正方形课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

19.3.3正方形第

十

九

章

四

边

形01会应用正方形的性质和判定解决相关证明及计算问题.02探索并证明正方形的性质和判定.03理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.

观察下列生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．

正方形是我们熟悉的图形，回忆下小学学过的正方形，它有什么性质？问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？矩形一组邻边相等正方形菱形正方形一个角是直角符号语言：∵平行四边形ABCD中，

AB=BC，∠A=90〫，∴四边形ABCD是正方形.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.ABDC平行四边形正方形有一组邻边相等有一个角是直角正方形的概念：探究1正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.从正方形的边、角、对角线和对称性出发，试写出正方形的性质，并对其进行证明.正方形性质边角对角线对称性对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.是轴对称图形，有4条对称轴已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°，AB=BC（正方形的定义）.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义），正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.猜想1：正方形的四个角都是直角,四条边相等.已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.猜想2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.猜想3：正方形是轴对称图形.活动证明：将一张正方形的纸对折、再对折、再对折，然后打开，观察虚线.①②③

容易发现，正方形是轴对称图形，共有四条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线，过对边中点的两条直线.④思考

正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学交流讨论.平行四边形、梯形是特殊的四边形，矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形、菱形.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形．a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角．顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c．则正确的添加顺序是(

)A．仅①

B．①②

C．①③ D．②③C探究2

准备一张矩形的纸片，按照下图方式折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.正方形猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO.又∵AC⊥DB，∴AB=BC.∴四边形ABCD是正方形.探究3把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看看是不是正方形.猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形菱形一个角是直角对角线相等正方形已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，∴四边形ABCD是正方形.猜想：对角线相等的菱形是正方形.ABCDO正方形判定的几条途径：先判定菱形先判定矩形平行四边形正方形①一组邻边相等且有一个直角②对角线相等且垂直正方形①有一个直角；②对角线相等矩形条件(二选一)正方形①一组邻边相等；②对角线垂直菱形条件(二选一)++

例1

如图，已知点

A'，B'，C'，D'

分别是正方形

ABCD

四条边上的点，并且

AA'＝BB'＝CC'＝DD'.求证：四边形

A'B'C'D'

是正方形.123同理:A'B'=B'C'，B'C’=C'D',C'D'=D'A'.∴A'B'=B'C'=C'D'=D'A'.∴四边形

A'B'C'D'是菱形.∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠D'A'B'=90°.∴四边形

A'B'C'D'是正方形.123

A

C3.如图是用尺规过点P作直线l的垂线的两种方法，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是(

)A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形C4.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，∠BCD＝∠DCE＝90°．∴∠ACB＝45°．∵CE＝AC，∠CAE＋∠E＝∠ACB，∴∠E＝22.5°，∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°．ABDCEF5.如图，点E在正方形ABCD的边BC上,∠AEF=90°且AE=EF,过点F作FM⊥BC，垂足为M．（1）求证：BE=CM；

（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.求证：四边形AEFN是正方形.

正方形性质有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.定义正方形的四个角都是直角,四条边相等.正方形的