湘教版初中数学七年级下册第三章第二节：提公因式法（公因式为多项式）教学设计

湘教版初中数学七年级下册第三章第二节：提公因式法（公因式为多项式）教学设计

一、指导思想与理论依据

  本节课的教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向为根本遵循，深度融合建构主义学习理论与概念形成的基本规律。教学设计摒弃将“提多项式公因式”视为孤立技巧传授的传统模式，而是将其定位为“因式分解”这一核心概念理解过程中的一次关键性概念飞跃与思维深化。我们强调，数学理解源于对已有认知结构的顺应与同化。学生已在“提单项式公因式”的学习中，建立了“公因式是各项共有的因数或因式”的初步观念，并掌握了基本的操作程序。本节课的核心任务，在于引导学生突破“公因式必须是单项式”这一潜在的思维定势，通过精心设计的问题序列和辨析活动，促使学生自主建构“公因式可以是一个整体性多项式”的新认知。这一过程不仅是知识的扩展，更是数学抽象能力（将多项式视为一个整体对象）、逻辑推理能力（进行等值变形与逆向思考）和模型观念（识别公共结构）的综合培养。教学实施将以“数学化”的过程为核心，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳—应用”的完整探究循环，使数学思想方法的渗透与关键能力的提升在真实的问题解决情境中自然发生。

二、教学背景分析

  （一）教材内容分析

  因式分解是代数式恒等变形的重要工具，是连接整式乘法与后续分式运算、一元二次方程求解、二次函数研究的枢纽。在湘教版教材体系中，本章第一节明确了因式分解的概念及其与整式乘法的互逆关系，并初步学习了“提公因式法”中公因为单项式的情形。本节“提多项式公因式”是公因式法的深化与完备。教材通常通过诸如“am+bm”与“a(x+y)+b(x+y)”的类比引入，旨在揭示公因式的本质是公共的“因式”，其形态可以是单项式，也可以是多项式。教学的关键在于引导学生完成两个层次的认知跨越：第一，从“数的因数”、“字母的因式”跨越到“多项式的因式”；第二，从识别“显性”的公因式到处理需要先进行恒等变形（如处理互为相反数的多项式）才能显现的“隐性”公因式。后者是学生认知的难点，也是思维严谨性培养的焦点。

  （二）学情分析

  七年级下学期的学生，其抽象逻辑思维正从经验型向理论型过渡，具备一定的观察、比较、归纳能力，但思维的深度和广度仍有待拓展。其已有的认知基础包括：1.熟练的整数、单项式乘法运算能力；2.理解因式分解与整式乘法的互逆关系；3.初步掌握提单项式公因式的方法和步骤。潜在的认知障碍在于：1.“整体观念”薄弱：习惯于将多项式视为运算过程，难以将其静态地看作一个可参与提取的“整体对象”。例如，面对(x+y)

，学生更易将其理解为x

与y

的和，而非一个独立的“整体A”。2.符号处理易错：当公因式是多项式，且其相反数形式出现时，学生难以理解“提取负号”或“改变其中一项符号”以实现整体统一的原理，常出现符号错误。3.辨析能力不足：对于公因式是“单项式组合”还是“多项式整体”的边界情况（如x(a+b)+y(a+b)

与xa+xb+ya+yb

）易产生混淆。因此，教学需设计足够的正例、反例和变式，通过对比和冲突，促使学生进行深度辨析，从而牢固建立新概念。

  （三）教学重点与难点

  教学重点：准确识别多项式公因式，并能正确、熟练地运用提公因式法进行因式分解，尤其是当公因式以多项式形式出现时。

  教学难点：1.建立“多项式可以作为整体公因式”的数学观念。2.灵活处理公因式为互为相反数的多项式的情形，理解并掌握通过提取“-1”实现转化的策略。3.在复杂多项式中，准确辨识并提取最高次幂的多项式公因式。

三、教学目标

  （一）知识与技能

  1.理解公因式可以是多项式的数学内涵，能准确判断给定多项式各项是否含有公因式为多项式。

  2.掌握提多项式公因式的基本步骤和规范书写，能正确处理提取公因式后括号内各项的符号和系数。

  3.能处理公因式为互为相反数的多项式的转化问题，并能综合运用提公因式法解决稍复杂的因式分解问题。

  （二）过程与方法

  1.经历从“提单项式公因式”到“提多项式公因式”的类比、迁移和归纳过程，体会“从特殊到一般”的数学思想方法。

  2.通过小组合作探究、辨析错例等活动，发展观察、比较、分析、概括和表达的逻辑思维能力。

  3.在解决需要先变形再提取公因式的问题中，感悟“化归”思想，即将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在探索新知的活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心和探究欲。

