八年级数学下册 第二十一章 四边形 单元测试卷（一） 人教版

八年级数学下册第二十一章四边形单元测试卷（一）人教版一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知菱形ABCD的面积为64，则对角线AC⋅BD的积为（）A．32 B．64 C．128 D．无法计算2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB=25°，那么∠AOB的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．35°3．如图，在平行四边形ABCD中，AE是∠BAD的角平分线，∠BEA=75°，则∠D=（）A．15° B．30° C．45° D．60°4．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，点D在AC边上，AD=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若A．1 B．2 C．3 D．35．如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF=4A．2 B．2 C．4 D．86．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=2，则四边形EFCD的周长为（）A．14 B．13 C．12 D．107．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是()

A．64° B．66° C．68° D．70°8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是1,3，则AC的长是（）A．3 B．7 C．8 D．109．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B=54°A．27° B．32° C．36° D．40°10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有()①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E.若BE＝CE，则∠BAE的度数为°.

12．如图，在△ABC中，AB=10，BC=16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB=90°13．如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF=cm.14．平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简m−82⋅2−m15．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N，且AB=10,BC=15,MN=3，则△ABC的周长是．三、解答题：本大题共8小题，共75分.16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是△ABC的边AC、BC、AB的中点，连接DE、CF；求证：DE=CF．17．如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE=BF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AD⊥BD，AB=5，BC=3，且EF−AF=2，求DE的长．18．如题图1，在正方形ABCD中，点P在边CD上，点M在边BC上，点N在边AD上，连接AP，MN交于点O，且MN⊥AP.（1）求证：PD+ND=MC：（2）如图2，若AB=4，点O为线段AP的中点，OD=5，求BM的长.19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD的中点为E，连接OE并延长至点F，使得EF=OE，连接CF，DF．（1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若EF=5，BD=16，求菱形ABCD的面积．20．如图，将矩形纸片ABCD沿GH折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处．（1）连接BG，四边形BHDG的形状为_______，并证明；（2）若AB=22,AD=4，求（3）在（2）的条件下求折痕GH的长．21．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在线段BC上运动，作△ACD关于直线AP的对称△AC1D1（点C，D的对称点分别为C1（1）如图1，当点C1在AB的延长线上时，求C（2）如图2，当点P与点C重合时，连结DD1，CD1、（3）当直线C122．如图，在四边形ABCD中，AD=6，BC=16，AD∥BC，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）线段PD=；CQ=；QE=（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？23．阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．小明在学完做辅助线的方法后，是这样解这个题目的．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．解：取BD的中点P，连接PM、PN∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM∥AB，PM=12AB，PN∥CD，PN=1∵AB=CD=6∴PM=PN=3∵PM∥AB，PN∥CD，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，∴∠DPN=40°，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；（2）若∠BDC-∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解；∵菱形ABCD的面积为64，∴12∴AC⋅BD=128，故选：C．

【分析】本题考查菱形面积与对角线的关系，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即S=12AC⋅BD2．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠DAB=90°,∠ADB=25°∴∠OBA=90°−25°=65°∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=65°∴∠AOB=180°−65°−65°=50°故答案为：A.【分析】先利用角的运算求出∠OBA=90°−25°=65°，再利用等边对等角的性质可得∠OAB=∠OBA=65°，最后利用三角形的内角和求出∠AOB的度数即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B=∠D，∴∠DAE=∠BEA=75°∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠BAE=∠DAE=∠BEA=75°，∴∠D=∠B=180°−2∠BEA=30°，故选：B．【分析】先由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得∠BAE=∠BEA=75°，再由三角形内角和定理可得∠B=30°，再由平行四边形对角相等即可．4．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：

BC=AD=2

过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG

∵点E是CD的中点

∴DE=CE

∴BG=DG

∴EG是△BCD的中位线

∴EG=12BC=1，EG∥BC

∴∠EGD=∠CBE

∵点F是AB的中点

∴FG∥AD，FG=12AD=1

∴∠FGD=∠BDC

∵∠C=90°

∴∠BDC+∠DBC=90°

∴∠FGD+∠DGE=90°

∴∠FGE=90°

∴EF=GE25．【答案】C6．【答案】B【解析】【解答】解：∵EF过▱ABCD对角线的交点O，∴∠EDO=∠OBF，DO=BO，在△EOD和△BOF中，∠EDO=∠OBFBO=DO∴△EOD≌△BOF(ASA)，∴DE=BF，∵OE=2，∴OE=OF=2，∴四边形EFCD的周长为：ED+FC+EF+CD=AD+EF+CD，∵▱ABCD的周长为18，∴AD+DC=9，∴四边形EFCD的周长为：9+2+2=13，故答案为：B．

