初中数学七年级下册《图形的轴对称》单元整体导学案

初中数学七年级下册《图形的轴对称》单元整体导学案

一、教学内容分析

本章内容属于“图形与几何”领域的重要部分，是学生从运动变化的角度认识图形性质的起始章节。基于北师大版教材的编排逻辑，本章是在学生学习了基本平面图形、初步感知生活中的对称现象之后，对轴对称图形的概念、性质及其应用进行的系统化与数学化探究。其核心内容涵盖轴对称图形与两个图形成轴对称的定义辨析、对应点连线被对称轴垂直平分这一核心性质的探究与应用、简单的轴对称图形（线段、角）的性质、以及利用轴对称进行图案设计和最短路径问题的初步模型构建。本章内容不仅是后续学习等腰三角形、平行四边形、圆等几何图形性质的基础，更是培养学生几何直观、空间观念、推理能力以及数学建模意识的关键载体。从课程改革理念出发，本章教学应摒弃传统的机械记忆与简单模仿，转而通过丰富的操作活动、观察比较、猜想验证、归纳抽象等过程，引导学生在“做数学”中体验知识的生成，发展核心素养。

二、学情分析

七年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们具备了一定的生活经验，对生活中的对称现象（如蝴蝶、剪纸、建筑）有直观的感受，但对“轴对称”的数学本质缺乏深刻理解。学生在小学阶段已经初步认识了轴对称图形，能够识别一些简单的例子，但这种认识往往是感性的、不全面的，容易将“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”相混淆，对性质的把握停留在直观层面。同时，学生已经具备了一定的观察、操作和简单推理能力，但严谨的逻辑推理和用数学语言表达推理过程的能力尚显薄弱。因此，本单元教学需充分借助学生的已有经验，从直观感知出发，通过动手操作（折叠、画图、测量）深化理解，逐步引导学生抽象概括，并渗透演绎推理的思想，实现从直观到理性的跨越。

三、单元教学目标与核心素养体现

【非常重要·核心素养导向】

（一）基础性目标

1.认识轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能准确识别并指出它们的区别与联系。这是本章学习的【基础】。

2.探索并掌握轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分。理解这一性质是解决相关问题的【关键】。

3.探索并理解线段垂直平分线的性质与判定，理解角平分线的性质。

4.能按要求画出简单平面图形经过一次轴对称后的图形。

5.能利用轴对称进行简单的图案设计，感受数学之美。

（二）发展性目标

1.通过折叠、画图、测量等活动，经历知识的形成过程，发展几何直观与空间观念。【重要】

2.经历观察、猜想、归纳、验证等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。【重要】

3.在运用轴对称知识解决最短路径等实际问题（将军饮马模型）的过程中，体会建模思想，发展应用意识和创新意识。【非常重要·热点】

（三）拓展性目标

1.能从轴对称的视角重新审视生活中的图形和数学中的其他几何图形（如等腰三角形、等边三角形等），构建知识间的内在联系。

2.在合作探究中，培养质疑、反思的科学精神和团队协作能力。

四、教学重难点

【教学重点】

1.轴对称图形和两个图形成轴对称的概念及其基本性质。

2.线段垂直平分线的性质与角平分线的性质。

3.作轴对称图形的方法。

【教学难点】

1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。

2.灵活运用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质解决实际问题，特别是“将军饮马”类最短路径问题。【难点·高频考点】

3.从轴对称的角度发现和提出问题，并进行有条理的思考与表达。

五、教学方法与准备

【教学方法】基于问题驱动的探究式教学法、直观演示与动手操作相结合的教学法、分层递进式教学法。倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生在“观察—操作—猜想—验证—应用”的闭环中主动建构知识。

【教学准备】多媒体课件（包含丰富的图片、动画演示）、几何画板软件、彩色卡纸、剪刀、直尺、量角器、方格纸、学生自备的简单剪纸材料。

六、教学实施过程（分课时详案）

本单元共计4课时。

第一课时感受对称之美——轴对称现象与基本性质

（一）创设情境，引入新课（预计5分钟）

教师活动：利用多媒体展示一组极具视觉冲击力的图片：宏伟的北京故宫建筑群、精致的民间剪纸艺术、轻盈的蝴蝶翅膀、分子结构的对称模型、数学中的几何图形（如圆、正方形）。引导学生观察并思考：“这些图片在形状、结构上有什么共同特点？”学生观察后，自然会联想到“对称”。教师顺势提问：“你还能举出生活中其他具有对称性的事物吗？”在学生充分举例的基础上，教师指出：这种对称性在数学中有着精确的定义，今天我们就要走进“图形的轴对称”世界，从数学的角度揭开它的神秘面纱。

