九年级数学下册 第1章 解直角三角形 单元检测卷 浙教版

九年级数学下册第1章解直角三角形单元检测卷浙教版一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．sin60°A．12 B．32 C．222．已知α是锐角，cosα=A．30° B．45° C．60° D．75°3．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正切值是（）A．43 B．34 C．354．如果把锐角△ABC的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（）A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的1C．没有改变 D．无法判断是否发生改变5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（）A．203km B．(103+20)km C．6．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，圆心为O，半径为3．点I、D、E、F、G、H，分别是边AB,BC,AC的三等分点，连接A．32 B．3 C．23 7．如图，在△ABC中，AB=82,BC=14,∠B=45°，D是线段BC上的动点（不含端点B、CA．3个 B．4个 C．5个 D．6个8．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，点A、B、C、D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APCA．32 B．3 C．36 9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD边的中点，把△ADE沿AE折叠得到△AFE（点D的对应点为点F），则sin∠CEF的值为（）A．34 B．35 C．4510．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是直角三角形，A(4,0)，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点B在y轴正半轴，等边△OCD的顶点D(−4,0)，点C在第二象限，将△OCD沿x轴向右平移，得到△O'C'D'，点O，C，D的对应点分别为O'，CA． B．C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．sin45°=12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=3，那么sin∠EOD=.13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，当点D恰好落在射线AB上时，AD的长为．14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则tan∠ABC的值为．15．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点，点E为射线BC上一点，连接OE，将OE绕点O顺时针方向旋转90°，得到OF交BC于点M．若AB=65，OE=15，则BM的长为16．如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=8cm，BC=3cm，tanA=34，动点Q从点D开始沿DA的方向向点A匀速运动，运动速度为1cm/s，动点P从点A开始沿AB的方向向点B匀速运动，运动速度为2cm/s．点P⑴当PQ∥BD时，t的值为；⑵当PQ⊥BD时，t的值为；三、解答题（共7小题，共72分）17．计算：sin18．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60∘，然后向后走160米（BC=160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为19．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点，点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知CD=603cm，OF=30cm，（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH．（1）求证：AH⋅AB=AC⋅BC；（2）求sinB21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，sinC=45．动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB（1）BC=；（2）求MN的长；（用含t的代数式表示）（3）取PC的中点Q，连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ∥PN时，求MN的长．22．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2=AD⋅BD；②AC（1）请证明“射影定理”中的结论②AC（2）【结论运用】如图2，等腰直角△ABC的腰长为12，点O是斜边AC的中点，点E在AB上，连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为F，连接OF．①求证：△COF∽△CEA．②若BE=4，求OF的长．23．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6,0)，点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°，（1）填空：如图①，点B的坐标为，点C的坐标为；（2）将△BCO沿x轴向右平移得到△B'C①如图②，设OO'=t，△B'C'O'与△ABO②连接AB'、OC'

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：sin60°=故选：B．【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵cos45°=22∴α=45°，故选：B．【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∴tanA=故选：A．【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根据正切的定义求解即可得.4．【答案】C【解析】【解答】解：解：如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值，即邻边与斜边的比值不变，

故选：C.【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，∵∠ABC=90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF=BC=15km，CF=BE，由题意得：∠DCF=60°，∴DF=sin60°×CD=3∴DE=DF+EF=(53由题意得，∠ADE=90°−60°=30°，∴AE=DE⋅tan∴AB=AE+BE=53故选：C．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，即可得到四边形BCFE是矩形，然后根据解直角三角形求出DF和BE长，然后再根据正切求出AE，根据线段的和差解答即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AC于点M，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，圆心为O，半径为3，∴∠OAM=30°，AM=CM=12AC，OA=3∴AM=OA·cos∴AC=33∴AB=BC=AC=33∵点I、D、E、F、G、H，分别是边AB,∴AIAB∴AI=BD=1∴IDAB=AB−AI−BD同理得HG=1∵∠A=∠A，∴△AIH∽△ABC，∴IHBC∴IH=3同理可得DE=3∴六边形DEFGHI是正六边形，且边长为3．故选：B．【分析】过点O作OM⟂AC于点M，根据⊙O是等边△ABC的外接圆，圆心为O，可得∠OAM=30∘,AM=CM=12AC,解直角三角形求出AM=332,得到AC=33,进而得到.AB=AC=BC=33根据点I、D、E、F、G、H，分别是边AB，BC，AC的三等分点，求出.ID=7．【答案】C【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC，如图：∵∠B=45°，∠AEB=90°，∴∠B=∠EAB=45°，∴AE=BE，在Rt△AEB中，AE∴2AE解得：AE=BE=8，∴EC=BC−BE=14−8=6，∴AC=A∴8≤AD<82∵线段AD长为正整数，∴AD为8或9或10或11，共4个数；当AD为8时，点D与E重合，只有一条线段；当AD为9时，可在E点的左右两边，有两条线段；当AD为10时，在E点的左边，只有一条线段；当AD为11时，在E点的左边，只有一条线段；∴一共有5条线段；故选：C．【分析】过点A作AE⟂BC,求出AD的取值范围即可解答.8．【答案】D【解析】【解答】解：连接DE，CE，过点C作CH⊥EA于点H，如图所示：∴∠H=90°，∴△CHF和△CHE都是直角三角形，设网格中的小菱形的边长为1，∵每个小菱形的一个内角为60°，∴∠M=60°，ME=MD=2，EF=CF=4，CF//BM，MA=MB=4，∴△MDE，△MAB都是等边三角形，∠CFH=∠M=60°，∴DE=ME=2，∠MED=∠MAB=60°，∴DE∥AB，∴∠APC=∠EDC，在Rt△CHF中，∠CFH=60°，

