八年级数学下册 第八章 四边形 单元测试卷 苏科版

八年级数学下册第八章四边形单元测试卷苏科版一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BCC．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC2．阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如下图。解决问题：设两个共点的合力为F，现保持两力的夹角θ（0°<θ<90°）不变，使得其中一个力增大，则（）A．合力F一定增大 B．合力F的大小可能不变C．合力F可能增大，也可能减小 D．合力F一定减小3．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要在对角线BD上找点E，F，分别连接AE，CE，CF，AF，使四边形AECF为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（）​​甲方案：只需要满足BF=DE；乙方案：只需要满足AE∥CF.A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确4．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=a，S△QOCA．a+b B．12c-a-b C．c-2a-b 5．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（）A．2cm B．8cm C．2或8cm D．不能确定6．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，AB=5，AD=8.然后向左扭动框架，得到新的四边形BCEF（点E在BC的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，则PQ的长为（）A．102 B．52 C．27．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（）A．26° B．52° C．128° D．154°8．如图，在平行四边形ABCD中，AG⊥BC于点G，E是AB的中点，F是GC的中点，已知AD=8,EF=25A．3 B．4 C．23 D．9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ABC=60°，AB=2BC,E是AB的中点，连接CE,OE．下列结论：①∠ACD=30°；②CE平分∠DCB；③CD=4OE；④S△COEA．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④10．如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6cm，BC=12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数是()A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-17题每小题4分，第18题8分，共30分）11．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AB=4,△OAB的周长比△OBC的周长小3，则BC的长为12．在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c的距离为．13．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、BD上，且DE=DF，连结BE，若BE平分∠AEF，则DE的长为．14．如图1是某种简易房屋，它由顶角为120°的等腰三角形和矩形组成，在整体运输时需用钢丝绳进行加固，示意图如图2所示。MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在EC上，点N在AB上，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持EM=BN。若DE=EC=BC=4米，则钢丝绳MN长度的最小值为米。嗨，你好！我是小数，对于此题，我是这样思考的：通过构造□MNBP，把MN转化为BP，从而把双动点问题转化为单动点问题，这样就很容易解决问题了。你试试看!15．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点B，C关于EF对称，点M在EF上，点N在AE上，且点A，M关于BN对称，BM的延长线交AD于点H，CM交BD于点G，则AHCG=16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE=3CD，∠DAE=∠DEA,EO=1，则菱形ABCD的面积为17．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC,BD相交于点O，点E，F分别在BC,CD的延长线上，且CE=2,DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为．18．科学实验器具盒的侧面构造如图所示，三条连杆EF，AB，CD连结了两个储物盒（即线段BH和ED）和底面（即AC所在直线），且AB=2EF=2CD=26cm,BH=ED=24cm．拉杆GE与EF的夹角始终等于60°．其中构成的四边形EFBO和AODC在盒子开启和关闭过程中保持为平行四边形．如图（1），盒子关闭时，CD靠在底座，点B和D所在直线与底面AC垂直，两个储物盒之间的距离为cm；如图（2），盒子完全打开后，拉杆GE与底面AC平行，则线段三、解答题（共8题，共90分）19．如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段AB的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，利用无刻度直尽作图，请完成下列各小题。（1）在图①中，以AB为边作一个菱形ABCD（不是正方形），其中点C，D为格点；（2）在图②中，以AB为边作正方形ABEF，其中点E，F为格点.20．如图，四边形ABCD中，E为边BC的中点，BD与AE交于O，BO＝DO，AO＝2EO．AC与BD交于F．

（1）求证：F是AC的中点．（2）求S△ACD：S△ABD的值．21．如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．（1）求证：四边形BDEC是菱形；（2）连接BE，若AB=6，AD=12，求BE的长．22．如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，满足DE∥BF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）如图2，连接EF，若AD=13，AE=14，DE=DF=15，求EF的长．23．如图1，□ABCD中，对角线BD的中垂线EF分别交AD，BD，BC于点E，O，F.图1图2（1）连结BE，DF，请判断四边形EBFD的形状，并说明理由：（2）若∠A=130°，∠OED=70°，连结DF，求∠CDF的度数：（3）如图2，连结AF交BD于点G，若S△ABG=6S△OGF，BF=4724．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．25．阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC、BD，∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC．（依据1）∵E,F分别为AB,BC的中点，∴EF∥AC．∴HG∥EF同理：HE∥GF∴四边形EFGH是平行四边形．（依据2）我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．任务：（1）填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形ABCD的对角线AC与BD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，且四边形ABCD的对角线AC与BD的夹角为60°，求瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数．26．【理解概念】定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．（1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．【巩固新知】（2）如图，折叠平行四边形DEBF，使得顶点E、F分别落在边BE、BF上的点A、C处，折痕为DG、DH．求证：四边形ABCD为三等角四边形．【拓展提高】（3）如图，在三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若AB＝5，AD=26

