度为0.0或1或4解析答案解析答案12345