  2.体会数学概念的严谨性、方法的普适性以及结构之美的简洁性。

  3.养成细致观察、独立思考、合作交流、规范表达的良好学习习惯。

四、教学策略与方法

  本课采用“启发-探究式”教学法为主，融合“情境创设法”、“问题驱动法”、“合作学习法”和“变式训练法”。教学流程以“认知冲突—主动探究—意义建构—迁移应用”为主线。教师扮演组织者、引导者和合作者的角色，通过创设一系列有梯度、有挑战性的问题情境，引发学生的认知冲突，激发其内在探究动机。学生在独立思考的基础上，进行小组协作探究，通过讨论、争辩、验证，共同建构新知。课堂练习设计将遵循“模仿—熟练—变式—综合”的梯度，通过一题多变、多解归一等方式，深化理解，提升思维的灵活性与深刻性。充分利用板书设计，清晰展示思维过程和知识脉络，特别是关键步骤和易错点的对比强调。

五、教学准备

  教师准备：精心设计的导学案（包含问题链、探究活动单、分层练习）、多媒体课件（用于动态展示整体代换思想、呈现辨析题目）、实物投影仪（展示学生解题过程）、板书设计纲要。

  学生准备：复习提单项式公因式的相关知识，准备课堂练习本。

六、教学过程实施

  （一）创设情境，温故引新（预计用时：8分钟）

  教师活动一：回顾激活

  师：同学们，上节课我们学习了因式分解的一种基本方法——提公因式法。现在，请快速完成以下两道小题的因式分解，并思考：你是如何确定它们的公因式的？

  （投影展示）1.12x²y³-8x³y²

2.3a(b+c)-5(b+c)

  学生独立完成，教师巡视，请两位学生板演。

  生1板演：12x²y³-8x³y²=4x²y²(3y-2x)

  生2板演：3a(b+c)-5(b+c)=(b+c)(3a-5)

  师：很好！我们请生1来解释一下第一题。

  生1：公因式是系数4

、相同字母x

（取最低次幂x²

）、相同字母y

（取最低次幂y²

），所以公因式是4x²y²

。

  师：思路清晰。那么第二题呢，生2？

  生2：我发现两项都有(b+c)

，所以公因式就是(b+c)

，提出来之后，第一项剩下3a

，第二项剩下-5

。

  设计意图：第1题是典型的提单项式公因式，用于巩固旧知，明确确定公因式的三要素：系数、字母、指数。第2题是本节课新知的一个“雏形”，但公因式(b+c)

以明显且相同的形式出现，学生凭直觉可完成。此举旨在建立新旧知识的连接点，为即将引发的认知冲突做铺垫。

  教师活动二：制造冲突，引出课题

  师：两位同学都做得非常正确。请大家再仔细观察第二题，这里的公因式(b+c)

，与我们第一题的公因式4x²y²

在形态上有什么本质区别？

  生（思考后回答）：4x²y²

是几个数字和字母乘在一起的单项式，而(b+c)

是一个多项式，它有加号。

  师：非常精准的观察！也就是说，我们过去认为公因式是“公共的因数或因式”，这个“因式”并不仅限于一个字母或几个字母的乘积（单项式），它还可以是——

  生（齐答）：一个多项式！

  师：这正是我们今天要深入探究的内容。（转身板书课题：提公因式法——公因式为多项式）

  师：那么，一个多项式作为一个“整体”被提取出来，这种操作在数学上是否合理呢？我们不妨用整式乘法来验证一下生2的结果。将(b+c)(3a-5)

展开，得到什么？

  生：3a(b+c)-5(b+c)

。和原来一样！

  师：是的，这验证了因式分解与整式乘法的互逆关系是成立的。因此，把多项式看作一个整体对象，作为公因式提取出来，是完全可行的数学操作。这就是我们今天要建立的第一个核心观念。