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；

B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；

C、∵AB//CD，AD//CB，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；

D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.故答案为：D.【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大。

如图所示，两力的夹角0(0°<θ<90°)不变，使得其中一个力F不变，F增大时，合力F也在增大，故A正确

故答案为：A【分析】已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大，两力的夹角0(0°<θ<90°)不变，使得其中一个力F不变，F增大时，合力F也在增大.3．【答案】C【解析】【解答】解：甲方案：在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD．

∵BF=DE，

∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．

∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．

在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，

∴四边形AECF为平行四边形．

故该方案符合题意．

乙方案：在▱ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．

∵AE∥CF，

∴∠EAO=∠FCO．

在△AOE与△COF中，

∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴AE=CF．

在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，

∴四边形AECF为平行四边形．

故该方案符合题意．

观察选项，选项C符合题意．

故答案为：C．

【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；

乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE4．【答案】B【解析】【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M，∵S△DEC=12DC·EM，S▱ABCD=DC·EM=c，

∴S△DEC=12c，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，

∴S△EFC=S△BCF，

∴S△EFQ=S△BCQ，

同理：S△EFD=S△ADF，

∴S△EFP=S△ADP，

∵S△APD=a，S△BQC=b.

【分析】利用平行四边形的性质和三角形面积公式来求解阴影部分的面积，通过连接E、F两点并作高，利用平行线性质和三角形面积相等的原理，推导出阴影部分的面积.5．【答案】C【解析】【解答】解：有两种情况，如图：

（1）直线a与c的距离是3厘米+5厘米=8厘米；（2）直线a与c的距离是5厘米−3厘米=2厘米；故答案为：C

【分析】本题考查平行线之间的距离．根据题意先画出图形（1）（2），根据图形进行计算可求出直线a与c的距离．6．【答案】A【解析】【解答】解：连接CF、CA、AF，

∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，

∴CF过点Q，CA过点P，

∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点，

∴PQ是△CAF的中位线，

∴PQ=12AF，

在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8，

∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90°，

由题意得，BC=EF，CE=BF，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∴EF∥BC，

∴∠BHF=∠AHF=90°，

∵扭动后四边形面积减少了8，

∴四边形BCEF的面积为40-8=32，

∴8BH=32，

∴BH=4，

∴AH=AB-BH=5-4=1，

∵BF=CE=AB=5，

∴由勾股定理得，FH=BF2−BH2=52−42=3，

在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF=AH2+F故答案为：A.【分析】连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=127．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠BCD=2∠BCA=52°，

∴∠ADC=180°-∠BCD=128°.故答案为：C.【分析】由菱形的对边平行得AD∥BC，根据菱形的每一条对角线平分一组对角得∠BCD=2∠BCA=52°，进而根据二直线平行，同旁内角互补可得∠ADC=180°-∠BCD，从而代值计算可得答案.8．【答案】B【解析】【解答】如图，连接对角线AC，取AC中点O，连接EO交AG于点H，连接OF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=8，

又∵点E和点F分别是AB与CG的中点，

∴OF=12AG，OF∥AG，OE=12BC=4，OE∥BC，

∴四边形FGHO是平行四边形，

又∵AG⊥BC，

∴四边形FGHO是矩形，

故∠FOH=90°，

在Rt△EOF中，

OF=EF29．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB=2BC，点E是AB的中点，∴AB=2BE.∵AB=2BC，∠ABC=60°，∴BC=BE，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=∠BCE=60°，AE=BE=CE，∴∠AEC=120°，∴∠ACE=∠CAE=30°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=2BC，∴∠ACD=∠CAE=30°，∠BCD=120°，∴CE是平分∠DCB．则①②正确；∵点E是AB的中点，点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴2OE=BC，∴CD=4OE．则③正确；∵点O是AC的中点，∴S△AOE∵点E是AB的中点，∴S△ACE∴S△ABC由平行四边形的性质得S四边形∴S四边形即S△COE则④不正确．所以正确的有①②③.故答案为：C.【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线性质等相关知识。