【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出△EOD≌△BOF，利用全等三角形的性质可得DE=BF，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得AD+DC=9，最后求出四边形的周长即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AB=AD=BC=DC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD,∠BDC=∠ADB=∴∠A+ADC=18∵∠A=4∴∠ADC=18∴∠BDC=故选：D.【分析】由尺规作图可知AB=AD=BC=DC，则四边形ABCD是菱形，根据菱形性质得AB∥CD，∠BDC=12∠ADC,再根据∠A=40∘得∠ADC=8．【答案】D【解析】【解答】解：连接OB，AC，∵点B的坐标是1，∴OB=1∵四边形OABC是矩形，∴AC=OB=10故选：D．

【分析】本题考查矩形的性质和平面直角坐标系中两点间的距离公式，矩形的对角线相等，因此AC=OB，先根据两点间距离公式OB=x2+y2（O为原点，B9．【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=54°∴∠D=∠B=54°又∠DAE=20°∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°根据折叠可得：∠AE又∠AEF=180°-∠AED=74°∴∠FE故答案为B．【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理和平角的定义。根据平行四边形对角相等的性质，由∠B=54°可推出∠D=54°；在ΔADE中，利用三角形内角和定理180°−∠D−∠DAE，求出∠AED=1010．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB=AD，BC=DC，∴AC垂直平分BD，当添加：“AB∥CD”，则∠ABD=∠BDC，∵∠BDC=∠DBC，∴∠ABO=∠CBO，又∵BO=BO，∠BOA=∠BOC，∴△ABO≌△CBO(ASA)，∴BA=BC，∴AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；当添加“∠BAD=90°”，无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；当添加条件“OA=OC"时，∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；当添加条件“∠ABC=∠BCD=90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD，由证选项A可知四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；故选：C.【分析】根据AB=AD，BC=DC，可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.11．【答案】30【解析】【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∠AEB=90°，∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BAE=90°-∠B=30°，故答案为：30.【分析】由菱形ABCD，得AB=BC，AD∥BC，由AE⊥BC，BE=CE，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，即可证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=60°，继而求得∠BAE的度数.12．【答案】3【解析】【解答】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=1∵D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=1∴EF=DE−DF=8−5=3，故答案为3．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得DF，再根据三角形中位线定理可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.13．【答案】13【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH

∵E，F分别是AB，CD的中线

∴EH=12AC=2，FH=12BD=3，EH∥AC，FH∥BD

故答案为：13【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得EH=114．【答案】−【解析】【解答】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：5−3<m<5+3，∴2<m<8，∴=(8−m)(m−2)=−m故答案为：−m2+10m−16．

15．【答案】41【解析】【解答】解：如图，延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，又∵AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN，∴AE=AB=10,BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=10+15+10+6=41．故答案为：41．

【分析】延长线段BN交AC于E，根据ASA得到△ABN≌△AEN，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．16．【答案】证明：∵∠ACB=90°，F是△ABC的边AB的中点，

∴CF=1∵点D、E是边AC、BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB，

【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得CF=12AB17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠ADB=∠CBD．∴∠ADE=∠CBF．在△ADE和△CBF中，AD=BC∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF(SAS)．∴AE=CF，∠AED=∠CBF．∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，∴由勾股定理可得：BD=A连接AC交EF于O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=OB=1∵四边形AECF是平行四边形，∴EO=OF=1∴DE=BF，设DE=BF=x，∴EF=2x+4，∵EF−AF=2，∴AF=2x+2，

在△ADF中，∠ADF=90°，

由勾股定理可得：AF∴(2x+2)解得：x=7∴DE的长为7．

故答案为：7.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，从而∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，先利用“SAS”证出△ADE≌△CBF，利用全等三角形的性质得到AE∥CF，再结合AE=CF，即可证出四边形AFCE是平行四边形；（2）先根据勾股定理求出BD的长度，再连接AC交EF于O，求得DO=OB=12BD=2，利用平行四边形的性质得到EO=OF=1218．【答案】（1）证明：过点N作NE⊥BC于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，∵NE⊥BC，∴∠NEC=∠NEM=∠D=∠C=90∴四边形NECD为矩形，∴NE=CD，ND=EC.∴NE=AD.∵MN⊥AP，∴∠AON=90∴∠PAD+∠ANM=90又∵∠MNE+∠ANM=90∴∠MNE=∠PAD.∴△ADP≅△NEM(∴PD=ME.∴PD+ND=ME+EC=MC.（2）解：连接NP，设AN=x，则ND=4−x.∵MN⊥AP，点O为线段AP的中点，∴NP=AN=x.在Rt△ADP中，点O为线段AP的中点.∴AP=2OD=25∴DP=A在Rt△NDP中，ND即(4−x解得x=5∴ND=4−x=4−5由（1）知MC=PD+ND=2+3∴BM=BC−MC=4−【解析】【分析】（1）过点N作NE⊥BC于点E，然后可根据矩形的性质得出ND=EC，再通过证明△ADP≅△NEM，得出ME=PD，进而得出结论PD+ND=ME+EC=MC；

（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得出AP的长度，进而根据勾股定理可得出DP的长为2，设首先在直角三角形ADP中，AN=x，则：ND=4−x，根据中垂线的性质得出PN=AN=x，在Rt△NDP中，根据勾股定理，可得出ND2+DP2=NP19．【答案】（1）证明：∵CD的中点为E，

