2026年湖南省长沙市高考二模数学自编试卷01（人教版2019）（解析版）

2026年湖南省长沙市高考二模自编试卷01数学试题（解析版）题号12345678910答案CAACDBBCACDBC题号11答案ABD1．C【分析】求出函数的定义域化简集合，解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】依题意，且，，所以.故选：C2．A【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果.【详解】易知，所以复数，可得，所以.故选：A3．A【分析】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数.【详解】因为复数，在复平面内对应的点为，，即，，所以，则对应复数为．故选：A．4．C【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.【详解】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，所以f（x）在区间上单调递减，因为，所以，所以，解得，所以a的取值范围是，故选：C5．D【分析】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法，满足条件的共有种排法，得到概率.【详解】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法.甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻共有：先确定除甲乙丙三人外的位置，共有种方式，再确定甲在丁的两边有种方式，最后将乙丙放入3个空中，（甲旁边不能放入），有种方式，故共有种不同的排法，故概率，故选：D6．B【分析】利用余弦的二倍角公式结合的范围求出，进而得到余弦值和正切值，结合诱导公式求出答案.【详解】由题意得，解得或．又，所以，则，，所以，，，，故ACD错误、B正确．故选：B7．B【分析】先利用三角恒等变换化简得到，两边同除得到，因为是锐角，所以，所以.【详解】由题可得，即即，两边同除得到，所以因为是锐角，所以，所以；故选B8．C【分析】先构造函数，将不等式可以转化为，利用奇偶性定义得到函数为奇函数，利用导数证明函数在上单调递增，再利用奇偶性和单调性结合解不等式,即可得到实数的取值范围.【详解】设，则，所以可以转化为，即，因为所以函数为奇函数，，所以函数在上单调递增，，即，因为为奇函数，所以，所以，所以即或者，所以实数的取值范围是故选：C9．ACD【分析】A选项，根据极差定义进行计算；B选项，根据百分位数的定义进行计算；C选项，根据众数的定义进行计算；D选项，计算出平均数，进而求出方差.【详解】A选项，极差为，故A正确；B选项，，故从小到大，选择第3个数据作为数据的第40百分位数，即第40百分位数为9，故B错误；C选项，11出现了2次，其他数均出现了1次，故11为众数，故C正确；D选项，平均数为，故方差为，故D正确；故选：ACD10．BC【分析】由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积.【详解】正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，则正三棱锥A-PBC中侧棱两两互相垂直，正三棱锥D-PBC中侧棱两两互相垂直，则正三棱锥可以放到正方体中，当点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧时，如图所示，连接，，如图所示正方体中且，四边形为平行四边形，则有为等边三角形，则与夹角为，，有与夹角为，选项A错误；，平面BDC，平面BDC，平面BDC，选项B正确；多面体的外接球即棱长为的正方体的外接球，外接球的半径为，表面积为，选项C正确；点A，P旋转角度相同，但旋转半径不同，所以运动的轨迹长不相等，选项D错误.故选：BC【点睛】思路点睛：本题的关键在于作出旋转后的图形，根据图形研究相关的性质，而正三棱锥中侧棱两两互相垂直，图形放到正方体中，又使判断线面位置关系和运算变得更简便.11．ABD【分析】A选项，得到或0，故令可得A正确；B选项，，则，取，，使得，B正确；C选项，先证明出，，故，在B选项基础上可得C错误；D选项，，故满足要求.【详解】A选项，可以得到，故或0，故令，则有，，使得，A正确；B选项，，故，则，取，，使得，B正确；C选项，下证，，令，，则在上单调递减，因为，，故存在，使得，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，故在恒成立，即，，，则有，又B选项可知，当，则，，使得，同理当，则，，使得，故当，则，，使得，C错误；D选项，如果，，使得，则，故对于，，便得，D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与导函数，数列与不等式，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.12．6【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出，再解方程，即可求得答案.【详解】因为成等比数列，所以，由于数列的通项公式为:，故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为，所以，所以(舍去负值)，所以(舍去负值)，故答案为：613．/【分析】由，结合两角和的余弦公式化简条件可求得，再利用二倍角的余弦公式求即可.【详解】因为，所以，所以，所以所以.故答案为：14．959【分析】设连续的三项的二项式系数为，利用等差中项得，求出，利用为正整数对根进行分析可得答案.【详解】设连续的三项的二项式系数为，，由得，解得①，因为为正整数，所以应为奇完全平方数，设，可得，代入①，解得，或，所以三位整数的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据连续的三项的二项式系数成等差数列求出，对其中为奇完全平方数进行分析求出.15．(1)不能(2)分布列见解析，【分析】（1）根据列联表计算得出的值即可得出结论；（2）易知的所有取值可能为0，1，2，分别计算出对应概率可得分布列及其期望值.【详解】（1）零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.根据列联表中的数据，可以求得.根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.（2）由题意可知，的取值可能为.则.所以的分布列为012所以的期望为.16．(1)极小值为，无极大值.(2)答案见解析【分析】（1）求导，确定函数单调区间即可求解；（2）求导，通过，，，讨论即可.【详解】（1）当时，，由，得；由，得.所以在上单调递减，在上单调递增.故的极小值为，无极大值.（2）当时，由，得；由，得，此时，在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得；由，得或，此时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，对任意的恒成立，此时，在上单调递增；当时，由，得；由，得或，此时，在上单调递减，在和上单调递增.综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.17．(1)(2)【分析】（1）运平面知识按步骤作出截面，用相似图形性质球边长，再求周长即可；（2）先证明，当T为线段中点时，平面平面，再借助空间向量法，计算平面法向量，最后借助向量夹角公式计算即可.【详解】（1）如图，步骤1：延长DA，CE交于点P，连接PF交于点G，连接GE；步骤2：延长GF，交于点Q，连接交于点H，连接FH，则多边形CEGFH即为所求截面，

由E为AB中点，可得A为DP中点，从而与相似，所以，又F为中点，从而与全等．又与相似，所以，所以，，，，，故所求截面多边形的周长为．（2）当T为线段中点时，平面平面，理由如下：易得，，，故，所以．又，故．取CD中点M，连接，TM，EM．

因为E，M分别为AB，CD中点，故，所以E，F，，M四点共面，易知四边形为正方形，故．又平面，平面，故，而，故平面．因为平面，所以．又，所以平面，而平面CEF，故平面平面．以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，．

设平面TCF的法向量，则，可取．又，，设平面CEF的法向量，则，可取．则．故平面TCF与平面CEF夹角的余弦值为．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意求椭圆方程，设直线，联立方程结合韦达定理分析证明；（2）设直线与直线的交点分别为，可得，结合韦达定理求得的最小值为，即可得结果.【详解】（1）根据题意，蒙日圆的半径为，所以.因为，可知，则，所以椭圆的标准方程为，因为直线过点，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，可设直线，联立方程，消去可得，由根与系数的关系可得：因为，可得直线，直线，所以即，解得，所以直线的交点在直线上.（2）设直线与直线的交点分别为，则由（1）可知：直线，直线.联立方程和，解得因为，又因为点到直线的距离，可得，只需求的最小值.由弦长公式可得令，则.可得，当且仅当，即时等号成立.即的最小值为，可得面积的最小值为.故直线围成的三角形面积的最小值为.

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．19．(1)(2)(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得；（2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为；（3）法一：求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即；法二：过分别作准线的垂线，连接，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明.【详解】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，.（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，无解.将整理成关于的一元二次方程，即.若该方程无解，则，即.证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为，于是可以得到在点处的切线方程为：，即.今直线族中，则直线为，所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，而对任意都是抛物线在点处的切线.所以直