根据∠ABC=60°，AB=2BC,E是AB的中点，配合平行四边形对角线互相平分，即可得出OE为△ACB的中位线、AE=CE=BE=BC，得出CD=4OE；根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出△BCE是等边三角形，此时即可得出∠BCE、∠ACE、∠ACD的度数，即可得出CE平分∠DCB；最后根据平行四边的面积和中位线进行面积拆分，即可得出S△COE10．【答案】B【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，

根据题意，得点P从点A到达端点D的运动时间为12s，点Q从点C到达点B的运动时间为4秒，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，AB=6，BC=12，

∴∠D=∠B=60°，CD=AB=6，AD=BC=12，AD∥BC，AB∥CD，

①当0≤t≤4时，如图，过点Q作QE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，

∴∠QEF=∠PEQ=∠DFC=90°，

∴EQ∥FC，

∵EF∥QC，

∴四边形EQCF是平行四边形，

∵∠QEF=90°，

∴四边形EQCF是矩形，

∴EF=CQ，

根据题意，得CQ=EF=3t，AP=t，

∵PQ=CD，PD∥CQ，

∴四边形PQCD是等腰梯形，

∴∠D=∠EPQ=60°，

∴∠PQE=∠FCD=30°，

∴PE=12PQ=3，DF=12CD=3，

又∵AD=12，

∴t+3+3t+3=12，

解得：t=1.5，

如图，四边形PQCD是平行四边形，

∴AP=BQ，

∵CQ=3t，BC=12，

∴BQ=12-3t，

∴t=12-3t，

解得：t=3；

②当4<t≤8时，如图，四边形PQCD是平行四边形，

∴AP=BQ，

根据题意，得BQ=3t-12，AP=t，

∴t=3t-12，

解得：t=6，

如图，四边形PQCD是等腰梯形，

根据题意，得AP=t，CQ=EF=24-3t，

由①同理得t+3+24-3t+3=12，

解得：t=9（舍去）；

③当8<t≤12时，如图，四边形PQCD是平行四边形，

∴AP=BQ，

根据题意，得AP=t，BQ=36-3t，

∴t=36-3t，

解得：t=9，

综上所述，当运动时间为1.5s或3s或6s或9s时，PQ=CD，

故答案为：B.

【分析】设运动时间为t秒，根据题意，得点P从点A到达端点D的运动时间为12s，点Q从点C到达点B的运动时间为4秒，然后根据平行四边形的性质得∠D=∠B=60°，CD=AB=6，AD=BC=12，AD∥BC，AB∥CD，接下来分情况讨论：①当0≤t≤4时，过点Q作QE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，易证四边形EQCF是矩形，得EF=CQ，然后证四边形PQCD是等腰梯形，得∠D=∠EPQ=60°，从而有∠PQE=∠FCD=30°，利用含30°的直角三角形的性质得PE=DF=3，接下来得关于t的方程t+3+3t+3=12，解方程求出t；当四边形PQCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得AP=BQ，根据题意列出关于t的方程t=12-3t，解方程求出t；②当4<t≤8时，四边形PQCD是平行四边形，得t=3t-12，解方程求出t；当四边形PQCD是等腰梯形，得t+3+24-3t+3=12，注意此方程求出的t=9不符合题意，要舍去；③11．【答案】7【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

∵△OAB的周长比△OBC的周长小3，AB=4，

∴OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=3，

即BC-AB=3，

解得：BC=7；故答案为：7.【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，将三角形周长差转化为边长关系，即可得出BC的长度.12．【答案】1或7【解析】【解答】解：①a在中间，b和c分别位于a的两侧，

此时b与c的距离为3+4=7；

②b和c位于a的同一侧，

此时距离为|4-3|=1，

综上所述，b与c是距离为1或7，故答案为：1或7.【分析】分两种情况讨论①a在中间，b和c分别位于a的两侧，②b和c位于a的同一侧，然后根据平行线之间的距离计算即可.13．【答案】7【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥DA交DA延长线于H点，过B作BGIIEF，交AH的延长线于G，

∵BE平分∠AEF，

∴∠GEB=∠FEB，

∵BG∥EF，

∴∠FEB=∠EBG，

∴∠EBG=∠GEB，

∴GB=GE，

∵DE=DF，BG∥EF，

∴DG=DB，GE=BF=GB，

∵∠ABC=60°，AB=3，

∴∠BAH=60°，即∠ABH=30°.

