人教版九年级数学上学期期末压轴题专项训练：《圆》

人教版九年级数学上学期期末压轴题专项训练：《圆》同学们在九年级上学期的数学学习中，“圆”无疑是一座重要的里程碑，也是期末考查的重点与难点，常常作为压轴题出现。这类题目不仅要求我们对圆的基本概念、性质定理有深刻的理解，更考验我们综合运用几何知识、代数方法以及数学思想解决复杂问题的能力。本文将结合期末压轴题的常见类型，为大家梳理“圆”这一章节的核心考点、解题策略，并通过典型例题的剖析，帮助同学们更好地备战期末，攻克压轴难关。一、核心知识梳理与解题策略点睛要征服圆的压轴题，首先必须夯实基础，对圆的相关概念和定理做到了如指掌、灵活运用。（一）吃透核心定理是基础1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，这是垂径定理及其推论的理论依据。看到弦、弧的中点，要联想到垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，以及它的逆用。2.圆心角、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系是角与线段转化的重要桥梁。圆周角定理及其推论更是重中之重，特别是“直径所对的圆周角是直角”以及“同弧或等弧所对的圆周角相等”，在构造直角三角形、寻找等角关系时经常用到。3.点与圆、直线与圆的位置关系：判断位置关系的数量关系要清晰。尤其要掌握直线与圆相切的判定与性质：“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”以及“圆的切线垂直于过切点的半径”。切线长定理也不容忽视。4.圆内接四边形的性质：对角互补，外角等于内对角，这在角的转化和计算中非常实用。（二）掌握常用辅助线添法是关键辅助线是解决几何问题的“金钥匙”，针对圆的特性，常见的辅助线有：1.见半径、证切线：若要证某直线是圆的切线，且已知直线与圆有公共点，则连接圆心与该公共点（即半径），再证垂直。2.无公共点、作垂线：若要证某直线是圆的切线，但直线与圆无明确公共点，则过圆心向该直线作垂线，再证垂线段等于半径。3.见直径、想直角：遇到直径，常构造直径所对的圆周角，得到直角三角形，为勾股定理或三角函数的应用创造条件。4.遇弦、作垂线：解决与弦长、弦心距有关的问题时，常过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理（半径、弦心距、半弦长构成直角三角形）求解。5.连圆心、连半径：涉及圆心角、圆周角、弧的关系时，连接半径是常用手段，以利用相关定理。（三）运用数学思想方法是升华1.转化与化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将圆的问题转化为三角形、四边形的问题。2.方程思想：在求线段长度、角度等未知量时，若直接求解困难，可设未知数，根据几何关系（如勾股定理、相似比、线段和差）列方程求解。3.数形结合思想：将几何图形的性质与代数运算结合起来，使问题更直观或易于计算。4.分类讨论思想：当问题中存在不确定因素（如点的位置、图形的形状）时，要考虑分类讨论，避免漏解。二、典型例题深度剖析与方法提炼接下来，我们通过几道典型例题的解析，来具体感受圆的压轴题的解题思路和方法。例题1：圆的性质与勾股定理、方程思想的综合运用题目：如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，连接AC、BC，已知CD=8，BE=2，求⊙O的半径及AC的长。分析：这是一道非常基础但又典型的结合垂径定理和勾股定理的题目。我们知道直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理，E点必为CD的中点，所以CE=ED=CD/2=4。要求半径，我们可以设⊙O的半径为r，那么OE=OB-BE=r-2。连接OC，OC就是半径r。在Rt△OEC中，OC是斜边，OE和CE是直角边，根据勾股定理就可以列出方程求解半径r。求出半径后，AE的长度也就知道了（AB-BE=2r-BE），在Rt△AEC中，再用一次勾股定理就能求出AC的长。解答：设⊙O的半径为r，则OC=OB=r。