关于多项式除以多项式

关于多项式除以多项式

两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降箱排列，然后再仿照两个多位数相除得计算方法，用竖

式进行计算.例如，我们来计算(7x+2+6x2)X2x+I),仿照672+21,计算如下：

•••f7x+2+6x2)+(2x+gx+2.

由上而得计算可知计算步骤大体就是，先用除式得第一项2x去除被除式得第一项

6x2,得商式得第一项3x,然后用3x去乘除式，把积6x2+3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这

个积，得4x+2,再把4x+2当作新得被除式，按照上面得方法继续计算，直到得出余式为止.上式得计算结果,余式等

于0.如果一个多项式除以另一个多项式得余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式

能整除破除式.

整式除法也有不能整除得情况.按照某个字母降耗排列得整式除法,当余式不就是0而次数低于除式得次数时,

除法计党就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式.例如，计算：(9x2+2x3+5户(4x—3+x2).

解：

所以商式为2x+1,余式为2x+8.

与数得带余除法类似，上面得计算结果有下面得关系：

9x2+2x3+5=(4x-3+x2)Qx+l)+(2x+8).

这里应当注意，按照x得降耗排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位,当然，也可用补0得办法补足缺项.

当除式、被除式都按降基排列时，各项得位置就可以表示所含字母得次数.因此，计算时，只须写出系数,算出结果后,

再把字母与相应得指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按照分离系数法上面例题得计算过程如下：

于■就是得到

商式=2x+1,余式=2x+8.

对于多项式得乘法也可用分离系数法进行计算，例如,(2*3—5*—4)(3*2—7、+8)按分离系数法计算如下：

所以,

(2x3-5x-4)(3x2-7x+8)

=6x5—14x4+x3+23x2—12x—32.

如果您有兴趣，作为练习，可用上面得方法计算下面各题.

1.(6x3+x2-1)+(2x—1).

2.(2x3+3x-4)+(x-3).

3.(x3-2x2-5)(x-2x2-l).

4.(x+y)(x2—xy+y2).

【本讲教育信息】

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关于多项式除以多项式

一、教学内容：

单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式

二、重点、难点

整式得除法与我们以前所学得整式得加法、减法、乘法有很多不同，特别就是多项式除以多项式，虽然就是选

学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂得因式分解都有很大得用处。

【典型例题】

［例1］化简求值：

，其中,

解：

当，时

原式

［例2］

A、B、C、D、以上都不对

解析:解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了，所以所求代数式得系数为2而最后

一项为1,所以所求代数式为。但这就是一道选择题可以用代入法把A、B、C四个答案代入试试彳艮快发现也就

是Ao

说明:同学们在做选择题时应选用较为灵活得方法。

［例3］化简

解:原式

［例4］计算

我们仿瑕小学学习得多位数除以多位数得法则建立多项式除以多项式得法则

所以

规则:

1、先把除式与被除式按降耗排列，如果除式与被除式中有缺项,缺项得位置补0。

2、用被除式得第一项除以除式得第一项,得商式得第一项再用这个商式去乘以除式，再把积写在被除式下面(同

类项对齐)，从被除式中减去这个积再把差当作新得被除式，按照上面得方法维续计算，直到得出余式为止。

［例5］计算

此题已把除式与被除式按降耗排列好了先用被除式得苜项除以除式得首项得商式苜项,再用乘以得把它写在

被除式下面同类项对齐作减法得(),再把作为新得被除式，用除以得再用乘以得写在下面作减法得0除完。

［例6］

在用多项式除以多顶式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做,则同类

项不能对齐。所以应该在缺项得地方补0。

现在新得问题出来了，再用除以会得负指数,这就是不行得，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以多位数把

