小学数学三年级下册：借助点子图深化乘法算理理解教学设计

小学数学三年级下册：借助点子图深化乘法算理理解教学设计

一、课程标准与核心素养分析

本节课的教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域第二学段（3-4年级）的具体要求。课程内容要求学生能够熟练计算两位数乘两位数的乘法，并探索运算律。本节课以点子图为核心认知工具，重点聚焦于以下核心素养的培育：

数感：通过点子图的直观排列与分割，帮助学生建立数与量、运算与结果之间的关联，理解乘法运算不仅是一个抽象算法，更是对“几个几”的直观数量关系的概括与表达。学生将发展出对运算结果大小的估计能力和对算理合理性的直观判断。

运算能力：超越单纯的计算熟练度，深入理解两位数乘两位数乘法的算理本质。点子图将标准竖式计算中每一步的“部分积”可视化，使学生清晰看到“拆分”、“相乘”、“相加”的完整逻辑链条，从而将程序性操作内化为有意义的数学推理过程。

几何直观：点子图作为一种半抽象半直观的模型，是发展几何直观素养的绝佳载体。学生通过观察、操作（圈画、分割）点子图，将抽象的乘法算式转化为具体的、可操作的图形问题，运用直观图形来探索、描述和分析复杂的数量关系，实现“以形助数”。

推理意识：在将点子图进行不同方式分割以对应不同计算策略的过程中，学生需要有条理地思考，解释自己分法的合理性，并沟通不同分法之间的联系。这实质上是归纳、类比和演绎推理的初步体现，为学生形成严谨的数学思维奠定基础。

二、教学内容与学情深度剖析

教学内容本质：

本节课的核心内容是“两位数乘两位数的算理”，点子图是理解该算理的桥梁。从数学知识的内在结构看，两位数乘两位数（如14×12）是乘法意义（求几个相同加数的和）的进一步扩展，其算理基础是乘法分配律的初步应用。竖式算法是计算这种乘法的标准、高效程序，但其紧凑的格式往往掩盖了背后的数学原理。点子图的教学价值在于，它将乘数（如14和12）分别视为行数和列数，构建出一个矩形的点阵，乘法运算的结果就是这个点阵的总点数。通过对这个矩形点阵进行不同的划分（如将12拆分为10和2），学生可以直观地看到14×12等同于14×10与14×2之和，从而深刻理解竖式计算中“用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数”和“用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数”以及“将两次乘得的积相加”的每一步的实质含义。这不仅是掌握一种计算方法，更是对数的位值制、运算律和乘法模型的一次深度建构。

学生学情分析：

三年级下学期的学生已经具备的知识与经验包括：熟练掌握了表内乘法；理解了两位数乘一位数、整十数乘两位数的算理与算法；初步学习了两位数乘两位数的竖式计算格式，但部分学生可能处于“依葫芦画瓢”的程序操作阶段，对为什么这样算理解不深。他们的思维特点是以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡。对于复杂的计算过程，他们需要直观的模型作为支撑来内化理解。

潜在的认知困难可能在于：第一，难以真正理解竖式中第二层部分积的“错位”书写原理（实为与十位数字相乘，得到的是多少个“十”）。第二，面对计算错误时，缺乏从算理层面进行检验和调试的策略。第三，难以自主沟通不同计算方法（如横式口算、表格法、竖式法）之间的联系。因此，教学设计的出发点必须是化隐为显，化抽象为具体，利用点子图这一“脚手架”，引导学生主动探索，将外在的操作活动内化为心理表象，最终达成对算理的抽象理解。

