2025-2026学年北京市海淀区尚丽外国语学校八年级下学期数学期中调研练习试卷（含答案）

/北京市海淀区尚丽外国语学校2025-2026学年八年级下学期数学期中调研练习试卷一、单选题1．下列式子中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．估计的值应在（

）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间3．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（

）．A．10 B． C． D．不能确定4．若代数式有意义，则实数的取值范围是（

）A．， B． C． D．且5．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（

）．A．3 B．2张 C．1张 D．0张6．某高层公寓大火时，小王逃生的时候看了下疏散通道如图所示，则最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有（）条．

A．3 B．9 C．6 D．127．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．8．若，且，则的值为（）．A． B． C． D．9．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形是轴对称图形．其中真命题共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（

）A．2 B．3 C．2或6 D．3或611．“强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（

）

A．强 B．国 C．有 D．我12．如图，已知正方形边长为4，点为中点，连接，取中点，过点作垂线，交于点，则的长为（

）

A．3 B． C． D．二、填空题13．如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为__________．14．把红、白、黄、蓝四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取______个球以保证取到两个颜色相同的球．15．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是________（填序号）．①，；②，；③，；④，．16．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______．17．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_____．18．已知中，，、、所对的边分别为、、，且，，则的面积______．19．观察下列各数排列规律：，则第100个位置上是______．20．如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________．三、解答题21．计算：（1）；（2）．22．已知，分别求下列代数式的值：（1）（2）．23．如图，在中，是的平分线，，交于于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）如果，，求菱形的面积．24．如图，在平面直角坐标系中，点，，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点．（1）请在图中画出点的位置，并写出点的坐标；（2）①连接，，，请直接写出线段，，的长度；②判断的形状，并说明理由．25．阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题：（1）与互为有理化因式，将分母有理化得，（2）观察下面的变形规律并解决问题：①，，，……若为正整数，请你猜想：，②计算：26．如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．（1）求证：平分；（2）若点E为中点，，，求的面积．27．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．【模型应用】（1）代数式的最小值为；（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；【模型拓展】（3）已知正数x满足，求x的值．28．【模型建立】（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．

答案1．【正确答案】C【分析】此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、，不是最简二次根式，不符合题意；故选C．2．【正确答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据乘法分配律计算并化简，再根据的近似值可得答案.【详解】解：原式.∵，∴，∴.故选B.3．【正确答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案．【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时，在中，，∴；如图所示，当沿着长把长方体展开时，在中，，∴；如图所示，当沿着宽把长方体展开时，在中，，∴；∵，∴沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是，故选C．4．【正确答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：要使代数式有意义，则且，∴且，故选．5．【正确答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式、有理数的定义等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可．【详解】解：，5是有理数；，不是有理数；，是有理数．综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有2张．故选B．6．【正确答案】C【分析】本题考查了排列与组合问题，根据题意找出规律，作出最快逃离到楼梯的通道，继而求解即可．【详解】解：如图所示：

故最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有6条．故选C．7．【正确答案】A【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，含30度直角三角形的性质．由点坐标求得，利用含30度直角三角形的性质和勾股定理，求得，于是得到结论．【详解】解：点的坐标为，，四边形是菱形，，，，，，，∴，故选A．8．【正确答案】C【分析】用已知式子分别表示出，，再计算它们的商即可得结论．【详解】解：，，．，．，．，，．．故选C．9．【正确答案】C【分析】本题考查命题与定理，平行四边形、正方形、菱形的判定，中点四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据正方形、菱形、菱形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断.【详解】解：①一组对边平行，可以推出同旁内角互补，又因为一组对角相等，利用等量代换可得出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，是真命题；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可能是筝形等，是假命题；③顺次连接矩形四边中点，根据三角形中位线定理，矩形对角线相等可以得到的在中点四边形四条边都相等，是菱形，是真命题；④等边三角形是轴对称图形，是真命题．所以真命题有①③④，共3个，选C．10．【正确答案】C【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，，则，∵，∴当时，四边形是平行四边形，即，解得：；②当点在的右侧时，根据题意得：，，则，∵，∴当时，四边形是平行四边形，即，解得：；综上可得：当或时，以为顶点四边形是平行四边形．故选C．11．【正确答案】B【分析】本题考查了“数独”填字游戏，主要使用了：①唯一候选数法；②唯一数法；③排除法；④摒除法等技巧．解题的关键是综合运用这些技巧来填字．【详解】根据题意处应填的汉字是“国”．如下图．