∴AH=12AB=32，

∴BH=AB2−AH2=332，

∴DH=AD+AH=5+32=132，

∴RtABDH中，BD=BH2+DH2=7，

∴GH=DG-DH=7-132=12，

∴在RtABGH中，.GB=GH14．【答案】2【解析】【解答】解：根据题意可知：△ECD是顶角为120°的等腰三角形，

∴∠ECD=30°，

如图过M、B作AB、MN的平行线，

∴MN//BP，MP//NB，

∴四边形MNBP是平行四边形，

∴MN=BP，∠PMC=∠ECD=30°，MP=BN

∵EM=BN，

∴EM=MP，

∴∠PAM=∠APM=15°，

当BP⊥EP时，BP最小，

∵∠ECB=120°，DE=EC=BC=4米

∴∠CEB=30°，

∴∠PEB=∠CEB+∠PEC=45°，

在△ACD中，BE=3CE=43(米)，

∴BP=22BE=26(米)，

故钢丝绳MN长度的最小值为【分析】先证四边形MNBP是平行四边形得到MN=BP，∠PMC=∠ECD=30°，MP=BN，当BP⊥EP时，BP最小，再求得∠PEB=45°，即可求解.15．【答案】3+【解析】【解答】解：设AB=BC=CD=AD=2a，过点G作GT⊥CD于点T，如图，

∵A、M关于BN对称，

∴AB=BM=BC，

∵B、C关于EF对称，

∴BM=MC=BC，

∴△BCM是等边三角形，

∴∠MBC=∠BCM=90°，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠ABH=∠DCG=30°，

∴BH=2AH.

∴AH=233a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CDB=45°，

∵GT⊥CD，

∴DT=GT，CG=2TG，CT=3GT，

∵DT+TC=2a，

∴DT=TG=(3-1)a，

∴CG=2(3-1)a，

∴AH故答案为：3+3【分析】本题做出辅助线后，根据对称的性质可以得出△BCM是等边三角形，然后利用勾股定理求出AH=233a；结合正方形对角线互相平分以及勾股定理，可以得出DT=GT，CG=2TG，CT=3GT，继而推出CG=2(16．【答案】24【解析】【解答】解：∵5BE=3CD，

∴设BE=3x，CD=5x，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AC=CD=5x，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，

∵EO=1，

∴BO=OD=3x+1，DE=OD+OE=3x+2，

∵∠DAE=∠DEA，

∴AD=DE=3x+2，

则5x=3x+2

∴x=1，

∴AB=AD=5，OB=OD=4，DB=2OD=8，

∴AO=AB2−OB2=3，

∴故答案为：24.【分析】根据题意设BE=3x，CD=5x，结合菱形的性质得到AB=AC=CD=5x，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，进而根据线段间的数量关系得到方程5x=3x+2，则AB=AD=5，OB=OD=4，DB=2OD=8，最然后根据勾股定理求出AO的长度，最后根据菱形面积计算公式计算即可.17．【答案】13【解析】【解答】解：如图，作OK⊥BC，垂足为点K，

∵正方形边长为4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE，∴CH是△OKE的中位线∴CH=1作GM⊥CD，垂足为点M，∵G点为EF中点，∴GM是△FCE的中位线，∴GM=12CE=1∴MH=MC−HC=5在Rt△MHG中，GH=M故答案为：132【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形性质可得OK=2，KC=2，则KC=CE，再根据三角形中位线定理可得CH=12OK=1，作GM⊥CD，垂足为点M，再根据三角形中位线定理可得GM=18．【答案】5；13【解析】【解答】解：连接BD并延长，交AC于点K，如图：