设计意图：从学生熟悉且感兴趣的生活实例出发，唤醒学生的已有经验，激发学习兴趣和探究欲望，为本节课的学习营造良好的心理氛围。

（二）操作感知，建构概念（预计15分钟）

1.探究活动一：轴对称图形

教师为每组学生提供一张彩色卡纸和一把剪刀。布置任务：“请用一张纸，通过折叠、画线、剪切的方式，创作一个你喜欢的图案。”学生动手操作，教师巡视指导。剪好后，请几位同学展示自己的作品，如爱心、大树、小人等。教师引导学生观察这些作品的共同特征：“将你们手中的剪纸打开，观察折痕两侧的部分，它们之间有什么关系？”引导学生发现：沿着折痕对折，折痕两侧的部分能够完全重合。在此基础上，教师抽象出“轴对称图形”的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。同时强调，“互相重合”意味着形状和大小完全相同。

【基础·重要概念】此时，教师可以展示一些常见的图形（如平行四边形、一般三角形、等腰梯形、圆等），让学生判断其是否为轴对称图形，并指出对称轴（如果存在的话），加深对概念的理解，并纠正“平行四边形是轴对称图形”这一常见误解。

2.探究活动二：两个图形成轴对称

教师活动：在多媒体上展示一幅图，左边是一个房子的一半，右边是它的另一半，但中间有一条明显的直线。提问：“这幅图中的两个图形，如果沿着这条直线折叠，会出现什么情况？”引导学生想象并回答：它们也能完全重合。教师指出，这是一种与轴对称图形既有联系又有区别的现象，我们称之为“两个图形成轴对称”。给出定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

教师活动：将之前学生剪好的一个轴对称图形，沿着对称轴剪开，得到两个分开的图形，向学生展示：“现在，这两个图形还成轴对称吗？”引导学生思考并认识到：一个轴对称图形可以被看作是由两个成轴对称的图形组成的；反过来，两个成轴对称的图形拼在一起，可以组成一个轴对称图形。

【难点】为了突破“区别与联系”这一难点，教师组织小组讨论，并完成一个对比辨析。引导学生从“对象个数”、“对称轴位置”、“本质属性”三个维度进行归纳。经过讨论，师生共同总结：

区别：轴对称图形研究的是一个图形的特征；两个图形成轴对称研究的是两个图形之间的位置关系。

联系：它们都有一条直线（对称轴），沿这条直线折叠后都能与另一个（或自身另一部分）重合。轴对称图形可以看作是由两个成轴对称的图形组成；两个图形成轴对称，把它们看成一个整体，就是一个轴对称图形。

设计意图：通过“剪纸”这一高度契合主题的实践活动，让学生在动手操作中直观感受轴对称的本质，为概念的抽象奠定坚实基础。通过对比辨析，引导学生深度思考，培养分类和比较的数学思想，有效化解难点。

（三）深入探究，发现性质（预计15分钟）

1.探究活动三：性质探究

教师引导：我们已经知道轴对称图形或成轴对称的两个图形沿着对称轴折叠能够重合，那么对称轴和图形上的点有什么关系呢？让我们继续深入研究。

教师利用几何画板演示：一个三角形ABC和它关于直线l成轴对称的三角形A'B'C'。连接点A和点A'，设线段AA'与对称轴l交于点O。引导学生观察：

（1）线段AA'与对称轴l的位置关系如何？（垂直）

（2）AO与A'O的长度关系如何？（相等）

（3）改变三角形的位置或大小，再次观察，这个结论还成立吗？

学生在几何画板的动态演示下，能清晰地看到无论图形如何变化，对应点所连的线段始终被对称轴垂直平分。教师引导学生用语言概括这一发现的结论：成轴对称的两个图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。这个性质同样适用于轴对称图形。