三、学习目标与评价体系设计

学习目标：

1.知识与技能：能准确使用点子图表示两位数乘两位数的意义，并借助点子图的不同分割方式，解释和说明两位数乘两位数竖式计算的每一步算理，能正确进行相关计算。

2.过程与方法：经历“提出问题-操作点子图-解释算法-沟通联系”的完整探究过程，体会数形结合的思想方法，发展借助几何直观探索和解决数学问题的能力。

3.情感、态度与价值观：在探索点子图与乘法算理联系的过程中，体验数学的内在一致性和逻辑之美，增强学习数学的自信心和探究欲。

评价体系：

1.过程性评价：

1.2.观察评价：在小组合作操作点子图时，观察学生是否能主动参与，提出的分割方法是否有逻辑。

2.3.对话评价：通过课堂问答，诊断学生对“为什么第二层积要错位写”等关键问题的理解程度。

3.4.作品分析：对学生绘制的带有分割线的点子图及对应的算式记录进行分析，评价其数形转换的准确性和对算理表达的清晰度。

5.形成性评价：

1.6.嵌入式练习：在新知探究的各个环节设置即时性、层次性的口头或书面任务，如“请用点子图说明23×14的计算过程”。

2.7.思维可视化工具：引导学生绘制“算理说明图”，将点子图、横式分解与竖式步骤三者对应标注。

8.总结性评价：

1.9.目标达成检测：设计一份简短的课后检测，包含用点子图表示算式的题目、根据点子图写算式的题目、以及需要用点子图或算理解释计算错误的题目，全面评估三维目标的达成情况。

四、教学资源与环境创设

1.技术融合资源：

1.2.交互式白板课件：动态演示点子图的生成、拖动分割过程，并同步关联生成横式与竖式。预设几种典型的分割方法（行分、列分、混合分），便于对比。

2.3.几何画板或类似数学工具：用于展示当乘数变化时，矩形点阵大小的动态变化，强化乘法与面积模型的关联。

4.实体操作材料：

1.5.学生用学习单：印有空白方格点阵（便于绘制点子图）、探究记录区、分层练习区。

2.6.小组探究工具：透明胶片和可擦写笔（供学生在胶片上对点子图进行多种分割尝试，便于叠加展示不同方法）；磁性点子图贴片（用于在黑板上示范）。

7.心理与思维环境：

1.8.创设“我是算理小讲师”的挑战情境，鼓励学生不仅会算，更要会讲明道理。

2.9.布置教室数学文化角，张贴以往学生关于“计算中的为什么”的探究小报，营造重算理、重探究的班级数学文化氛围。

五、教学实施过程详解

（一）情境冲突，问题驱动（预计时间：8分钟）

活动流程：

1.呈现真实且具认知冲突的问题情境：“学校为运动会采购矿泉水，每箱24瓶，需要购买12箱。一共需要多少瓶？”学生迅速列出算式24×12。

2.教师提问：“这个算式和我们之前学的乘法有什么不同？”引导学生明确这是“两位数乘两位数”。

3.请几位学生尝试用已有方法计算。预设会有学生直接口算（24×10=240，24×2=48，240+48=288），也可能有学生尝试用尚不熟练的竖式计算，结果可能出现忘记错位等错误。

4.教师聚焦关键问题：“竖式计算看起来步骤清晰，但为什么用‘2’（12个位上的2）乘24得48，要写在个位？为什么用‘1’（12十位上的1）乘24得24，这个‘24’实际表示什么？为什么要写在十位上？（即错位）你能想办法把每一步的道理清清楚楚地展示给大家看吗？”

5.引出核心工具：“今天，请出一个老朋友——点子图来帮助我们看清乘法运算里的所有秘密。”板书优化后的课题。

设计意图：

从真实问题切入，激发学习需求。通过暴露学生的已有认知（包括正确经验和错误可能），制造“知其然，欲知其所以然”的认知冲突，将教学目标转化为学生内在的探究问题。明确点子图在本课中的角色是“算理的透视镜”，赋予学习活动明确的目的性。

（二）多元探究，深度建构（预计时间：22分钟）

本环节是教学的核心，采用“自主初探-小组共研-全班升华”的递进式探究路径。

阶段一：自主尝试，建立表象

1.任务驱动：在学习单上，独立尝试用点子图表示24×12。提示学生思考：点子图的行数和列数分别由谁决定？如何让人一眼就看出是24×12？

2.学生活动：绘制一个每行24个点、共12行的矩形点阵（或每行12个点、共24行，两种理解均正确）。教师巡视，关注学生是否建立“行×列”的对应关系。

3.初步分享：请一名学生上台展示其点子图，并说明：“我用一行表示一箱24瓶，画了这样的12行。”全班确认点子图模型的正确性。

阶段二：小组合作，探秘算理

1.核心挑战：“现在，请你们在小组内，利用透明胶片和笔，在这幅点子图上‘动手脚’，通过圈画、分割，想办法证明288这个结果是正确的，并且要能解释竖式中每一步计算在你的点子图上对应的是哪一部分。”