由题意可得：BK⊥AK，AK=DE=24cm，AK//DE//BH，

在Rt△AKB中，

BK=AB2−AK2=262−242=10cm，

∵四边形EFBO和AODC为平行四边形，

∴OB=EF，OA=CD，

∵AB=2EF=2CD，

∴OA=OB，

∴点O为AB中点，

∵AK//DE，

∴OB∵四边形EFBO为平行四边形，∠GEF=60°，

∴OB//EF，

∵∠BOE=∠GEF=60°，

∴∠BMO=90°，

∴∠OBM=90°-∠BOE=30°，

∵OB=OA=12AB=13cm，

∴OM=12OB=132cm，

在Rt△BMO中，

BM=OB2−OM【分析】连接BD并延长，交AC于点K，通过勾股定理求出BK的长，再得到BD=DK=12BK=5cm，即可得出两个储物盒之间的距离，过点B作BM⊥DE于点M，过点O作ON⊥CA于点N，则∠BMO=90°，通过含30°角的直角三角形得到OM=1219．【答案】（1）解：如图①答案不唯一（只需要画出一种情况即可）（2）解：如图②【解析】【作法】（1）①观察格点，确定AB的长度：A到B横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得AB=12+22=5；

②在格点中寻找与AB长度相等的线段，连接格点，使得BC=AB=5，确定点C；

③再连接格点，使得CD=AB=5，DA=AB=5，且四边形ABCD邻边不垂直（不是正方形），确定点D.

故菱形ABCD作出为所作的图形.

（2）①计算AB的长度：A到B横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得AB=12+22=520．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示

∵点E是BC的中点

∴BE=CE

∵DO＝BO，

∴OE为三角形BCD的中位线，

∴OE//DC，DC＝2OE，

∵AO＝2EO，

∴CD＝AO，

∵AO//CD，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∴F为AC中点．

（2）解：∵四边形AOCD为平行四边形，

∴S△ADC＝12S▱AOCD＝S△ADO，

∵BO=DO，

∴点O是BD的中点

∴S△ABD＝2S△ADO，

∴S△ACD：S△ABD＝S△ADO：2S△ADO＝12【解析】【分析】

本题考查平行四边形的判定定理与性质、三角形中位线定理，熟知平行四边形的性质是解题关键．（1）连接CD，根据中点的定义可知：CE＝BE，结合BO=DO，可知：OE为三角形BCD的中位线，根据三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半可知：OE//DC，DC＝2OE，结合AO=2EO，等量代换得：CD=AO，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AOCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质：对角线互相平分可知：点F是AC的中点，即可证得结论；（2）根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：S△ADC＝12S▱AOCD＝S△ADO，再根据三角形中线的性质可知：S△ABD＝2S△ADO，等量代换得：S△ACD：S△ABD21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD‖BC,AD=BC,AB=CD,∵AD=BD,∴BD=BC,∵CE‖BD,AD‖BC,∴四边形BDEC是平行四边形，又∵BD=BC,∴四边形BDEC是菱形；（2）解：如图，BE交CD于O，∵四边形BDEC是菱形，∴DO=CO=1在Rt△BDO中，AD=BD=12,DO=3,∴BO=∴BE=2BO=6【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=BD,由两组对边平行的四边形是平行四边形，可证四边形BDEC是平行四边形，即可得结论；

(2)连接BE交CD于O，由菱形的性质可得DO=CO=122．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，即DF//BE，