  （二）合作探究，建构新知（预计用时：22分钟）

  探究活动一：多项式公因式的识别与提取

  师：现在，我们进行小组探究。请各小组讨论以下三个多项式，能否进行因式分解？如果能，公因式是什么？并尝试分解。

  （投影展示探究题组A）

  A1:x(a+b)+y(a+b)

  A2:3m(x-y)-n(x-y)

  A3:2p(m+n)-3q(m+n)²

  学生以4人小组为单位展开讨论、尝试。教师巡视，重点关注学生是否将多项式如(a+b)

,(x-y)

,(m+n)

视为整体，以及在A3中是否准确提取了公因式(m+n)

的最低次幂（一次）。

  约5分钟后，请小组代表汇报。

  小组1代表：A1的公因式是(a+b)

，分解结果是(a+b)(x+y)

。

  小组2代表：A2的公因式是(x-y)

，分解结果是(x-y)(3m-n)

。我们组有同学一开始写成了(x-y)(3m+n)

，后来检查发现，提走(x-y)

后，第二项-n(x-y)

剩下的是-n

，不是+n

。

  师：这个错误提得非常好！它提醒我们，提取公因式后，括号内的每一项，都必须用原项除以公因式得到，要特别关注符号。那么A3呢？它有什么特别之处？

  小组3代表：A3的公因式是(m+n)

。但第一项是2p(m+n)

，第二项是-3q(m+n)²

，(m+n)

的次数不同。我们组认为，应该提取次数最低的那个，也就是一次，所以公因式是(m+n)

。分解过程是：2p(m+n)-3q(m+n)²=(m+n)[2p-3q(m+n)]=(m+n)(2p-3qm-3qn)

。

  师：非常精彩的分析！小组3不仅找到了公因式，还注意到了公因式应取相同因式的最低次幂这一原则，这对于多项式公因式同样适用。请同学们将这个过程的关键步骤记下来。

  教师板书要点一：1.整体观念：将多项式视为一个整体（可用一个字母，如A

，临时替代以帮助思考）。2.确定公因式：系数取最大公约数；字母取各项都有的；多项式取相同多项式的最低次幂。

  探究活动二：处理“隐性”公因式——相反数情形

  师：刚才的题目，公因式都以完全相同的形式“显性”地呈现在各项中。现在，挑战升级！请看这两个多项式（投影展示探究题组B）：

  B1:x(a-b)+y(b-a)

  B2:(x-y)²-(y-x)³

  师：请大家先独立思考一分钟，观察它们与题组A有何不同？能否直接提取公因式？为什么？

  生（观察后）：(a-b)

和(b-a)

看起来不一样，(x-y)

和(y-x)

也不一样。好像没有完全一样的多项式公因式。

  师：你的观察很敏锐。那么，(a-b)

和(b-a)

之间，(x-y)

和(y-x)

之间，是否存在某种数学关系呢？

  生：它们是互为相反数！b-a=-(a-b)

，y-x=-(x-y)

。

  师：太棒了！这就是说，它们虽然表面形式不同，但通过提取一个“-1”因子，可以实现统一。这为我们提取公因式提供了可能。现在，请各小组探讨：如何对B1和B2进行因式分解？

  学生小组再次展开激烈讨论。教师巡视，提示学生可以尝试将其中一项变形，使两个多项式变为相同。重点关注学生选择变形的项以及符号处理的逻辑。

  小组汇报：

  小组4代表（B1）：我们有两种方法。方法一：把x(a-b)+y(b-a)

中的(b-a)

变成-(a-b)

，原式=x(a-b)+y[-(a-b)]=x(a-b)-y(a-b)=(a-b)(x-y)

。方法二：把(a-b)

变成-(b-a)

，原式=x[-(b-a)]+y(b-a)=-x(b-a)+y(b-a)=(b-a)(-x+y)=(b-a)(y-x)

。

  师：两种方法的结果形式不同，它们相等吗？

  生（验证）：(a-b)(x-y)

和(b-a)(y-x)

，因为(b-a)=-(a-b)

,(y-x)=-(x-y)

，所以(b-a)(y-x)=[-(a-b)][-(x-y)]=(a-b)(x-y)

。相等！

  师：非常好！这告诉我们，处理互为相反数的多项式时，通常统一提取负号，使其中一个变为与另一个相同。习惯上，我们常让字母顺序保持一致的写法，如(a-b)

