初中数学七年级下册：用二元一次方程组解决综合性实际问题教案

初中数学七年级下册：用二元一次方程组解决综合性实际问题教案

一、课标与教材深度分析

本节课位于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，属于“方程与不等式”主题中的核心内容。课标明确要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。对于二元一次方程组，要求学生掌握代入消元法和加减消元法，并能用以解决简单的实际问题。

本课是苏科版七年级下册第10章“二元一次方程组”中“用二元一次方程组解决问题”的第二课时。在第一课时中，学生已经初步接触了用二元一次方程组解决简单的和差倍分、数字调配等基础问题，掌握了列方程组解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。本课时旨在学生已有基础上，将问题情境进行深化和拓展，引入更为综合、复杂的实际问题类型，如行程问题（相遇、追及、航速）、工程问题、配套问题、利润问题、图形与几何中的数量关系问题等。其核心教学价值在于：进一步巩固和熟练列方程组解应用题的基本步骤；引导学生从复杂的生活或数学情境中抽象出多个等量关系，建立二元一次方程组模型；培养学生分析综合信息、处理复杂数量关系的能力；深化对数学模型思想、转化思想的应用体验，为后续学习分式方程、一元二次方程乃至函数解决实际问题奠定坚实的思维基础和模型经验。

本节课的教学设计，立足于数学核心素养的培育，重点关注“数学抽象”、“数学建模”、“逻辑推理”和“数学运算”素养在解决综合性实际问题过程中的落地。通过创设真实或模拟真实的跨学科情境（如物理运动、简单经济、生产规划），引导学生经历“情境识别—关系提炼—模型构建—求解验证—解释应用”的完整数学建模过程，实现从“解题”到“解决问题”的跃升。

二、学情诊断与分析

教学对象为七年级下学期学生，其认知与能力基础分析如下：

优势与已有经验：

1.知识层面：学生已经熟练掌握了二元一次方程组的两种基本解法（代入消元法与加减消元法），并能独立求解方程组。对于用一元一次方程解决实际问题有较为丰富的经验，理解“寻找等量关系”是列方程的关键。

2.思维层面：初步具备了将语言文字转化为数学符号的抽象能力，能够处理涉及两个未知量的简单等量关系。

3.方法层面：通过第一课时的学习，对列方程组解应用题的基本步骤有框架性认识。

面临的困难与挑战：

1.复杂信息处理：面对综合性问题中交织的多重条件（如行程问题中的速度、时间、路程关系，以及两者之间的相对关系），学生容易感到信息冗杂，难以条理化、结构化。

2.等量关系挖掘与表达：从复杂情境中同时准确提炼出两个独立的等量关系，并恰当地用代数式进行表示，是学生面临的核心难点。特别是隐含等量关系（如“距离相等”、“工作量之和为1”、“配套比例”）的发现与转化。

3.设元的技巧性：如何根据问题特征合理设未知数（直接设元、间接设元），以简化方程形式，学生缺乏策略性认识。

4.模型迁移与应用：将某一类问题（如相遇问题）的模型迁移到类似但情境不同的新问题中，存在一定障碍。

基于以上分析，本教学设计将采用“问题串”驱动、阶梯式任务分解、小组合作探究与教师精准点拨相结合的策略。通过搭建“脚手架”（如表格、线段图、关系图），帮助学生梳理信息；通过对比分析不同类型问题的共性与个性，提炼建模思路；通过一题多解、一题多变，训练学生思维的灵活性与深刻性。

三、教学目标

依据课标要求、教材内容和学情分析，确立以下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.能熟练识别和分析涉及两个未知量的综合性实际问题情境（如行程、工程、配套、利润等问题）。