∵DE∥BF，

∴四边形BFDE是平行四边形．（2）解：过点E作EG⊥AB于点G，连接BD，交EF于点O，如图所示，

则∠AGD=∠BGD=90°，

∵四边形BFDE是平行四边形，DE=DF=15，

∴四边形BFDE是菱形，

∴OE=12EF，DO=12BD，BD⊥EF，BE=DE=15，

设AG=x，则GE=14−x，

根据勾股定理得：DG2=AD2−AG2=DE2−EG2，

∴132−x2=152−14−x2，

解得：x=5，

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出结论；（2）过点E作EG⊥AB于点G，连接BD，交EF于点O．证明四边形BFDE是菱形，得出OE=12EF，DO=12BD，BD⊥EF，BE=DE=15，设AG=x，则GE=14−x，根据勾股定理得出（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．（2）解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接BD，交EF于点O．则∠AGD=∠BGD=90°，∵四边形BFDE是平行四边形，DE=DF=15，∴四边形BFDE是菱形，∴OE=12EF，DO=12设AG=x，则GE=14−x，根据勾股定理得：DG∴132解得：x=5，∴AG=5，EG=14−5=9，∴BG=EG+BE=24，根据勾股定理得：DG∴DB=D∴DO=65∴EO=D∴EF=2EO=6523．【答案】（1）解：四边形EBFD是菱形，理由如下：在□ABCD中，∵AD//BC，∴∠EDO=∠FBO，∵EF为BD中垂线，∴BO=DO，∠EOD=∠FOB，∴△BOF≌△DOE（AAS），∴BF=DE，∵AD//BC，BF=DE，∴四边形EBFD是平行四边形.∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形；（2）解：∵AB//DC，∴∠EDC=180°-∠A，∵∠A=130°，∴∠EDC=50°，∵EF⊥BD，∴∠EDO=90°-∠OED=90°-70°=20°，由(1)得，四边形EBFD是菱形，∴∠EDF=2∠EDO=40°，∴∠CDF=∠EDC-∠EDF=10°；（3）解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴S△ABF∵四边形EBFD是菱形，∴S△EBF=2S△OBF，∵S∴6S△OGF+∴BO=4OG，∴设OG=m，则BG-4m，OB=OG+BG=5m，在Rt△BOF中，OF2=BF2-OB2=112-25m2，在Rt△OGF中，OF2=GP2-OG2=16-m2，

即112-25m2=16-m2，解得m=2或-2（舍去），∴BG=8，在Rt△OGF中，OG=2，GF=4，OF=23，∴∠OGF=60°

∴∠AGB=∠OGF=60°，∵S△OGF=23，S△ABG=6S△DGF=123.过点A作AH⊥BG于点H，∵AH⊥BG，∴AH×BG2=12∵在Rt△AHG中，∠AGB=60∴HG=3，∴BH=BG−HG=8−3=5，∴在Rt△ABH中，AB=B【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠EDO=∠FBO，根据中垂线的定义可得BO=DO，EF⊥BD，依据AAS判定△BOF≌△DOE推出BF=DE，根据菱形的判定即可证明；

（2）根据平行线的性质可得∠EDC=50°，根据菱形的性质可得∠EDF=2∠EDO，即可求得；

（3）根据菱形的性质可推出BO=4OG，设OG=m，根据勾股定理建立方程求得BG，过点A作AH⊥BG于点H，再根据三角形的面积求得AH，根据边长求得∠AGB，求得HG，BH，再根据勾股定理求AB即可.24．【答案】（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）解：如图：过点C作CG⊥AD于G，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，GC⊥AD，∴四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12，∴四边形ABCG是正方形，∴AG＝12，由（2）可得DE＝DG＋BE，∴DE＝4＋DG，在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，∴（12−4）2＋（12−DG）2＝（4＋DG）2，∴DG＝6，∴AD＝6，∴S四边形ABCD＝12(AD＋BC)×AB＝1【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明△CBE≅△CDF，根据全等三角形的性质即可证明CE=CF；

（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，得到∠BCE=∠DCF，进而得到∠GCF=∠GCE=45°，证明△ECG≅△FCG，得到GE=GF，即可证明GE＝BE＋GD；

（3）过点C作CG⊥AD于G，得到∠A＝90°，证明四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12，即四边形ABCG是正方形，得到AG＝12，根据勾股定理得到AE2＋DA2＝DE2，求出DG＝6，进而即可求出直角梯形ABCD的面积．25．【答案】（1）三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）解：瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度之和．证明如下：

∵H,G分别为AD,CD的中点，

∴HG=12AC．

∵E,F分别为AB,BC的中点，

∴EF=12AC．

∴HG=EF=12AC，

同理：HE=GF=12BD（3）解：由题意，画出图形如下：

①如图1，当∠AO1B=60°时，

∵E,F分别为AB,BC的中点，

∴EF∥AC，

∴∠BP1E=∠AO1B=60°，

∵H,E分别为AD,AB的中点，

∴HE∥BD，

∴∠HEF=∠BP1E=60°；

②如图2，当∠AO2D=60°时，则∠AO2B=120°，

∵E,F分别为AB,BC的中点，

∴EF∥AC，

∴∠BP2E=∠AO2B=120°，

∵H,E分别为AD,AB的中点，∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC，（三角形的中位线定理）∵E,F分别为AB,BC的中点，∴EF∥AC．∴HG∥EF，同理：HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得答案；（2