叫做余式。

所以

说明:如果多项式除以多项式有除不尽得情况，那么写成被除式=除式、商式+余式

余式得定义:当在做多项式除以多项式得除法时，如果新得被除式得最高次项小于除式得最高次项，则这个新

得被除式;为余式。

［例7］巳知多项式能被整除求值。

解：

V多项式能被整除

・•・余式・••

［例8］已知能被整除，求得值。

解：

•・•能被整除

••••••

［例9］已知求得值

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关于多项式除以多项式

分析:设法把用含有得代数式表示

说明:在这里我们用除以，有些同学存在困惑怎能做除数，这里作除法就是寻找两个多项式之间得关系,并不就

是除0这一点，同学们要好好体会。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1、计算①

②

2、计算①

②

③

3、计算

4、已知多项式能被整除且商式就是，求得值。

5、如果能被整除，求得值。

6、已知，求

7、曲定a得值使多项式能被除余数为1。

8、求除以得商式与余数

9、己知多项式可被与整除，求、得值及此式得因式。

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关于多项式除以多项式

用2x2+7x+6除8x+mx+17x+n得：

n—3(m—28)=0

又m=26

解得n=-6,故i§(A)

()若(x+2)与(2x+3)都就是8K+mx+17x+n得因式，用Jm=?

S.(A)26(B)-26(C)30(D)-30

《答案》A

^解：(x+2)(2x+3)=2x2+7x+6

用2x2+7x+6除8x+mx+17x+n得：

-7-(m-28)=0

解上式得:m=26,故逗(A)

()若不就是2x-l得倍式，刖下列哪一他不可能就是a得值？

6.(A)-3(B)-l(C)l(D)3

《答案》A

辞解:用2x-l去除得绘式卷a+3

因^不就是2x-l得倍式

所以绘式a+3不可能卷0

即a值不可能卷一3

故iS(A)

二、填充：

X.已知x+2典4x+l都就是8x-2x-41X-10得因式月|J因式分解8x一

2x—41x—10=o

《答案》(x+2)(4x+l)(2x-5)

^解:(x+2)(4x+l)=4x2+9x+2

用4x2+9x+2除8x-2x-41x-IO

得商式卷2x—5

所以8x-2x-41x-10=(x+2)(4x+l)(2x-5)

如圃,翊搴做了一偃1多I真式直式除法，赞现多项式2x—3就是多二鼻式4x+ax+9x+b得因

式，其中部分保敷以a、b、c、d、e、f表示以I」:

(l)a=,b=,

c=,d=,

e=,f=o

2.(2)4x+ax+9x+b得另一他因式卷。

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关于多项式除以多项式

《答案》(1)—8,—9,—1,-2,3,0

(2)2x-x+3

辞解:(1)由直式除法可知:

2c=—2,c=—I

c=-3c=3

d+2=0,d=-2

f=0(整除,绘式卷0)

b-9=0.b=9

(2)2x2+ex+3=2x2—x+3就是4x+ax+9x+b得因武

3.若x—3x+m^5x—9x+nx—12得因式，用Jm=,n

《答案》-2,-28

解:用x—3x+m除5x—9x+nx—12

得:(n—5m)+18=0,—12—6m=0

解得:m=—2,n=-28

己知x+x+1x+k得因式盘ij：

(l)k=。

4.(2)因式分解x+k。

《答案》(1)—1(2)(x+x+l)(x—1)

辞解：(1)用x+x+1除x+k

得:k+l=0,故k=-l

(2)用x+x+l除x+k得到得商式悬x-l

所以x+k=x—l=(x—1)(x+x+l)

若x—1典x—2皆卷x—6x+kx—6得因式，印」：

(l)k=。

S.(2)因式分解x—6x+kx—6=o

《答案》(1)11(2)(x-l)(x-2)(x-3)

^解：(l)(x—l)(x—2)=x2—3x+2

用x2—3x+2除x—6x+kx—6

得仆一2)—9=0

解得:k=ll

(2)用x2—3x+2除x—6xH-kx—6

得商式卷:x—3

所以x—6x+kx—6=(x—l)(x—2)(x—3)

6.已知x—x+x—1有因式x+1,用J因式分解x—x+x—1=

《答案》(x+1)(X—1)

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关于多项式除以多项式

辞解:用x+0x+1(缺I直衲0)除x—x+x—1

得商式卷:x—1

故X—X+x—1=(x+l)(x—1)

若x+mx+nx+10卷x—2典x+5得倍式，理J:

(l)(m,n)=。

7.(2)x+mx+nx+10得因式分解卷。

《答案》(1)(2,-13)(2)(x-2)(x+5)(x-l)

辞解:(l)(x-2)(x+5)-x2+3x-10

用x2+3x—10除x+mx+nx+10

得:(n+10)-3(m-3)=0

10-l0(in-3)=0

解得:m=2,n=-13

故(m,n)=(2,—13)