2.掌握利用列表、画图等方法梳理复杂问题中数量关系的策略。

3.能准确找出问题中的两个等量关系，并据此列出二元一次方程组。

4.能规范地求解方程组，并检验解的合理性，给出符合题意的答案。

（二）过程与方法

1.经历从复杂现实情境中抽象出数学问题、建立数学模型（二元一次方程组）的全过程，进一步体会模型思想。

2.通过小组合作探究典型例题，提升分析、综合、归纳以及用数学语言表达交流的能力。

3.在解决不同类型问题的过程中，学会类比与对比，积累解决综合性实际问题的基本策略和经验。

（三）情感态度与价值观

1.在克服复杂问题的挑战中获得成功体验，增强学习数学的自信心和应用意识。

2.感受二元一次方程组作为有效数学模型在解决跨学科、跨领域问题中的广泛应用价值。

3.培养严谨、细致、有条理的思维品质和合作学习的精神。

四、教学重难点

教学重点：引导学生从综合性实际问题中分析出两个独立的等量关系，并列二元一次方程组求解。

教学难点：1.复杂情境中隐含等量关系的发掘与数学化表达；2.根据问题特点选择最优化的设元与建模策略。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件（包含问题情境动画演示、例题、变式训练题、课堂小结导图）；实物投影仪或同屏设备；设计并打印《课堂探究学习任务单》及分层巩固练习卷。

学生准备：复习二元一次方程组的解法及列方程组解应用题的一般步骤；直尺、铅笔；预习教材相关内容。

六、教学过程

（一）情境导入，激活旧知（预计时间：8分钟）

1.温故引新：教师出示一个上节课的简单问题变式。“小明的储蓄罐里有5角和1元的硬币共20枚，总价值15元。问两种硬币各有多少枚？”要求学生口头复述解题步骤（审、设、列、解、验、答），并快速列出方程组。此环节旨在快速回顾基本流程，建立课堂连接。

2.情境升级：教师展示新的动态情境（PPT动画或简短视频）：“快递员小张和小王分别从配送站A和B同时出发，相向而行。小张骑电动车，小王骑摩托车。已知A、B两站相距60千米，小张的速度比小王慢10千米/时，他们40分钟后在途中相遇。请问两人的速度分别是多少？”

3.问题聚焦：引导学生对比新旧两个问题。提问：“这个问题与刚才的‘硬币问题’在复杂性上有什么不同？”预期学生回答：涉及的运动关系更复杂，有速度、时间、路程，还有两者之间的关系（相向、速度差）。教师总结：“今天，我们就将挑战这类更具综合性的实际问题，继续深化我们用二元一次方程组解决实际问题的能力。”自然引出课题。

（二）探究新知，建模示范（预计时间：22分钟）

核心探究活动：行程问题建模

以导入的“快递员相遇问题”作为探究起点。

1.独立思考与信息梳理：教师发放《探究学习任务单》第一部分。学生先尝试独立阅读题目，圈画关键词（“同时出发”、“相向而行”、“相距…”、“速度差…”、“…时间后相遇”）。

2.策略指导——列表分析法：教师提问：“面对这么多关于速度、时间、路程的信息，怎样才能清晰直观地表示它们之间的关系？”引导学生回顾一元一次方程中常用的表格法。师生共同构建分析表格：

对象

速度（千米/时）

时间（时）

路程（千米）

小张

x

40/60=2/3

(2/3)x

小王

y

2/3

(2/3)y

教师强调：单位统一（时间化小时），用字母表示未知量，用代数式表示相关量。

1.寻找等量关系：引导学生观察表格和题意，寻找两个等量关系。

1.2.等量关系1（路程关系）：小张的路程+小王的路程=总路程(A、B距离)。即：(2/3)x+(2/3)y=60。

2.3.等量关系2（速度关系）：小张的速度比小王慢10千米/时。即：y-x=10或x=y-10。

提问：“为什么这两个等量关系是独立的、可用的？”（因为一个描述了路程的累积，一个描述了两者速度的比较，涉及不同的数量维度）。

4.建立并求解模型：根据等量关系列出方程组：

{

2

3

x

+

2

3

y

=

60

y

−

x

=

10

\begin{cases}

\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=60\\

y-x=10

\end{cases}

{32​x+32​y=60y−x=10​请一名学生板演求解过程（鼓励使用加减消元法，因系数特点明显）。解得：x=40,y=50。

5.检验与作答：引导学生检验解是否符合实际意义（速度为正数，且代入原方程成立）。最终作答：小张的速度为40千米/时，小王的速度为50千米/时。

6.方法提炼与变式：

1.7.提炼：教师引导学生总结解决此类“相遇问题”的建模要点：利用“路程=速度×时间”基本公式；通过列表清晰呈现三者关系；从情境中挖掘“路程和”与“速度差”两类等量关系。

2.8.变式思考：教师改变条件：“如果两人同时从A站出发，同向而行（小王在前，小张在后），小王的速度比小张快10千米/时，结果40分钟后小王比小张多走了10千米。求速度。”引导学生快速分析，此时等量关系变为“小王路程-小张路程=路程差”，即(2/3)y-(2/3)x=10，速度关系不变。让学生体会“追及问题”与“相遇问题”模型的异同。