∴DE=CE，

∵EF=OE，

∴四边形OCFD是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠COD=90°，

∴四边形OCFD是矩形；（2）解：∵EF=OE=5，BD=16，四边形ABCD是菱形，

∴OF=2EF=10，OD=OB=12BD=8，OA=OC，

由（1）得四边形OCFD是矩形，∠COD=90°，

∴CD=OF=10，

∴OA=OC=CD2−OD2=102−【解析】【分析】（1）易证四边形OCFD是平行四边形，根据菱形的性质得∠COD=90°，即可得证结论；（2）根据菱形的性质得OF=2EF=10，OD=OB=12BD=8，OA=OC，由（1）得四边形OCFD是矩形，∠COD=90°，然后由矩形的性质得CD=OF=10，利用勾股定理得OA=OC=6（1）证明：∵CD的中点为E，∴DE=CE，∵EF=OE，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCFD是矩形．（2）解：∵EF=OE=5，BD=16，∴OF=2EF=10，OD=OB=1∴CD=OF=10，∴OA=OC=C∴AC=2OA=12，∴S菱形∴菱形ABCD的面积为96．20．【答案】（1）解：四边形BHDG是菱形，

证明如下；由折叠的性质可得BH=DH，∠DHG=∠BHG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DGH=∠BHG，

∴∠DGH=∠DHG，

∴DG=DH，

∴DG=BH，

∵DG∥BH，

∴四边形BHDG是平行四边形，

∵DG=DH，

∴四边形BHDG是菱形；

（2）解：∵四边形BHDG是菱形，

∴BG=DG，

设AG=x，则BG=DG=AD−AG=4−x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴由勾股定理得BG2=AB2+AG2，

∴4−x2=222+x2，

解得x=1，

∴AG=1；

（3）解：如图所示，连接BD，

在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=AB2（2）根据菱形的性质求出BG=DG，再根据矩形的性质求出∠A=90°，最后利用勾股定理计算求解即可；（3）利用勾股定理求出BD=26（1）解：四边形BHDG是菱形，证明如下；由折叠的性质可得BH=DH，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DGH=∠BHG，∴∠DGH=∠DHG，∴DG=DH，∴DG=BH，又∵DG∥BH，∴四边形BHDG是平行四边形，又∵DG=DH，∴四边形BHDG是菱形；（2）解：∵四边形BHDG是菱形，∴BG=DG，设AG=x，则BG=DG=AD−AG=4−x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴由勾股定理得BG∴4−x2解得x=1，∴AG=1；（3）解：如图所示，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A由（2）可得DG=4−1=3，∵S菱形∴GH=2DG⋅AB21．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∴AC=A∵△ACD、△ACD关于直线AP对称，AC1=AC=5在Rt△BCCCC∴CC1（2）证明：连结BD交AC于点O∵ABCD为矩形∴OB=OD∵D，D1关于AC对称，∴AC垂直平分DD1，∴H为DD1的中点∴OH为△BDD1的中位线∴OH∥B∴AC⊥D∵OH∥B∴D（3）解：(3)连接PC∵△ACD，△AC∴AD=AD∴∠AC即∠BC当直线C1在Rt△AD1BBC.在Rt△BC1P∴((3−CP∴PC=【解析】【分析】(1)由勾股定理求出AC=5，由轴对称的性质得到AC1=AC=5，则BC1=AC1-AB=1，据此利用勾股定理求解即可；

(2)连结BD交AC于点O，可证明OH为△BDD1的中位线，得到OH//BD1，由AC⊥DD1，即可证明DD1⊥BD；

(3)连接PC1，导角证明∠BC1P=90°，当直线C1D1经过点B时，BD1=AB22．【答案】（1）6−t；2t；8−2t或2t−8（2）解：∵AD∥BC，∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD=EQ，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE=12BC=8，

分两种情况：

①当Q运动到E和B之间，则得：2t−8=6−t，

解得：t=143，

②当Q运动到E和C之间，则得：8−2t=6−t，

解得：t=2【解析】【解答】（1）解：∵AD=6，BC=16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，∴PD=6−AP，BE=CE=1∴QE=8−CQ或QE=CQ−8，∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，∴AP=t，∴PD=6−t；∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，∴CQ=2t，若点Q与点E重合，则2t=8，解得t=4；若点P与点D重合，则t=6，当0<t<4时，则QE=8−2t，当4<t<6时，则QE=2t−8，故答案为：6−t；2t；8−2t或2t−8；【分析】（1）AD=6，BC=16，点E是BC的中点，得PD=6−AP，BE=CE=12BC=8，则QE=8−CQ或QE=CQ−8，而AP=t，CQ=2t，则PD=6−t；若点Q与点E重合，则2t=8，求得t=4；若点P与点D重合，则t=6，所以当0<t<4时，则QE=8−2t，当4<t<6（2）由AD∥BC，若点P，Q，