2025-2026学年北京市石景山区景山远洋分校七年级下学期期中考试数学试题（含答案）

/北京市石景山区景山远洋分校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题一、单选题1．“九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2．以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（）A．2，2，3 B．4，5，7 C．5，12，13 D．10，10，103．如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（

）A．扩大9倍 B．扩大3倍C．缩小3倍 D．不变4．下列各式从左到右变形正确的是（

）A． B． C． D．5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（

）A．2 B．4 C．8 D．106．菱形和矩形都具有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角7．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（

）A． B．C． D．8．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（

）①当时，则．②当时，则．③当时，则．④当时，则．A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题9．如果分式有意义，那么实数的取值范围是______．10．如图，在数轴上点A表示的实数是________________．

11．如图所示的网格为正方形网格，则______．

12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________．13．如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．14．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为_____．15．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为____．16．如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，则第二个正方形的面积为_____________，第n个正方形的面积为_____________（用含n的代数式表示）．三、解答题17．计算：（1）.（2）.18．解方程：．19．已知，求代数式的值．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE21．如图，四边形和都是平行四边形.求证：四边形是平行四边形.22．已知：．求作：直线AD，使得．作法：如图，①分别以点A、点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；②作直线MN交AC于点E；③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接CD，∵______，______，∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理的依据）．∴（______）（填推理的依据）．23．如图，在矩形ABCD中，将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．（1）求证：；（2）若，求DF的长．24．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=8，∠ABC=60°，求矩形AODE的周长．25．列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26．在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算．参考小智的方法，完成下面的问题：（1）如果分式可以变形为（，为整数），求和的值；（2）求分式的最大值．27．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点P在AC上，点E在边AD上，作∠EPF＝90°，PF与射线AB交于点F．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段PE与PF之间的数量关系，并证明；（3）直接写出线段AE，AP和AF之间的数量关系．28．对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，．（1）（点，线段）=_____，（点，线段）=_____；（2）点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度；（3）过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围．

答案1．【正确答案】B【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为（，n为正整数），n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握科学记数法表示绝对值小于1的数的方法是解题的关键．【详解】解：，故选B．2．【正确答案】C【分析】根据勾股定理逆定理运算判断．【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意；D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；故选C．3．【正确答案】D【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键．根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论．【详解】解：把分式中和都扩大3倍，即：，∴分式的值不变．故选D．4．【正确答案】A【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：，则A符合题意；无法约分，则B不符合题意；，则C不符合题意；，则D不符合题意；故选．5．【正确答案】C【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，∴BC=2DE=2×4=8，故选C．6．【正确答案】A【分析】根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案．【详解】解：菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分，故选A．7．【正确答案】A【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可．【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，∴物体A的密度为，物体B的密度为．∵A，B两个物体的密度之比为，∴．故选A．8．【正确答案】C【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解．【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意；②当时，，则，∵，，不成立，故②不符合题意，④符合题意；③∵于点D，，∴，，∴，∴，∴，∴，故④正确，符合题意，∴正确的有①③④，故选C．9．【正确答案】【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可得出答案．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴．10．【正确答案】【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，∴点A表示的实数是.11．【正确答案】90【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解．本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵和中，，，，∵是的一个外角，，即，，．

12．【正确答案】70【分析】由菱形的性质可得的度数，再根据余角的性质可得答案．【详解】解：在菱形中，，，，，．13．【正确答案】（答案不唯一）【分析】先证明再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可．【详解】解：∵AE⊥BC，∴，∴∴补充：或或，∴四边形AEFD是矩形.14．【正确答案】6【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，．∴，∵平分，∴，∴，∴.15．【正确答案】16【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．【详解】解：由题意作出如下图，得，，，是直角三角形，则大正方形面积，面积，阴影部分的面积.16．【正确答案】2；【分析】根据勾股定理求出、、、，的边长，根据正方形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意，正方形的边长为1，则其面积为1；∴，正方形的面积为；∴，正方形的面积长为；……∴，正方形的面积为．17．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查了异分母分式加法，同分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答．（2）先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答．【详解】（1）解：；（2）解：．18．【正确答案】【分析】本题考查了解分式方程，注意解分式方程要检验；方程两边同乘，化为一元一次方程，解一元一次方程，最后检验即可．【详解】解：方程两边同乘，得：，解得：，检验：当时，，所以原方程的解为．19．【正确答案】，4【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，再算括号外的除法进行化简原式，然后根据，可以得到，最后代入化简后的式子计算即可．【详解】解：，，，原式．20．【正确答案】见详解.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD=BC，∴∠BAE=∠E，

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠E=∠DAE，

∴DA=DE，

又∵AD=BC，∴BC=DE．21．【正确答案】见详解.【分析】首先根据平行四边形的性质，可得AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF，进而得出AD∥EF，AD＝EF，即可判定.【详解】解：∵四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF．∴AD∥EF，AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．22．【正确答案】（1）见详解（2）EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，可得结论．【详解】（1）解：如图，直线AD即为所求；（2）证明：连接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）.23．【正确答案】（1）见详解（2）5【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，利用“AAS”证明三角形全等，即可求解；（2）根据（1）的全等三角形的性质得到，进而推出，然后根据勾股定理求．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴，．∵将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F，∴，，∴，．在和中，∴；（2）解：由（1）得，∴．∵，，∴．在中，，∴，∴．24．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD=90°，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）证△ABC是等边三角形，得AC=AB=8，则OA=4，再由勾股定理得OD=，然后由矩形的性质得AE=OD=，DE=OA=4，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

∴∠AOD=90°．∴四边形AODE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，，BO=OD．又∵∠ABC=60°，AB=8，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=8．∴．

．∴OD=BO=．∴矩形AODE的周长为2（AO+OD）=2×(4+)=8+25．【正确答案】30米【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，依题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．26．【正确答案】（1），（2）【分析】本题考查了分式的化简求值．（1）依题意，原分式可化为，可得解；（2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，，，，原分式的最大值为．27．【正确答案】（1）见详解（2）PE＝PF；见详解（3）【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，证出四边形PMAN是正方形，得出∠MPN＝90°，证明△PME≌△PNF（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝PF；（3）由全等三角形的性质得到ME＝NF，由等腰直角三角形的性质得到AP＝AN，根据线段和差可得出结论．【详解】（1）解：依题意补全图形如下，（2）PE＝PF；证明：过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC，∠M