【非常重要·核心性质】教师强调这是轴对称最核心、最根本的性质，是后续所有应用的基石。并引导学生用数学符号语言进行表达：如直线l是对称轴，点A与点A'是对应点，若AA'交l于点O，则l⊥AA'，且AO=A'O。

设计意图：利用几何画板的动态演示功能，将静态的结论变为动态的探究过程，让学生在观察、猜想、验证中主动发现轴对称的基本性质，体验从特殊到一般的归纳思想，同时渗透几何直观和逻辑推理。

（四）巩固练习，初步应用（预计7分钟）

1.基础练习：课本配套练习题，找出下列图形（或成轴对称的图形）的对称轴，并指出其中一组对应点，画出对应点所连的线段。

2.变式练习：在方格纸上，给出一个简单图形（如一个点、一条线段、一个三角形）和一条直线（对称轴），让学生根据轴对称的性质，画出它关于这条直线对称的图形。教师巡视，针对学生作图时可能出现的“对应点找不准”、“连线不垂直”等问题进行个别指导。

设计意图：通过基础练习，及时巩固所学概念和性质。通过作图练习，将抽象的“垂直平分”性质转化为具体的操作技能，为后续学习作复杂图形的轴对称打下基础。

（五）课堂小结与反思（预计3分钟）

教师引导学生回顾本节课的学习历程：“我们是如何认识轴对称的？从生活中的现象，到动手操作，再到数学定义和性质，你有哪些收获？还有哪些困惑？”鼓励学生从知识、方法、情感等多个角度进行小结。

知识层面：轴对称图形、两个图形成轴对称的定义及区别联系；轴对称的基本性质。

方法层面：观察、操作、归纳、类比是学习几何的重要方法。

设计意图：培养学生总结反思的习惯，构建系统化的知识结构，同时关注学生的学习情感和后续学习的准备。

第二课时对称轴上的秘密——简单的轴对称图形（一）线段

（一）复习导入，承上启下（预计3分钟）

教师提问：上节课我们学习了轴对称的基本性质。如果一个图形本身就是轴对称图形，它的对称轴有什么特殊的性质？今天我们就从一个最简单的轴对称图形——线段开始，深入探究其对称轴带来的秘密。

设计意图：开门见山，直接引出本节课的研究对象，并建立新旧知识之间的联系，明确学习方向。

（二）操作探究，发现性质（预计15分钟）

1.探究活动一：线段是轴对称图形吗？

教师提问：线段是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

学生凭直觉可能回答：一条，是它的垂直平分线。也可能有学生提出：它本身所在的直线也是一条对称轴。

教师引导学生动手操作：在纸上画一条线段AB，用折叠的方法验证。学生通过折叠发现：将线段AB对折，使点A与点B重合，折痕就是线段AB的垂直平分线。同时，将线段沿着它所在的直线对折，线段两旁的射线也能重合，但此时折痕就是线段本身所在的直线。因此，线段有两条对称轴：一条是它的垂直平分线，另一条是它本身所在的直线。

【重要】教师重点引导学生关注垂直平分线这条对称轴，因为它具有独特的性质。

2.探究活动二：线段垂直平分线的性质

教师引导：垂直平分线是线段的对称轴，对称轴上的点有什么性质呢？

操作与猜想：在刚才画出的线段AB的垂直平分线l上任取一点P，分别连接PA、PB。沿着直线l对折，观察PA和PB会有什么关系？学生通过折叠或测量发现PA=PB。

验证与归纳：改变点P在l上的位置，再次测量，结论仍然成立。由此，师生共同归纳出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

【非常重要·核心性质·高频考点】教师强调这是几何证明和计算中常用的一个定理。并引导学生写出规范的符号语言：∵直线l⊥AB于点O，且AO=BO（或l垂直平分AB），点P在l上，∴PA=PB。

教师追问：你能尝试证明这个定理吗？引导学生结合轴对称的性质进行推理：因为点P在对称轴l上，点A与点B关于l对称，根据轴对称的性质，对应点到对称轴上同一点的距离自然相等。这为后续的演绎证明埋下伏笔。

3.探究活动三：线段垂直平分线的判定

教师提出逆向思考问题：到一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上吗？

引导学生进行探究：在纸上画一条线段AB，用圆规分别以点A、点B为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线。学生会发现这条直线就是线段AB的垂直平分线。从而归纳出线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