2.小组活动：学生进行合作探究。教师提供“探究提示卡”作为支架：

1.3.提示一：可以试着把其中一个乘数拆成“整十数”和“一位数”来思考。

2.4.提示二：你的分割方法，能让计算变得更简单吗？

3.5.提示三：不同的分割方法，最终结果一样吗？为什么？

6.教师巡视指导，捕捉典型方法，并选择有代表性（正确、错误、独特）的小组准备汇报。

阶段三：全班交流，融会贯通

预设学生会生成以下几种主要的分割思路及对应的算理理解：

汇报一：按“12”进行分割（竖式算理的直接可视化）

1.小组展示：将点子图的12行，分成上下两部分：上面10行，下面2行。

2.算式对应：总点数=上面10行的点数+下面2行的点数=24×10+24×2=240+48=288。

3.沟通竖式：教师利用交互白板，动态将此分割过程与竖式计算关联。

1.4.“下面2行，就是2个24，列式24×2=48。这对应竖式中的哪一步？”（第一步：用个位上的2乘24，得48，表示48个一，写在个位上）。

2.5.“上面10行，就是10个24，列式24×10=240。这对应竖式中的哪一步？”（第二步：用十位上的1乘24，得24，这个‘24’实际表示24个十，就是240。因为它是十个十位的乘积，所以这个‘4’（代表4个十）要写在十位上，整体错开一位。）

3.6.利用点子图，直观说明“错位”是因为第二个部分积是“多少个十”，它与第一个部分积“多少个一”在数位上是不同的。

7.思维提升：教师追问：“为什么大家都不约而同地把12拆成10和2，而不是拆成8和4？”引导学生体会将乘数拆成“整十数”和“一位数”能使计算简便的优越性。

汇报二：按“24”进行分割（拓展思路）

1.小组展示：将点子图的每行24个点进行分割，左边20个点为一组，右边4个点为一组。这样整个图被分成左右两个大竖条。

2.算式对应：总点数=左边大竖条点数+右边大竖条点数=20×12+4×12=240+48=288。

3.沟通联系：这种方法同样得到288，但它对应的是将第一个乘数24拆解。教师引导学生思考：“这种分法，如果写成竖式，看起来和我们平时学的竖式样子不太一样，但道理相通吗？”启发学生理解，竖式计算习惯上是固定第一个乘数，拆分第二个乘数，这是一种计算策略的选择，本质都是应用了乘法分配律。

汇报三：混合分割（十字分割，对应面积模型）

1.小组展示：将点子图同时按行和列分割。把12行分成10行和2行，同时把24列分成20列和4列。这样点子图被分割成四个小长方形。

2.算式对应：总点数=左上（20×10）+右上（4×10）+左下（20×2）+右下（4×2）=200+40+40+8=288。

3.深度关联：这是对乘法分配律的完整应用（a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd。教师可以引导学生将此与“两位数乘两位数”的“表格法”（或称为“铺地锦”法）进行联系，将四个小区域的计算结果填入表格对应位置再相加，让学生看到不同算法模型之间的内在统一性。

阶段四：对比归纳，抽象本质

1.教师引导对比：“同学们展示了这么多精彩的分割方法，虽然分法不同，但有什么共同点？”