（三）拓展应用，分层巩固（预计时间：25分钟）

本环节设计三类不同背景的综合性问题，采用“小组合作探究+全班交流点评”模式，每组侧重研究一个问题，随后进行汇报分享。

探究组A：工程与配套问题

问题：某工厂要制作一批冬奥会吉祥物玩偶。已知1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶组成一套。甲生产线单独生产所有冰墩墩需要12天，乙生产线单独生产所有雪容融需要15天。为了尽快配套出厂，现决定两条生产线同时开工，问需要多少天可以完成全部配套生产任务？

教师引导支架：

1.这属于哪类问题？（工程问题、配套问题）

2.如何表示工作效率？总工作量通常看作什么？（“1”）

3.等量关系可能涉及什么？（甲完成冰墩墩数量=乙完成雪容融数量，因为要配套；各自工作量=工作效率×工作时间）

4.尝试设两个未知数（例如：设工作天数为t天，或设甲生产冰墩墩速度为x套/天，乙生产雪容融速度为y套/天），比较哪种设元更简便。

小组探究后汇报关键：设工作时间为t天。则甲完成冰墩墩的工作量为t/12（完成了总任务的t/12），乙完成雪容融的工作量为t/15。配套的等量关系为：t/12=t/15？这显然导致t=0。引发认知冲突。正确思路：配套意味着生产的“套数”相等，即冰墩墩数量和雪容融数量相等。但甲只生产冰墩墩，乙只生产雪容融，所以甲生产的冰墩墩总数=乙生产的雪容融总数。而生产总数=工作效率×时间。这里工作效率是“完成总任务的能力”，甲每天完成冰墩墩总任务的1/12，乙每天完成雪容融总任务的1/15。在t天内，甲完成冰墩墩的“套数”相当于总套数的(t/12)，乙完成雪容融的“套数”相当于总套数的(t/15)。为使配套，需满足(t/12)=(t/15)？这仍然不对。关键在于：总套数本身也是一个未知量！需要引入两个未知数。

设总套数为S套，工作时间为t天。

等量关系1（甲工作量）：甲t天生产的冰墩墩数等于总套数S，即(S/12)*t=S?也不对。更清晰的设元：设甲生产线每天能生产冰墩墩m个，乙生产线每天能生产雪容融n个。由“甲单独做需12天”知，总冰墩墩数为12m；由“乙单独做需15天”知，总雪容融数为15n。配套要求：12m=15n(总数量相等)。这是第一个方程。

等量关系2（同时开工）：设同时开工t天完成。则t天甲生产了mt个冰墩墩，乙生产了n

t个雪容融。完成时，生产的冰墩墩数等于总冰墩墩数，即m*t=12m；生产的雪容融数等于总雪容融数，即n*t=15n。这两个方程实际上都化简为t=12和t=15，矛盾。

这揭示了问题的复杂性：它不是一个典型的合作完工问题，因为两条生产线产品不同。重新审题：“完成全部配套生产任务”意味着两条生产线同时开始生产，直到生产出的冰墩墩和雪容融能配成完整的套数，且没有剩余。最优生产方案是两条生产线同时结束，且生产数量刚好配套。

设需要生产时间为t天，且最终生产了完整的P套。

则：甲生产线t天生产了冰墩墩数量=P（因为每套一个）

乙生产线t天生产了雪容融数量=P

由甲生产线效率：P=(总冰墩墩任务量/12)*t？总冰墩墩任务量就是P套需要的量，即P个。所以甲生产P个需要时间t=P/(P/12)=12。同理，乙需要t=15。矛盾再现。

至此，教师介入点拨：此问题更精确的模型是，设两条生产线同时工作T天，问T天后能配成多少套？可能会有半成品。但题目问“完成全部配套”，隐含条件是工作结束时，两种玩偶都刚好生产完所需数量。这要求工作时间是12和15的公倍数？不完全是。