⑵用x2+3x—10除x+2x—13x+10

得商式悬x-l

所以x+2x-13x+10=(x2+3x-10)(x-1)

=(x-2)(x+5)(x-l)

8.已知3x-llx+27x-14就是x—3x+7得倍式用因式分解3x—llx+

27x-14=o

《答案》(x-3x+7)(3x-2)

辞解:用x—3x+7除3x-llx+27x-14

得商式B：3x—2

即3x-llx+27x-14=)(x-3x+7)(3x~2

mx+1就是4x+mx-6得因式期:

(l)m=。

(2)x—2就是否卷4x+mx—6得因式？答：。

4.(3)因式分解4x+mx—6=o

《答案》(1)—13(2)就是

(3)(2x+l)(x-2)(2x+3)

辞解：(1)用2x+l除4x+0x2+mx—6(缺J真襁0)

得:-6一(m+l)=()

解得:m=-13

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关于多项式除以多项式

(2)用x-2除4x+0x2—13x-6(缺JR襁0)

得商式卷4x2+8x+3,除式卷0,整除

故)x—2就是4x+mx—6得国式

(3)由(2)知:

4x—13x—6=(x—2)(4x2+8x+3)

用2x+l1^4x24-8x4-3

得商式卷2x+3,除式卷0

即4x2+8x+3=(2x+1)(2x+3)

故4x—13x-6=(2x+l)(x-2)(2x+3)

20.若x—x—1就是多J真式2x—5x—ax+3得因式FUa=。

《答案》一1

辞解:用x—x—1除2x—5x—ax+3

得(一a+2)—3=0

故a=—]

工工1及2x—3都就是6x+ax—13x+b得因式，见J2a+b=。

《答案》一2

洋解:(x+l)(2x-3)=2x2-x-3

用2x2—x—3除6x+ax—13x+b

得：-4+(a+3)=0、b+(a+3)=0

解得:a=5,b=-12

故2a+b=2x5+(—12)=-2

若多^式(x—2)(x+2x+4x+8)有因式x+4,即此多I直式可因式分解卷《答案》(x

-2)(x+4)(x+2)

用x+0x+4(缺项衲0)除x+2x+4x+8

得商式悬:x+2

所以x+2x+4x+8=(x+4)(x+2)

22.故(x—2)(x+2x+4x+8=(x—2)(x+4)(x+2)

若x+ax—3x+bAx+2x+l得倍式，印J:

13.(l)a=o(2)b=o

《答案》(1)0(2)-2

辞解:用x+2x+l除x+ax—3x+b

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关于多项式除以多项式

得:_4_2(a_2)=0,b_(a_2)=0

解得:a=O,b=—2

14.欲使x—3x+l卷x—4得倍式，肉」必须在x—3x+l中加上常数k酣Jk=

0

《答案》一5

群解:用x—4除x—3x+l+k

得绘式卷:k+5

因卷x—3x+1x—4得倍式

所以k+5=0

故k=-5

三、H•算：

若x—2x+b3x—2x+ax+12得因式,fU：

(l)a、b得值分另璃何?

(2)因式分解3x—2x4-ax4-12=?

《答案》(l)a=l,b=3

(2)(x-2x+3)(3x十4)

辞解:

(1)因卷x—2x+b3x—2.K+ax+12得因式

所以x—2x+b可以整除3x-2x+ax+12

即(a-3b)-(-8)=0

a-3b=-8...(1)

12-4b=0b=3……(2)

符(2)式代入(l)式中，解出a=l

(2)由上面得除法可知

(3x-2x+ax+12)+(x-2x+b)=3x+4

也就就是吉兑3x—2x+ax+12可以因式分解卷(x—2x+3)(3x+4)

若2x—3x+b就是2x—7x+ax+2得因式，印」：

(l)a、b之值分别悬何？

(2)承上题因式分解2x—7K+ax+2。

《答案》(l)a=5,b=-l

(2)(2x—3x—l)(x—2)

辞解:(1)

*.,2x—3x+b就是2x—7x+ax+2得因式

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关于多项式除以多项式

.,.2x—3x+b能整除2x—7x+ax+2

RO

(2)V2x—7x+ax+2=(2x—3x+b)(x—