【重要·难点】教师强调这是确定点在线段垂直平分线上的依据。并说明，性质定理和判定定理互为逆定理，它们共同构成了研究线段垂直平分线的完整工具。

设计意图：本环节充分体现了“操作—猜想—验证—归纳”的探究过程。从线段的对称性出发，自然地引出对其对称轴（垂直平分线）的研究。通过动手操作和逆向思考，引导学生自主发现并归纳出线段垂直平分线的性质与判定，发展了学生的几何直观和推理能力。

（三）范例精讲，深化理解（预计12分钟）

【例题1】基础应用

如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

分析：引导学生抓住“垂直平分线”这个关键条件，得出DA=DC。将△ABD的周长转化为AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC。再结合已知的AE长度，求出AC=2AE=6cm。最终得到△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm。

【高频考点】本题旨在训练学生灵活运用线段垂直平分线的性质进行等量代换，将不相关的线段周长转化为已知条件，是中考中的常见题型。

【例题2】综合应用

已知：如图，AB=AC，MB=MC。求证：直线AM是线段BC的垂直平分线。

分析：方法一：由AB=AC，可得点A在线段BC的垂直平分线上；由MB=MC，可得点M在线段BC的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，可得直线AM就是线段BC的垂直平分线。

【非常重要】本题巧妙地运用了线段垂直平分线的判定定理，证明点A和点M都在BC的垂直平分线上，从而得证。这种证明方法简洁有力，是证明“线是某条线段的垂直平分线”的典型思路，也是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材。

设计意图：通过精心挑选的例题，引导学生将所学知识应用于解决问题，实现从知识到能力的转化。例题1侧重基础，强调性质的直接运用；例题2侧重综合，强调判定定理的灵活应用，并渗透了重要的证明思想。讲解过程中，注重引导学生分析思路，规范书写格式。

（四）变式训练，巩固提升（预计10分钟）

1.在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，若∠DAE=20°，求∠BAC的度数。（分层训练，供学有余力的同学探究）

2.某地有两个村庄和一条公路，现要修建一个超市，使超市到两个村庄的距离相等，且到公路的距离最近。请你为超市选址。（实际问题，引入下一课时“最短路径”的雏形）

设计意图：通过变式训练，提升问题的思维含量，满足不同层次学生的需求。第2题将数学问题生活化，为下一课时的学习埋下伏笔，激发学生的求知欲。

（五）课堂小结（预计5分钟）

师生共同回顾本节课的主要内容：

知识层面：线段的对称性（两条对称轴）；线段垂直平分线的性质定理及其逆定理（判定定理）。

方法层面：研究几何图形性质的一般思路（观察对称性→探究对称轴上点的性质→归纳定理→应用定理）；转化思想（将周长问题转化为线段和）。

教师强调：线段垂直平分线的性质是本章的核心内容，也是后续学习等腰三角形性质的基础，务求熟练掌握。

设计意图：帮助学生梳理知识脉络，提炼思想方法，形成完整的认知结构。

第三课时对称轴上的秘密——简单的轴对称图形（二）角

（一）类比引入，明确目标（预计3分钟）

教师引导：上节课我们研究了最简单的轴对称图形——线段，发现了它的对称轴（垂直平分线）上点的性质。角也是一个非常简单的图形，它是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么？对称轴上的点又有什么性质？今天我们就用研究线段类似的方法来研究角。

设计意图：引导学生运用类比的思想方法，主动迁移已有经验，自主探索新知，培养学习能力。

（二）动手操作，探索新知（预计15分钟）

1.探究活动一：角是轴对称图形吗？

学生动手操作：在纸上画一个角∠AOB，然后用剪刀剪下这个角。尝试折叠，使角的两边OA和OB重合。学生很容易发现，折痕就是角平分线所在的直线。因此，角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

【重要】教师强调，角的对称轴是一条直线（角平分线所在的直线），而不仅仅是角平分线这条线段。

2.探究活动二：角平分线的性质

教师引导：角的对称轴是角平分线所在的直线，那么这条对称轴上的点有什么性质呢？

操作与猜想：在刚才折出的角平分线OC上任取一点P。过点P分别向角的两边OA、OB作垂线，垂足分别为D、E。然后沿着对称轴OC再次折叠。观察PD和PE有什么关系？（它们能完全重合）由此猜想：PD=PE。