。再看B2。

  小组5代表（B2）：(x-y)²

和(y-x)³

。我们知道(y-x)³=[-(x-y)]³=(-1)³(x-y)³=-(x-y)³

。所以原式=(x-y)²-[-(x-y)³]=(x-y)²+(x-y)³

。这时公因式是(x-y)²

，提取得：(x-y)²[1+(x-y)]=(x-y)²(1+x-y)

。

  师：完美！这里用到了幂的运算性质(a-b)^n=(b-a)^n

当n为偶数时相等，当n为奇数时互为相反数。我们总结一下关键策略。

  教师板书要点二：处理隐性公因式（互为相反数）的策略：1.观察识别：确认两个多项式是互为相反数关系。2.统一变形：提取“-1”因子，将其一个化为与另一个相同。公式：b-a=-(a-b)

；(y-x)^n=(x-y)^n

（n为偶），(y-x)^n=-(x-y)^n

（n为奇）。3.注意符号：变形后，该项前面的符号可能改变。

  （三）典例精析，方法提炼（预计用时：10分钟）

  师：经历了刚才的探究，我们来系统地梳理一下提多项式公因式的一般步骤和注意事项。请同学们看两道例题，我们一起来分析。

  （投影展示例题，教师引导学生共同分析、口述，教师规范板书）

  例1：把下列各式分解因式：

  (1)3a(x-y)+2b(y-x)

(2)(2a+b)(3a-2b)+a(2b-3a)

  分析讲解：

  (1)识别：(x-y)

与(y-x)

互为相反数。策略：将(y-x)

转化为-(x-y)

。

  解：原式=3a(x-y)+2b[-(x-y)]=3a(x-y)-2b(x-y)=(x-y)(3a-2b)

。

  追问：若将(x-y)

转化为-(y-x)

，结果如何？学生口答：(y-x)(-3a+2b)

，强调两种形式等价。

  (2)识别：表面看没有明显公因式。但观察(3a-2b)

与(2b-3a)

互为相反数。需先处理符号，同时注意第一项整体(2a+b)(3a-2b)

是一个积，不能拆开看单个字母。

  解：原式=(2a+b)(3a-2b)+a[-(3a-2b)]=(2a+b)(3a-2b)-a(3a-2b)=(3a-2b)[(2a+b)-a]=(3a-2b)(a+b)

。

  强调：当公因式是多项式时，提取后括号内的项，可能是单项式（如(1)），也可能是多项式（如(2)），合并化简要仔细。

  例2（综合提升）：分解因式2(x-1)²(y-1)-4(1-x)³(1-y)

  分析讲解：本题涉及两个变量，且幂次较高，需仔细处理互为相反数的关系。

  步骤1：识别相反数关系。(x-1)

与(1-x)

互为相反数，(y-1)

与(1-y)

互为相反数。

  步骤2：统一变形。为使形式统一，将(1-x)

转化为-(x-1)

，将(1-y)

转化为-(y-1)

。

  原式=2(x-1)²(y-1)-4[-(x-1)]³*[-(y-1)]

  步骤3：计算符号。[-(x-1)]³=-(x-1)³

（因为3是奇数）。两个负号相乘：-4*[-(x-1)³]*[-(y-1)]=-4*(-1)*(x-1)³*(-1)*(y-1)

？这里容易出错，我们一步步来：

  ∵(1-x)³=[-(x-1)]³=-(x-1)³

  ∵(1-y)=-(y-1)

  ∴4(1-x)³(1-y)=4*[-(x-1)³]*[-(y-1)]=4*(-1)*(x-1)³*(-1)*(y-1)=4*(-1)*(-1)*(x-1)³(y-1)=4*1*(x-1)³(y-1)=4(x-1)³(y-1)

  因此，原式=2(x-1)²(y-1)-4(x-1)³(y-1)

  步骤4：提取公因式。公因式为2(x-1)²(y-1)

（系数取2，多项式取最低次幂）。

  原式=2(x-1)²(y-1)[1-2(x-1)]=2(x-1)²(y-1)(1-2x+2)=2(x-1)²(y-1)(3-2x)

