2025-2026学年北京市北京中学下学期八年级数学科期中检测题（含答案）

/北京市北京中学2025-2026学年下学期八年级数学科期中检测题一、单选题1．下列各式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．若、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，那么与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．下列曲线中，表示y是x的函数的是（

）A． B．C． D．5．下列判断错误的是（

）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的菱形是正方形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形6．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化D．水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化7．如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为（

）

A．4.5 B．3.5 C．3 D．48．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．15二、填空题9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．10．已知正比例函数的图象过点，则______．11．一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____．12．已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．13．如图，中，，，平分交于点，则的长为__________.14．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．15．如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为______．16．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是________．

三、解答题17．计算：．18．已知，，求的值．19．阅读下面的材料：如图1，在线段上找一点C（），若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．

我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P，则点P就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）根据作图，写出图中相等的线段：；（2）求点P在数轴上表示的数，并写出的值．20．已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；③画射线OP．射线OP即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC，PD．由作法可知OC=OD=PC=PD．∴四边形OCPD是．∴OP平分∠AOB（）（填推理的依据）．21．如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形．22．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．23．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接交于点M，连接，若，，求，的长．24．水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量．时间t/min051015202530漏水量y/mL0153045607590解决下列问题：（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线；（2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式______（不要求写自变量的取值范围）；（3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______mL．25．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数，称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：（1）若a=-1，b=-2，则M=，N=，P=；（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．

①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：（把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．26．在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1）如图2，点的坐标为．①若，则点A，的“相关矩形”的面积是_____________；②若点A，的“相关矩形”的面积是8，则的值为_____________．（2）如图3，点在过点且平行轴的直线上，若点A，的“相关矩形”是正方形，直接写出点的坐标；（3）如图4，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．

答案1．【正确答案】A【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：A．是最简二次根式，符合同意；B．不是最简二次根式，不符合同意；C．不是最简二次根式，不符合同意；D．不是最简二次根式，不符合同意；故选A．2．【正确答案】B【分析】本题主要考查了比较正比例函数的函数值大小，根据，可得y随x增大而减小，据此可得答案．【详解】解：∵、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，且，∴，故选B．3．【正确答案】C【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选C．4．【正确答案】D【分析】根据函数的定义解答即可．【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；故选D．5．【正确答案】A【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，正方形的判定定理，菱形的判定定理和矩形的判定定理，根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形也符合，原说法错误，符合题意；B、有一个角是直角的菱形是正方形，原说法正确，不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，不符合题意；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；故选A．6．【正确答案】C【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，进行判断即可．【详解】解：A、不是正比例函数，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、是正比例函数，故此选项符合题意；D、设水箱有水，则，不是正比例函数，故此选项不符合题意．故选C．7．【正确答案】D【分析】先根据直角三角形斜边上中线的性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：在中，,点E是的中点，，∴∵，∴，∵D、E分别是的边、的中点，∴是的中位线，∴．故选D.8．【正确答案】C【分析】连接，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，则，根据勾股定理可得结果．【详解】解：如图，连接，在矩形中，，，，，，，四边形是平行四边形，，，则，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，，是的垂直平分线，，，连接，则，，，．的最小值为13．故选C．9．【正确答案】【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．【详解】解：∵在实数范围内有意义，，∴，∴.10．【正确答案】【分析】利用待定系数法把点代入正比例函数中即可算出k的值【详解】把点代入正比例函数，得解得11．【正确答案】4或【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，故答案是：4或．12．【正确答案】（且即可）【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限，∴k<0，当经过时，k=-1，由题意函数不经过，说明k≠-1，故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)．13．【正确答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得出，，得出，证出，得出，即可得出的长．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，.14．【正确答案】22.5°/22.5度【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，∴∠BAC=45°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=67.5°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC=22.5°.15．【正确答案】【分析】在中，利用勾股定理求得，结合点M是中点可得，由翻折可知，在中运用勾股定理求解即可．【详解】解：在中，，，，，点M是中点，，由翻折可知，在中，，，解得.16．【正确答案】①③④【分析】先结合图①由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得与的值；再根据三角形的面积公式可得b的值；然后结合图形可知当时，点P运动到点D处；最后根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段或上，从而问题得解．【详解】解：动点P从点B出发，沿的路径匀速运动，∴图2为等腰梯形，，故①正确；，在矩形中，，，故②错误；点P运动的路程为x，当时，，时，点P运动到点D处，故③正确；，在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y值等于，结合图1可知，当时，故④正确；综上，正确的有：①③④．17．【正确答案】2【分析】先将二次根式化成最简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．【详解】解：原式，，．18．【正确答案】8【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式把所求式子变形为，再代值计算即可得到答案．【详解】解：∵，，∴．19．【正确答案】（1），（2）点P在数轴上表示的数为，【分析】（1）根据作图步骤可知半径相等，即可解答；（2）根据垂直定义可得，根据已知可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再根据作图可得：，，从而求出的长，进而求出的长，最后进行计算即可解答．【详解】（1）解：根据作图步骤可知半径相等，图中相等的线段：，；故，；（2）解：，，，，，，由作图得：，，，，，∴点P在数轴上表示的数为，．20．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）根据作法的步骤②和③补全图形即可；（2）连接，先根据作图可得，再根据菱形的判定与性质即可得证．【详解】解：（1）如图，射线即为所求．（2）证明：连接．由作法可知，．∴四边形是菱形．∴平分（菱形的每条对角线平分一组对角）．21．【正确答案】见详解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．【详解】证明：如图所示，连接交于O，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形．22．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠F，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△AEB和△FEC中，

，∴△AEB≌△FEC（AAS），

∴AB=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵AB=CF，DF=DC+CF，∴DF=2CF，∴DF=2AB，∵AD=2AB，∴AD=DF，∵△AEB≌△FEC，∴AE=EF，∴ED⊥AF．23．【正确答案】（1）详见详解（2），【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形；（2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵D，E分别是，的中点，∴是的中位线，，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，∴，，∴，是的中位线，∴，，在中，，在中，，∴．24．【正确答案】（1）见详解（2）y=3t（3）4320【分析】（1）根据表格描点、连线即可；（2）根据5min漏水量15mL可得解析式；（3）将t=24×60代入计算即可．【详解】（1）解：描点、连线如下：（2）滴水量y关于时间t的函数解析式为y=3t.（3）一天的漏水量约为y=3×（24×60）=4320（mL）.25．【正确答案】（1），，；（2）①见详解；②．【分析】（1）将分别代入求值即可得；（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．【详解】解：（1）当时，，，.（2）①，则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：，则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，都是正数，都是正数，.26．【正确答案】（1）6，或5（2）或（3）或【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5；（2）由题意可知点A到直线l的距离为，即得出点A，的“相关矩形”是正方形时的边长为3．分类讨论：当点C在点A左侧时和当点C在点A右侧时，画出图形，结合正方形的性质和“相关矩形”的定义即可得出点C的坐标；（3）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案．【详解】（1）解：①当时，点的坐标为，如图．∵，∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为．②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点，由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为，解得：；当点B在点A右侧时，如图点，由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为，解得：．综上可知的值为或5．（2）解：∵点在过点且平行轴的直线上，，∴点A到直线l的距离为，∴点A，的“相关矩形”是正方形时的边长为3．分类讨论：当