2.学生归纳：

1.3.都把原来的大问题（算总点数）转化成了几个更小、更易算的小问题。

2.4.都用了“先分后合”、“化整为零”的思想。

3.5.最终结果都是288，验证了乘法运算的确定性。

6.教师总结提升：“点子图就像一面镜子，照出了乘法竖式每一步的‘本来面目’。无论我们怎么分，都是在把一个两位数乘两位数的乘法，变成几个我们已经学过的、更简单的乘法（如两位数乘整十数、两位数乘一位数）的和。这就是竖式计算最根本的道理。这种‘先分后合’的数学思想，在未来学习更复杂的运算时还会遇到。”

设计意图：

此环节摒弃教师单向讲解算理的模式，将学习的主动权完全交给学生。通过开放性的操作任务，促使学生调动已有知识对点子图进行意义建构。多样化的分割方法展示了数学思维的开放性，而不同方法之间的对比与沟通，则引导学生走向对算理本质的深度理解——即乘法分配律的直观运用和“转化”策略的应用。动态的课件演示将静态的操作过程与抽象的竖式符号精准对接，完成了从直观操作到符号抽象的关键飞跃。

（三）分层应用，迁移内化（预计时间：8分钟）

练习设计：

1.基础巩固层（全体学生）：“请用点子图说明15×13的计算过程，并将你的分法与竖式计算步骤连一连。”此题旨在模仿巩固，确保所有学生能建立最基本的对应关系。

2.理解辨析层（大部分学生）：出示一道错误的竖式计算（如37×21，计算时未错位，将两部分积直接对齐相加）。提问：“这位同学错在哪里？你能在他的竖式旁边画一个简化的点子图，指出他的错误吗？”此题旨在逆向应用，利用点子图进行诊断和验证，深化对算理，特别是数位意义的理解。

3.思维拓展层（学有余力学生）：“如果不限制拆分一个乘数，你能用点子图解释‘25×44=25×4×11’这个巧算方法的道理吗？”此题引导学生跳出“拆成整十和个位”的固定模式，从点子图的行列整体性出发，沟通乘法结合律与分配律，培养思维的灵活性与深刻性。

实施方式：

学生独立完成学习单上的分层练习。教师巡视，重点指导基础层学生完成对应，鼓励拓展层学生探索不同的解释方法。完成后进行简短反馈，聚焦于典型错误的分析和巧算思路的分享。

设计意图：

分层练习满足不同层次学生的发展需求。从正向应用到逆向诊断，再到关联其他运算律，练习的功能从巩固延伸到深化和拓展。特别是“纠错”环节，将点子图从“理解工具”升级为“检验工具”，提升了学生的元认知能力和批判性思维。

（四）反思总结，展望延伸（预计时间：2分钟）

1.学生自主总结：“通过今天的学习，你对乘法竖式有了什么新的认识？点子图是如何帮助你的？”

2.教师提炼升华：“今天，我们借助点子图这把‘金钥匙’，打开了乘法竖式这个‘黑箱’，看清了里面每一步的奥秘。数学中，很多复杂的计算背后都有简洁的道理和直观的模型。希望同学们今后在计算时，不仅能准确算出得数，心中更能有一幅‘点子图’，明白其中的道理。课后，请尝试用点子图去研究一下三位数乘两位数，比如123×11，看看你能发现什么。”

3.布置弹性作业：（1）必做：完成课本相关练习题，并用自己喜欢的方式（图画、文字等）记录一道题的算理。（2）选做：探究“铺地锦”计算法，并尝试用点子图解释它的原理。

设计意图：

引导学生从知识、方法和体验三个维度进行反思，将课堂收获结构化。教师的总结将本课价值从具体知识提升到数学思想方法和学习态度层面。留下的延伸性问题（三位数乘两位数）和探究性作业（铺地锦），打破了课堂的时空界限，将探究的热情与思维的习惯延伸至课后，体现了“教学是一个连续体”的理念。

六、教学特色与创新反思

核心特色：

1.算理可视化的深度实现：本设计将点子图从一种简单的图示工具，提升为贯穿始终的认知思维工具。它不仅用于引入，更用于深度探究、多元表征、错误分析和思维拓展，真正做到了让不可见的思维过程变得清晰可见。

2.学习路径的开放性：探究环节没有预设唯一的标准分割方法，而是鼓励学生基于自己的理解进行多样化的探