验证与归纳：改变点P的位置，重复上述操作和测量，发现结论依然成立。由此，师生共同归纳出角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

【非常重要·核心性质·高频考点】教师强调这里的“距离”特指“点到直线的距离”，即垂线段的长度。引导学生写出规范的符号语言：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。

教师追问：你能证明这个定理吗？引导学生结合轴对称的性质进行思考：因为OC是对称轴，点P在对称轴上，当图形沿着OC折叠时，PD与PE重合，所以它们相等。这为后续的演绎证明提供了直观依据。

3.探究活动三：角平分线的判定

教师提出逆向思考问题：角的内部，到角的两边距离相等的点，是否一定在这个角的平分线上呢？

引导学生操作：在∠AOB内部画一点Q，使得QD⊥OA，QE⊥OB，且QD=QE。连接OQ，并猜想OQ是否是∠AOB的平分线？学生通过折叠或测量进行验证，从而归纳出角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

【重要·难点】教师强调该定理是证明点在角平分线上的依据，且前提是“角的内部”。性质定理和判定定理互为逆定理。

设计意图：完全类比线段的研究过程，让学生再次经历完整的知识发现之旅。通过动手折叠，直观感受角的轴对称性和角平分线上点的性质，再通过逆向思考得出判定，使知识结构更加完善，同时也强化了类比这一重要的数学思想。

（三）典例分析，提升能力（预计12分钟）

【例题3】基础应用

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，求点D到AB的距离。

分析：引导学生分析题意，明确要求的“点D到AB的距离”就是过点D作AB的垂线段DE的长度。由角平分线性质可知，点D到角两边的距离相等，即DE=DC。由BC=8，BD=5，可得DC=BC-BD=3，所以DE=3。

【高频考点】本题直接考查角平分线性质的应用，关键在于将所求的“距离”与角平分线性质联系起来，是中考中的常见基础题。

【例题4】综合应用

已知：如图，在四边形ABCD中，BC=DC，且点C在∠BAD的平分线上。求证：∠B+∠D=180°。

分析：本题难度较大，需要构造辅助线。引导学生由“点C在∠BAD的平分线上”这一条件，联想到过点C分别向角的两边AB、AD作垂线，垂足为E、F。根据角平分线性质，可得CE=CF。再结合已知条件BC=DC，可证Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），从而得到∠EBC=∠FDC。由于∠ADC+∠FDC=180°，所以∠ADC+∠EBC=180°，即∠B+∠D=180°。

【难点·重要】本题综合运用了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，以及等量代换等知识，对学生的综合分析能力和推理能力提出了较高要求，是培养高阶思维的良好素材。

设计意图：通过层层递进的例题，巩固角平分线性质的应用。例题3侧重直接应用，例题4侧重综合应用，特别是通过作垂线构造全等三角形的方法，是解决几何问题的常用技巧，需要学生深刻体会。

（四）对比归纳，构建体系（预计8分钟）

教师引导学生以小组为单位，从“图形”、“对称轴”、“性质定理”、“判定定理”、“图形语言”、“符号语言”等多个维度，将线段垂直平分线和角平分线进行对比梳理，形成知识表格（以文字叙述形式呈现）。

设计意图：通过对比，帮助学生厘清两者的异同，避免混淆，同时将孤立的知识点串联起来，形成系统化的知识网络。此环节充分体现了单元教学的整体性和结构性。

（五）课堂小结与作业布置（预计7分钟）

教师引导学生小结：本节课我们运用类比思想，研究了角的轴对称性，发现了角平分线的性质与判定。请同学们谈谈自己的收获和体会。

作业布置：

1.基础作业：完成课本对应练习题，巩固角平分线性质的基本应用。

2.拓展作业：思考并尝试解决“已知一个角和一个点，求作过该点的角平分线”的问题，并说明作图依据。

设计意图：基础作业面向全体，巩固双基。拓展作业引导学生思考尺规作图的原理，将知识学习向更深层次延伸，培养探究精神。

第四课时对称的价值——设计之美与智慧之桥

（一）问题引入，激发思维（预计5分钟）

教师讲述一个故事：古希腊有一位将军，每天要从军营A出发，先到河边l饮马，然后再回到营地B。他想要找到一条最短的路线。你能帮他解决这个问题吗？这就是著名的“将军饮马”问题。