。

  教师引导学生共同归纳步骤口诀：一看（看结构，找多项式）、二找（找相同或相反）、三变（变相反为相同）、四提（提取公因式）、五化简（合并括号内同类项）。

  （四）分层练习，巩固提升（预计用时：12分钟）

  练习采取“基础巩固→能力提升→拓展挑战”三层设计，学生可根据自身情况选择完成，教师巡回指导，重点辅导有困难的学生，并收集典型解法和共性错误。

  A层：基础巩固（必做）

  1.分解因式：(1)5x(a-b)+10y(b-a)

(2)m(m-n)²-n(n-m)²

(3)(2x+y)(3x-2y)-(2x+y)(2y-3x)

  设计意图：直接应用新知，巩固多项式公因式的识别与提取，第(3)题需先处理(3x-2y)

与(2y-3x)

的相反数关系，但整体结构清晰。

  B层：能力提升（选做，鼓励完成）

  2.分解因式：(1)a(x-a)²+b(a-x)²-c(x-a)³

(2)x(y-z)-y(z-y)+(z-y)

  设计意图：增加复杂度。(1)需处理(x-a)

与(a-x)

的关系（注意平方后相等），并确定公因式(x-a)²

。(2)需先观察，将三项中均出现的(z-y)

或(y-z)

统一，(z-y)

与(y-z)

互为相反数，且第三项(z-y)

是单独一项，提取后括号内需包括数字1。

  C层：拓展挑战（学有余力者完成）

  3.求证：(a-b)(a+b)²-(b-a)²(a+b)=(a-b)(a+b)(2a)

。请先因式分解左边，再证明等式成立。

  4.已知a+b=5,ab=6

，求代数式a(a+b)(a-b)-a(a+b)²

的值。

  设计意图：第3题将因式分解与等式证明结合，考验综合运用能力和代数推理。第4题将因式分解应用于代数式求值，体现“先化简（分解），后求值”的数学思想，感受方法优越性。

  练习过程中，教师利用实物投影展示不同层次的学生的解答，尤其针对典型错误（如符号错误、未取最低次幂、提取不彻底等）进行集中评析。例如，展示B层第2(2)题的一种错误解法：x(y-z)-y(z-y)+(z-y)=(y-z)(x-y+1)

（符号处理有误），引导学生辨析：-y(z-y)

提(y-z)

后应为何？(z-y)

提(y-z)

后应为何？通过讨论明确：-y(z-y)=-y[-(y-z)]=y(y-z)

；(z-y)=-(y-z)

。所以原式=x(y-z)+y(y-z)-(y-z)=(y-z)(x+y-1)

。

  （五）课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

  师：同学们，通过这节课的探索，我们有哪些收获和体会？请大家从知识、方法、思想三个层面进行总结。

  引导学生自由发言，教师进行结构化梳理：

  知识层面：我们深入学习了提公因式法，认识到公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式。掌握了识别和处理多项式公因式（包括显性和隐性）的方法。

  方法层面：我们经历了“类比猜想—探究验证—归纳概括—应用反思”的学习过程。掌握了处理相反数多项式的策略：统一变形（提取-1）。牢记因式分解的步骤口诀。

  思想层面：体会了“整体思想”（将多项式看作一个对象）、“化归思想”（将相反化为相同，将复杂化为简单）和“一般化思想”（从单项式公因式推广到多项式公因式）。

  师：数学的每一次进步，都源于我们敢于突破原有的认知框架。今天，我们打破了“公因式只能是单项式”的束缚，这为我们解决更复杂的代数问题打开了新的大门。

  （六）布置作业，延伸学习

  1.必做题：教材对应章节练习，完成A组全部习题。

  2.选做题：B组习题，以及一道思考题：分解因式(x-y)²n+(y-x)²n⁻¹

（n为正整数）。分析指数奇偶性对结果的影响。

  3.预习作业：阅读教材下一节内容，思考：如果多项式中没有明显的公因式（无论是单项式还是多项式），我们还有什么方法对其进行因式分解？尝试对x²-4

和x²+6x+9

进行分解，看看你能发现什么规律。

  设计意图：作业分层，满足不同需求。必做题巩固基础，选做题提升思维，预习作业设置悬念，为下节课“公式法”埋下伏笔，保持学习的连贯性和期待感。

七、板书设计

  （左侧主板书区）

  提公因式法——公因式为多项式

  一、核心观念：多项式可作整体公因式

  二、探究与发现

  1.显性公因式：x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

  关键：整体看待，取最低次幂。

  2.隐性公因式（相反数）：

  x(a-