∵sin∠CFH=CHCF,cos∠CFH=由勾股定理得：CE=在△FCE中，EF=CF=4，∴∠FEC=∠FCE，∵∠CFH是△FCE的外角，∴∠CFH=∠FEC+∠FCE=2∠FEC，∴∠FEC=∴∠DEC=180°-(∠MED+∠FEC)=180°-(60°+30°)=90°，∴△DEC是等腰直角三角形，在Rt△DEC中，tan∠EDC=CE∵∠APC=∠EDC，∴故选：D.【分析】连接DE，CE，过点C作CH⟂EA于点H，设网格中的小菱形的边长为1，依题意得DE‖AB,则∠APC=∠EDC,解.Rt△CHF得CH=23,CF=2，在Rt△CHE中，由勾股定理得CE=43，证明∠DEC=90∘得△DEC是等腰直角三角形，然后在Rt△DEC9．【答案】C【解析】【解答】解：过点F作MN∥BC，分别交AB,CD于点∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°∵E是CD边的中点，把△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴AF=2∴∠AFN+∠EFM=90°∵MN∥BC∴∠ANF=∠EMF=90°∴四边形BCMN是矩形，∴MN=BC=2∴∠AFN+∠FAN=90°∴∠EFM=∠FAN∴△ANF∽△FME∴设MF=x，则FN=2−x，∴AN∴AN=2x，在Rt△ANF中，AN2+NF2∴ME=∴sin故选：C．【分析】过点F作直线MN⊥CD于点M，交AB于点N，证明四边形BCMN是矩形得MN=BC=2，∠FMC=∠FME=90°，由折叠性质得EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=2，证明△ANF和△FME相似得FMAN=EF10．【答案】B【解析】【解答】解：①当0<x≤2时，△O'C'D由平移得：∠C∴OM=OO∴S=S图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；②当2<x≤4时，△O'C'D由平移得：O'D'=OD=4，∵∠ABO=30°，∴∠BAO=60°=∠C∴O在Rt△D'OM∴S=S图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；③当4<x≤8时，△O'C'D则AD'=8−x∴△AD'N是等边三角形，作NQ⊥OA∴AQ=D∴NQ=AQ⋅tanS=S图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意；故选：B．【分析】分为0<x≤2，2<x≤4，4<x≤8三种情况画图，得到重合部分的形状，然后根据解直角三角形求出重合部分面积与x的关系，然后逐项判断函数图象解答即可.11．【答案】2【解析】【解答】解：sin45°=故答案为：22【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案.12．【答案】1【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4，∴∠AOD=90°，AO=1∵E为AD的中点，OE=3，∴OE=1∴∠EOD=∠EDO，AD=2×3=6，在Rt△AOD中，sin∠EOD=sin∠EDO=AO故答案为：13【分析】先由四边形ABCD是菱形，得∠AOD=90∘,AO=12AC=2,再结合E为AD的中点，得∠EOD13．【答案】6【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,∴AB=2BC=4，AC=A过点C作CH⊥AB于H，在Rt△BCH中，∠B=60°，∴BH=BC⋅cos60°=2×1由旋转性质，得CD=CA=23，在Rt△CDHDH=C∴BD=DH−BH=3−1=2，∴AD=AB+BD=4+2=6．故答案为：6．【分析】先在Rt△ABC中，利用“30°角所对直角边为斜边的一半”得AB=4，再由勾股定理得.AC=23;作CH⊥AB，在Rt△BCH中，结合∠B=60°，得BH=1、CH=314．【答案】1【解析】【解答】解：如图1，连接GH，由七巧板可知，HE=FG=EF，HE∥FG，∠HEF=90°，∴四边形HEFG是平行四边形，∵∠HEF=90°，∴平行四边形HEFG是矩形，∵FG=EF，∴矩形HEFG是正方形，∴∠HGF=90°，HG=EF，如图2，连接AB、AD，则∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，由七巧板可知，BI=DI，则BI=DI=AD，∴tan∠ABC=AD故答案为：12【分析】在图1中连接GH，证明四边形HEFG是正方形，得到∠HGF=90∘,HG=EF,15．【答案】3【解析】【解答】解：作OH⊥BC于点H，∵正方形ABCD，∴AB⊥BC，AB=BC=65∴OH∥AB，∴△COH∽△CAB，∴COAC∵点O为对角线AC的中点，∴COAC∴OH=12AB=3∴BH=35，sin∵将OE绕点O顺时针方向旋转90°，∴∠EOF=90°，∴∠OEH=∠MOH=90°−∠EOH，∴sin∠MOH=设MH=5x，则在Rt△OHM中，由勾股定理，得(5x)2∴MH=3∴BM=BH−MH=3故答案为：35【分析】作OH⊥BC于点H，根据正方形的性质得到△COH∽△CAB，根据对应边成比例得到OH=12AB=35，CH=116．【答案】209；35【解析】【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，∵CB⊥AB，AB∥DC，∴四边形DEBC是矩形，DE=BC=3，∵tanA=∴AE=4，∴AD=D当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，∴AQAD即5−t5=2t故答案为：209（2）过Q作QM⊥AB于M，∵∠A=∠A，∠AMQ=∠AED=90°，∴△AQM∽△ADE，∴QMAQ其中AQ=AD−DQ=5−t,即QM=35∵AP=2t，∴PM=AM−AP=∵PQ⊥BD，∴∠QPM+∠ABD=90°，又∠ABD+∠BDE=90°，∴∠QPM=∠BDE，∴tan在Rt△QMP中，tan∠QPM=即35化简得9(解得t=35故答案为：3547【分析】(1)先求AD长度，当PQ‖BD时，得到△APQ∽△ABD，根据对应边成比例解答即可；(2)作QM⟂AB构造Rt△QMP,证明△AQM∽△ADE，即可得到QM=35(5−t)17．【答案】解：原式=(=1=1−3【解析】【分析】分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并解答.18．【答案】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∠ABD=60°，∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABD−∠ACD=30°，∵∠BAC=∠ACD=30°，∴AB=BC=160米，在Rt△ABD中，AD=AB⋅sin∴该主塔的高度是803【解析】【分析】过点A作AD⟂CB,垂足为D，先根据三角形的外角性质可得∠BAC=∠ACD=30∘,19．【答案】（1）解：连接OD，如图所示：∵CD∥AB，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴FD=1∵OF=30cm，∴OD=O（2）解：由（1）可知：OM=60cm，∵ME=20cm．∴OE=OM+ME=80cm，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=∠OBA=60°,∴OB=OE∴S△AOB∵S扇形AOB∴阴影部分的面积=【解析】【分析】(1)连接OD，先证明OE⟂CD,再由垂径定理得到DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理得到OD，即可得解；

