二次函数与几何图形综合题的解决策略-初中-数学-论文

二次函数与几何图形综合题的解决策略马永福南郑区城关一中在初中数学学习中，函数与几何图形构成了初中数学的两大模块，这两大模块的学习为学生进一步发展构筑了必须的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。以二次函数和几何图形为基本框架搭建的综合学习问题，既是初中学生学习的重点和难点内容，也是初中与高中的重要的衔接点，而且又是学习高中解析几何的基础。对于初中学生来说，以二次函数与几何图形结合的综合问题比比皆是，此类考题大多以二次函数为载体与初中常见图形（如三角形、四边形、圆等）的结合，或以几何图形为载体与初中常见函数的结合，将图形的全等、平移、翻折、旋转等几何变换融为一体，具有较强的综合性和较大难度。但是当今许多初中学生对这一体系框架并不熟悉，只是浮在表面，遇到此类问题，缺乏思路，望而生畏。针对这一困难，笔者通过多年的研究，感觉可以从一些解题规律上进行探究，现举例如下：例1.如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。【答案】(1)m=2,(1,4)；(2)（1,2）.【解析】分析：（1）把点B点坐标（3，0）代入，解方程即可得m的值，求出m的值后把抛物线化为顶点式即可得抛物线的顶点坐标；（2）连接BC交抛物线的对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，利用待定系数法求得直线BC的解析式，再求点P的坐标即可。试题解析：（1）把点B点坐标（3，0）代入得：，解得m=2,(2)连接BC交抛物线的对称轴l于点P，此时PA+PC的值最小，设Q是直线l上任意一点，连结AQ,CQ,BQ,∵直线L垂直平分AB，∴AQ=BQ,AP=BP,∴AQ+CQ=BQ+CQ≥BC，BC=BP+CP=AP+CP，即AQ+CQ≥AP+CP设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），把（3,0），（0,3）代入得，，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2.答：当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1,2）.例2.如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），点C坐标（0，2）；（2）；（3）M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【解析】分析：（1）分别令y=0,x=0,解方程后即可得点A，B,C点坐标；（2）分AB为平行四边形点边和对角线两种情况求解即可；（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题.解：（1）令y=0得∴点A点坐标为（2，0），点B点坐标为（-4，0）.（2）当AB为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．当AB为平行四边形的对角线时，点F为抛物线的顶点，即F（-1，），所以点E的坐标为（-1，-），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=.（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．例3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．【答案】(1)y=﹣x2+x+5；(2)0＜n＜3；(3)PC的长为7或17．【解析】分析：（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式即可；（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n,1）,再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；（3）当点P在y轴负半轴上和在y轴正半轴上两种情况，根据这两种情况分别求得PC的长即可。解：（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+5；（2）∵，∴抛物线顶点坐标为（1，），∴当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移个单位长度，再向右平移n(n>0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M的坐标为（1+n,1），设直线BC的解析式为y=kx+m,把B、C两点坐标代入可得解得，∴直线BC的解析式为y=-x+5,令y=1,代入得1=-x+5,解得x=4,∵新抛物线的顶点M在△ABC内，∴1+n<4且n>0,解得0<n<3,即n的取值范围为0<n<3.（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，由题意可知OB=OC=5，∴∠CBA=45°，∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，∴AD=PD，在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，设PD=AD=m，则CD=AC+AD=+m，∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，∴△COA∽△CDP，∴，即，解得m=，PC=17；可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，则∠OP′A=∠OPA，∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，综上可知PC的长为7或17．从以上例题的解答，不难看出，解决几何图形与二次函数综合问题还是有规律可循，规律如下：一、用好已有条件，适当选取一定方式利用待定系数法求出抛物线的解析式是解决二次函数综合题的前提；二、充分挖掘条件，画出尽可能准确的图形，使数与形完美结合，提升解题的直观性，降低解题难度，抓住关键条件，捕获解决难题的突