∵AB是直径，AB⊥CD于E，CD=8，∴CE=CD/2=4（垂径定理）。∵BE=2，∴OE=OB-BE=r-2。在Rt△OEC中，由勾股定理得：OE²+CE²=OC²即(r-2)²+4²=r²展开得：r²-4r+4+16=r²化简得：-4r+20=0解得：r=5。∴OA=AB/2=r=5，AB=10，AE=AB-BE=10-2=8。在Rt△AEC中，AC²=AE²+CE²=8²+4²=64+16=80，∴AC=√80=4√5。故⊙O的半径为5，AC的长为4√5。方法提炼：遇到弦长、弦心距、半径的问题，垂径定理是“第一反应”，它能提供直角三角形的模型，进而运用勾股定理。方程思想在此类计算中应用广泛，设未知数，找等量关系（通常是勾股定理），解方程即可。例题2：切线的判定与性质及动态几何问题题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长。分析：第（1）问要证DE是⊙O的切线。已知D在⊙O上，所以我们只需连接OD，证明OD⊥DE即可。已知EF是BD的垂直平分线，所以EB=ED，从而∠EDB=∠B。因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA。在Rt△ABC中，∠C=90°，所以∠OAD+∠B=90°。通过等量代换，可证得∠ODA+∠EDB=90°，进而得到∠ODE=90°。第（2）问求DE的长。我们已经知道EB=ED，设DE=x，则EB=x，EC=BC-EB=8-x。在Rt△ABC中，可求出AB的长。OA=2，AC=6，所以OC=AC-OA=4。AD是⊙O的弦，我们可以过O作OH⊥AD于H，利用垂径定理和相似三角形（△AOH∽△ABC）求出AD的长，进而得到BD的长，FD的长也就知道了。但或许更直接的是，连接OE，在Rt△OCE和Rt△ODE中，OE是公共斜边，利用勾股定理分别表示OE²，列方程求解x。解答：（1）证明：连接OD。∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED。∴∠EDB=∠B。∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠OAD+∠B=90°。∴∠ODA+∠EDB=90°。∵∠ODA+∠EDB+∠ODE=180°（平角定义），∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。（2）设DE=x，则EB=x，EC=BC-EB=8-x。在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。∵OA=2，AC=6，∴OC=AC-OA=6-2=4。连接OE。在Rt△OCE中，OE²=OC²+EC²=4²+(8-x)²。在Rt△ODE中，OE²=OD²+DE²=2²+x²。∴4²+(8-x)²=2²+x²即16+64-16x+x²=4+x²化简得：80-16x=416x=76x=4.75(或写为19/4)∴DE的长为19/4。方法提炼：切线的判定，“连半径，证垂直”是通法。动态问题（本题中E点随BD中垂线变化，但DE=BE是不变的关系）中，设未知数，利用几何图形的性质（如垂直平分线性质、勾股定理）建立方程是求解未知量的常用有效手段。例题3：圆与三角形、四边形综合及动态探究题目：如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠ADC=∠ACB，点E是BC的中点，连接AE并延长交⊙O于点F。连接BD交AF于点G。（1）求证：AD=CD；（2）若tan∠ABC=3/4，AC=6，求FG的长。分析：第（1）问要证AD=CD，即证弧AD等于弧CD，或证它们所对的圆周角相等。已知∠ADC=∠ACB，而∠ACB是直径AB所对的圆周角，所以∠ACB=90°，故∠ADC=90°。∠ABC和∠ADC所对的弧都是弧AC，所以∠ABC=∠ADC？不对，∠ABC对的是弧ADC，∠ADC对的是弧ABC。哦，不对，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。∠ABC所对的弧是弧AC，∠ADC所对的弧也是弧AC，所以∠ABC=∠ADC。