故选B．12．【正确答案】C【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．连接、，由题意可知垂直平分，则，设，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图，连接、，

正方形边长为4，，，点为中点，，点为中点，，垂直平分，，设，则，在中，，在中，，，解得：，故选C．13．【正确答案】/【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，表示的数为，∴，，∴，∴点表示点数为．14．【正确答案】5【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．【详解】解：考虑最差情况，先取出4个球，这4个球可能是红、白、黄、蓝四种颜色各取了一个，再取任意一个，就能保证两个球颜色相同．4+1=5（个），答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球．15．【正确答案】③【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意；②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意；③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意；④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意.16．【正确答案】【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可．【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，∴第个图中平行四边形的个数是.17．【正确答案】【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值．【详解】解：如下图所示，连接，，，，，，，，，．18．【正确答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的运用，运用整体思想求出的值是解题的关键．由勾股定理得，又，则，从而求出，然后利用面积公式即可求解．【详解】解：在中，，由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴的面积为.19．【正确答案】【分析】分别根据分子、分母的排列规律找出第100个数的分子、分母即可得解解答．【详解】解：经过观察，分母的排列规律如下：1个2、2个3、3个4、4个5、..，其中每个数的个数比这个数本身小1，并且都是按顺序排列，∵1+2+3+...+14=105，∴第100个数在第14组，分母为15，又1+2+3+...+13=91，∴第100个数为第14组的第9个数，∵每一组的分子排列规律都是从1开始，并且每次多1，∴第100个数的分子即为9，∴所求数为，故答案为．20．【正确答案】5【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答．【详解】解：∵在中，，∴是直角三角形，∵点分别是的中点，∴是斜边的中线，∴，∵，∴，∵分别是、的中点，∴是的中位线，∴．21．【正确答案】（1）；（2）．【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的加减运算就是把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式．首先把二次根式化为最简二次根式，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可；根据，可得，从而可得：，然后再把算式中的二次根式化为最简二次根，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：；（2）解：，，，．22．【正确答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据整式的运算法则进行化简，然后把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可．首先提公因式可得：原式，然后再把，代入化简后的代数式计算求值；首先利用完全平方公式把代数式整理可得：原式，然后再把，代入化简后的代数式计算求值．【详解】（1）解：，，

；（2）解：．23．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键：（1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证；（2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，，∵是的平分线，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）过点作，∵四边形是菱形；∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴四边形的面积为：．24．【正确答案】（1）见详解，（2）①，，；②是等腰直角三角形【分析】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据平移的性质即可得到结论；（2）①根据勾股定理计算即可；②根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【详解】（1）解：将点先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点．如图所示，点即为所求；（2）解：①由图形可得，，；②∵，∴，∴，，∴是等腰直角三角形．25．【正确答案】（1），（2）①；②2025【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式规律探究，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．（1）根据题目所给互为有理化因式的定义，以及平方差公式，即可求解；（2）①根据题目所给等式观察得出规律，即可进行解答；②根据①中总结的一般规律，先将第一个括号化简，再根据平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：根据互为有理化因式的定义可知，与互为有理化因式；，故；．（2）解：①；②．26．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证；（2）由平行四边形的性质和点E为中点证得是等边三角形，则，，则是等边三角形，即可证明，则，得到，由勾股定理得到，由的面积等于的面积即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，即平分；（2）∵四