实际上，这是一个“合作完成不同任务但要求结果配套”的问题。经典解法是：

设需要工作t天能完成配套。

甲每天完成总冰墩墩任务的1/12，t天完成t/12。

乙每天完成总雪容融任务的1/15，t天完成t/15。

配套完成时，要求完成的冰墩墩比例等于完成的雪容融比例，即t/12=t/15，这要求t=0。这显然不符合逻辑，说明我们假设的“总任务”对两者是独立的，但配套要求它们最终完成的比例相同，且都达到100%。这只有在t是12和15的公倍数时才可能，且最小的共同完成时间是LCM(12,15)=60天，届时甲完成了5批，乙完成了4批，但批次不同无法配套。

因此，原题可能有表述歧义或需补充条件。更常见的配套问题是：“某车间有工人生产螺栓和螺母，一个螺栓配两个螺母，生产螺栓和螺母的效率已知，问如何分配工人使产品配套”。我们可以将问题替换为该经典模型以进行教学：

“某车间有36名工人生产冬奥吉祥物玩偶配件，已知每人每天可生产冰墩墩身体10个或雪容融帽子15个。1个冰墩墩需要配1个雪容融帽子。问应分配多少人生产冰墩墩身体，多少人生产雪容融帽子，才能使每天生产的身体和帽子刚好配套？”

引导学生分析：

设分配x人生产冰墩墩身体，y人生产雪容融帽子。

等量关系1（总人数）：x+y=36。

等量关系2（配套比例）：冰墩墩身体日产量：雪容融帽子日产量=1:1。即10x:15y=1:1，转化为10x=15y。

列出方程组求解。此问题更典型，能清晰体现配套比例这一等量关系。

探究组B：利润与销售问题

问题：某书店销售两种冬奥主题纪念册，A种每本利润为8元，B种每本利润为10元。已知售出2本A种和3本B种纪念册的总利润为44元；售出4本A种和5本B种纪念册的总利润为76元。请问，A、B两种纪念册的进价分别是多少？（已知售价=进价+利润）

教师引导支架：

1.题目中直接给出了哪些量？需要求什么量？（利润、销售量；求进价）

2.进价、售价、利润之间的关系是什么？（利润=售价-进价）

3.题目中的两个条件给出了怎样的等量关系？（基于“总利润=单利×数量”）

4.如何设未知数？有两种思路：设进价，还是利用已知条件先求其他量？

小组探究后汇报关键：题目给出的两个条件直接构成了关于单利（已知）和数量（已知）的总利润方程，但求的是进价，而单利=售价-进价。设A种纪念册进价为a元，B种为b元。则其售价分别为(a+8)元和(b+10)元。但后续条件未涉及售价。仔细读题：“售出2本A种和3本B种纪念册的总利润为44元”，总利润=2×8+3×10=16+30=46元，与44元不符？矛盾。这说明对“每本利润”的理解可能不是给出的8元和10元。重新审视：“A种每本利润为8元”可能是在特定售价下的利润？或者，更合理的解释是：题目想表达的是“A种每本售价比进价高8元”，即单件利润8元。那么条件“售出2本A和3本B，总利润44元”就是2×8+3×10=46≠44，确实矛盾。这可能是题目数据设计小瑕疵。为教学顺畅，可修改数据使之合理：例如，将第一个条件改为“总利润为46元”，或调整单利数据。我们采用修改数据法：设A种单利8元，B种单利10元。条件1：2A+3B总利为46元（自然成立，非独立方程）。条件2：4A+5B总利为76元。这实际上给出了两个方程：2×8+3×10=46；4×8+5×10=82≠76。因此，需要修改单利或销售量数据，使两个条件都能独立提供信息。

修改为经典题型：已知A、B两种商品的单件利润，及两种销售组合的总利润，求两种商品的销售量。或已知两种组合的销售总价，求单价。

例如：“销售2本A和3本B共收入98元；销售4本A和5本B共收入178元。已知A种每本利润8元，B种每本利润10元，求A、B的进价。”

设A售价x元，B售价y元。则：

2x+3y=98

4x+5y=178

解得x=16,y=22。

则A进价=16-8=8元，B进价=22-10=12元。

通过此例，让学生掌握处理销售问题中涉及售价、进价、利润、数量等多重关系的分析方法，学会从复合信息中剥离出可直接列方程的等量关系（总收入）。

探究组C：几何与数量关系问题

问题：如图，一个长方形ABCD的周长是42厘米。将这个长方形分成如图所示的两个小长方形（例如沿EF平行于AB或BC折叠）。已知左边小长方形（AEFD）的周长是28厘米，上边小长方形（ABFE）的周长是30厘米。求原长方形ABCD的长和宽。