题目给出∠ADC=∠ACB，而∠ACB=90°，所以∠ABC=90°？这不可能，因为△ABC中AB是直径，∠ACB已经是90°了。哦，我刚才看错了，题目是∠ADC=∠ACB。∠ACB是90°，所以∠ADC=90°。那么在△ADC中，∠ADC=90°。要证AD=CD，只需证∠DAC=∠DCA。∠DAC所对的弧是DC，∠DCA所对的弧是AD。若能证∠DAC=∠DCA，则AD=CD。或者，∠ABD和∠ACD所对的弧都是AD，所以∠ABD=∠ACD。∠BAD和∠BCD所对的弧都是BD，所以∠BAD=∠BCD。这个思路似乎复杂了。换个角度，因为AB是直径，∠ADB=∠ACB=90°。∠ADC=∠ACB=90°，所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=0°？这显然不对。哦，我犯了个致命错误，点D的位置！点D在⊙O上，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D的位置需要明确。根据∠ADC=∠ACB=90°，点D应该在劣弧AC上，使得∠ADC是钝角？不，直径所对的圆周角是直角，所以∠ACB=90°是确定的。∠ADC=90°，则点D在以AC为直径的圆上，又在⊙O上，所以D是两圆交点。要证AD=CD，即△ADC是等腰直角三角形。或许可以通过证明△ABD≌△CBD？或者利用等角对等边。再仔细看，∠ABC所对的弧是弧AFC，∠ADC所对的弧是弧ABC。已知∠ADC=∠ACB=90°。弧ABC所对的圆心角是2∠ADC=180°？那弧ABC就是半圆，所以点C和点D关于AB对称？似乎有点绕。或许从∠CAD和∠ACD入手。∠CAD是圆周角，对弧CD；∠ACD是圆周角，对弧AD。若AD=CD，则弧AD=弧CD，它们所对的圆周角∠ACD=∠CAD，从而△ADC是等腰直角三角形。已知∠ADC=90°，若能证∠CAD=∠ACD=45°即可。或者，连接OC，OD，通过证明三角形全等或等腰三角形性质来证AD=CD。这个小题先放一放，思路可能在解第二问时会更清晰。第（2）问，tan∠ABC=AC/BC=3/4（因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=对边AC/邻边BC）。已知AC=6，可求出BC=8，进而AB=10（勾股定理）。点E是BC中点，所以BE=EC=4。要求FG的长，需要先求出AF的长和AG的长，然后作差。AF是直径AB所对的弦吗？不是，AF是AE延长线交⊙O于F。可以考虑用勾股定理求AE，再用相交弦定理或相似三角形求EF，从而得AF。AE是Rt△ABC中BC边上的中线？不是，是从A点发出的中线？E是BC中点，所以AE是△ABC的中线。在Rt△ABC中，AE=BE=CE=5（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半？不对，那是斜边中点。这里E是BC中点，不是AB中点。）所以AE的长度需要用勾股定理求：在Rt△AEC中，AC=6，EC=4，所以AE=√(6²+4²)=√52=2√13。然后延长AE到F，AF是⊙O的弦。要求AF的长，可以过O作OH⊥AF于H，用垂径定理，但需要知道圆心O到AF的距离。或者，连接BF，因为∠AFB=∠ACB=90°（同弧所对圆周角相等，都对弧AB），所以△AEB∽△FEB？或者△AFB∽△ACB？或者利用面积法？或者求出AF的解析式，联立圆的方程求交点？对于初中生，还是用几何相似或勾股定理。连接BF，∠AFB=90°，∠AEB是公共角，所以△BEF∽△AEB。则BE/AE=EF/BE，即BE²=AE·EF。由此可求出EF，进而AF=AE+EF。然后求AG的长。AG在AF上，也在BD上。可以通过证明△ADG∽△EBG或其他相似三角形来求AG。或者求出BD的解析式与AF的解析式交点G的坐标，再计算AG长度。这需要建立坐标系，也是一种方法。比如，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，则C(0,0)，A(0,6)，B(8,0)，E(4,0)。AB的方程可求，圆心O是AB中点，坐标为(4,3)，半径为5。AF的方程：A(0,6)，E(4,0)，可求出AE的方程，进而求出F点坐标（AE与⊙O的另一个交点）。BD是