教师将实际问题抽象为数学问题：如图，在直线l的同侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小。

设计意图：通过一个生动有趣的历史故事，将实际问题转化为数学问题，激发学生的好奇心和探究欲，引出本节课的核心内容——最短路径问题，让学生感受数学的实用价值。

（二）合作探究，建模求解（预计15分钟）

1.探究活动一：从特殊到一般

教师引导学生思考：如果A、B两点在直线l的异侧，这个问题就非常简单，直接连接AB，与l的交点即为所求。但现在A、B在直线l的同侧，该如何转化？

学生可能想到：能否通过某种变换，将同侧两点转化为异侧两点？

教师提示：我们刚学过轴对称，它的性质能帮我们实现这个转化。

2.探究活动二：轴对称的妙用

教师引导学生尝试：作出点B关于直线l的对称点B'。根据轴对称的性质，对于直线l上的任意一点P，总有PB=PB'。那么，PA+PB就转化为PA+PB'。

现在，问题就变成了：在直线l上找一点P，使得PA+PB'最小。而A、B'两点位于直线l的异侧！

【非常重要·建模思想】学生豁然开朗：连接AB'，与直线l的交点即为所求的点P。因为此时PA+PB'=AB'（两点之间线段最短）。对于直线l上其他任意点P'，都有P'A+P'B'>AB'（三角形两边之和大于第三边）。从而证明了点P即为所求。

教师利用几何画板动态演示，验证这一结论的正确性，并展示当P点移动时，PA+PB长度的变化情况，直观感受点P的唯一性和最优性。

3.模型总结

师生共同总结出“将军饮马”模型的基本特征：两定点（同侧）、一动点在直线上、求线段和最小值。核心思想：利用轴对称将同侧线段和转化为异侧线段和，再利用“两点之间线段最短”求解。

【热点·高频考点】教师强调，这是中考中极为常见的一个数学模型，其核心是“化折为直”的转化思想。

设计意图：本环节是整章知识应用的最高潮。通过层层递进的引导，让学生亲历“将军饮马”模型的探索过程，深刻理解轴对称在解决最短路径问题中的桥梁作用，体会转化思想和建模思想的力量。

（三）变式拓展，融会贯通（预计12分钟）

【例题5】基础模型应用

如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，在对角线AC上找一点P，使PE+PB的值最小，并求出这个最小值。

分析：引导学生识别出这是“将军饮马”模型的变式。点B和点E是定点，点P在定直线（对角线AC）上运动。作出点B关于AC的对称点，由正方形的轴对称性可知，点B关于AC的对称点恰好是点D。连接DE，DE与AC的交点即为所求点P。最小值即为DE的长度。在Rt△DCE中，DC=4，CE=2，由勾股定理可得DE=2√5。

【高频考点】本题巧妙地将“将军饮马”模型置于正方形背景下，考查了学生识别模型、应用模型的能力，以及对正方形轴对称性的理解。

【例题6】复杂模型应用

如图，在平面直角坐标系中，A(1,4)，B(3,2)。在x轴上找一点M，在y轴上找一点N，使四边形ABMN的周长最小。

分析：本题难度较大，是“将军饮马”模型的拓展，涉及两条动线段。四边形ABMN的周长=AB+BM+MN+NA。AB是定长，要使周长最小，只需BM+MN+NA最小。这里涉及两个动点M、N。需要分别作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'。连接A'B'，与x轴、y轴的交点即为M、N。因为此时BM+MN+NA=B'M+MN+A'N=A'B'（两点之间线段最短）。

【难点·拔高】本题要求学生具备较强的空间想象能力和转化能力，能够将“两次对称”有机结合起来，是训练高阶思维的优质题目。

设计意图：通过变式训练，将“将军饮马”模型从直线迁移到正方形对角线、坐标轴等不同背景，从单动点扩展到双动点，使学生在复杂情境中识别模型、应用模型，实现知识的迁移和能力的提升。

（四）创意设计，感受价值（预计8分钟）

教师布置一项创意活动：请利用本节课所学的轴对称知识，以“对称之美”为主题，在方格纸上设计一个图案，并简