(2)由OE=OM+ME=80，求出等边三角形OAB的边长，再分别求出SOAB，S扇形POQ20．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD=CD，∴∠CAB=∠ACH，∵AE⊥CD，∴∠ACB=∠AHC=90°，∴△ABC∽△CAH，∴AHBC∴AH⋅AB=AC⋅BC；（2）解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠B=∠BCD=∠CAH，∵AH=2CH，由勾股定理得AC=A∴CH:∴sinB=【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AD=CD，由等腰三角形的性质得到∠CAB=∠ACH，于是得到△ACH∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；

(2)根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH:AC=1:521．【答案】（1）6（2）解：如图，过点B作BD⊥AC交AC于点D，∵BC=6，∠ABC=90°，AC=10，AB=8，∴BD=AB×BC∴CD=B∵点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动，∴点P从点C出发运动到点D的时间t=185÷3=65∵cos∠C=∴CM=5t，当0<t<65时，当65<t≤10（3）解：如图，此时0<t<6当MQ∥PN时，CMMN∵CQ=PQ，∴CM=MN，∴5t=12−10t，解得t=4此时MN=12−10×4【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∵sin∴AB=8，∴BC=A故答案为：6；【分析】（1）根据正弦的定义求出AB长，然后根据勾股定理求出BC长；

（2）过点B作BD⊥AC交AC于点D，根据面积法求出BD长，即可求出CD长，然后分为0<t<65和6522．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC∴AC（2）解：①证明：∵AB=AC，O是AC的中点，∴OB⊥AC，∵∠ABC=90°，BF⊥CE，∴由射影定理得：BC∴CF∵∠ACE=∠OCF，∴△COF∽△CEA；②解：∵BE=4，AB=BC=12，∠ABC=90°，∴CE=B∵O是AC的中点，∴OC=6，由①得：△COF∽△CEA，∴∴OF∴OF=12（3）如图3，在△ABC中，已知∠BAC=90°，过点A作AD⊥DE，交BC于点D，此时∠BAD=2∠C，若BAAC=1n，请直接写出解：DEAD【解析】【解答】解：（3）如图，作AF⊥BC于F，作EG⊥BC于G，∴∠AFD=∠EGD=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，∵AD⊥DE，∴∠ADE=90°，∴∠ADF+∠EDG=90°，∴∠