（教师需提供清晰图示）

教师引导支架：

1.题目涉及哪些几何量？（长方形的长、宽、周长）

2.大长方形、小长方形1、小长方形2的周长分别如何用长和宽（或相关线段）表示？

3.设哪两个未知数最直接？（设原长方形长AB=CD=x厘米，宽AD=BC=y厘米）

4.分割后的小长方形边长如何用x,y表示？（需明确分割线EF的位置。题目描述需具体：例如，EF平行于AB，点E在AD上，点F在BC上。则左边小长方形AEFD，长=AE?实际是宽=AD=y，长=DF=？不，AEFD是长方形，其长是AD=y，宽是AE，设为a？这样会引入第三个未知数。为了避免，应明确分割线是平行于哪一边。更清晰的描述：将长方形ABCD沿线段EF折叠，使得点E在边AD上，点F在边BC上，EF平行于AB。则得到两个小长方形：ABFE和EFCD。已知长方形ABFE的周长是30cm，长方形EFCD的周长是28cm，原长方形ABCD周长42cm。求AB和BC的长。）

设AB=xcm(长)，BC=ycm(宽)。则EF=AB=x(因为平行)。

对于小长方形ABFE：其长AB=x，宽AE=BF，设为a？则其周长=2*(AB+AE)=2*(x+a)=30=>x+a=15。

对于小长方形EFCD：其长EF=x，宽ED=FC，应为y-a。其周长=2*(EF+ED)=2*(x+(y-a))=28=>x+y-a=14。

原长方形周长：2*(x+y)=42=>x+y=21。

现在我们有三个方程：

(1)x+a=15

(2)x+y-a=14

(3)x+y=21

将(3)代入(2):21-a=14=>a=7。

代入(1):x=8。

代入(3):8+y=21=>y=13。

所以长为13cm，宽为8cm？这里注意：AB是长=x=8，BC是宽=y=13？通常长>宽，但8<13，所以AB是宽=8，BC是长=13。名称不重要，关键是尺寸。

此问题锻炼学生将几何语言转化为代数语言的能力，并处理由分割产生的新的边长关系。

全班交流与教师精讲：

每个小组汇报后，教师引导其他组学生提问、补充。教师针对共性问题进行精讲，特别是：

1.如何根据问题背景选择最简洁的设元方式。

2.如何验证找到的等量关系是否独立、充分。

3.解方程后的检验，不仅要检验方程，还要检验是否符合实际背景（如人数为正整数、速度合理等）。

（四）总结反思，体系构建（预计时间：5分钟）

1.知识梳理：教师引导学生共同构建思维导图式的课堂小结。

1.2.核心：列二元一次方程组解综合性实际问题。

2.3.一般步骤：审→设→列→解→验→答（再次强化）。

3.4.关键策略：

1.4.5.信息梳理工具：表格法、线段图法、示意图法。

2.5.6.等量关系来源：题目中的关键语句（“和、差、倍、分”、“等于”、“比…多/少”）；基本数量关系（路程=速度×时间，工作总量=效率×时间，总价=单价×数量，利润=售价-进价等）；隐含关系（配套比例、面积周长公式等）。

3.6.7.建模思想：从现实世界到数学世界的抽象与转化。

8.思想方法升华：强调方程思想、模型思想、转化思想在解决问题中的统领作用。

9.困惑与收获分享：邀请1-2名学生分享本节课最大的收获或仍存的疑惑。

（五）分层作业，自主发展

必做题（巩固基础）：

1.教材课后练习中相关的基础性、综合性应用题3道。

2.自编一道关于“班级购买体育用品（两种不同商品）”的利润或总价问题，并列出方程组（不要求解）。

选做题（提升能力）：

1.一道涉及顺流逆流航行问题（v顺=v静+v水，v逆=v静-v水）的题目。

2.探究：对于“探究组A”中最初有歧义的工程配套问题，如果补充条件“工厂有3条甲生产线和2条乙生产线同时开工”，能否求出配套完成时间？尝试建立数学模型。

实践题（拓展应用）：

调查家中或小区附近的一种商品折扣促销方式（如“满减”、“买赠”），尝试用二元一次方程组的知识，计算哪种购买方案更划算，撰写一份简短的数学分析报告。

七、板书设计

（左侧主板）

课题：用二元一次方程组解决综合性实际问题

一、一般步骤

审→设→列→解→验→答