2025-2026学年北京市延庆区七年级下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

/北京市延庆区2025-2026学年七年级下学期4月期中考试数学试卷一、单选题1．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（

）A． B．C． D．3．若，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．4．下列命题中，真命题是（

）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．相等的角是对顶角C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．同旁内角互补5．如果是关于的方程的解，那么等于（

）A．2 B． C．3 D．6．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是（）A．内错角相等，两直线平行B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，内错角相等D．两直线平行，同位角相等7．已知：是方程的三个解，是方程的三个解，则二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．8．如图，，则下列结论：①，②，③，④，其中一定成立的是（

）A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①③④9．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（

）A． B． C． D．10．如图，用8个大小相同的小长方形拼成一个宽为的大长方形，则大长方形的面积为（

）A．5400 B．864 C．675 D．45二、填空题11．如图，直线交于点，若，则的度数为___________．12．把“与的平方差是负数”用不等式表示为___________．13．不等式﹣2x≥4的解集是______．14．如图，在四边形中，点在边的延长线上，连接，如果添加一个条件，使得，那么可添加的条件为___________（写出一个即可）．15．已知关于的方程组的解是，则的值为___________．16．若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________．17．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是___________．18．我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有那么___________，___________．三、解答题19．按要求解下列不等式（组）（1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．20．解下列方程组：（1）（2）（3）四、填空题21．已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：．完成下面的推理过程：证明：∵，∴．（理由：____________________）∵，∴______________________．（理由：____________________）∴．（理由：___________________）五、解答题22．如图，直线相交于点，平分．（1）对顶角是___________；（2）若，求的度数．23．已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．24．如图，，于点，于点．求证：．25．某同学在做练习“平移，使得点移动到点，作出平移后的”时，不小心将画图的步骤弄乱了：①分别过做直线的平行线；②连接；③连接；④在直线上截取，在直线上截取上．请完成下面的问题：（1）请按照正确的画图步骤排序：___________；（2）画出平移后的图形．26．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车出租公司计划购进一批新能源汽车，据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元．（1）问、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划用1000万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且计划投入的资金正好用完，问共有几种购买方案？27．已知：点在直线上，线段，过点作，与的延长线交点．（1）如图1，点在点，点之间；①按题意补全图形；②用等式表示与之间的数量关系，并证明；（2）如图2，点在点右侧；①按题意补全图形；②若，则的度数为___________．（用含的式子表示）28．给出如下定义：对于两个关于的不等式，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有个整数，则称这两个不等式为“包含”．例如：对于不等式和，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有3个整数，则称这两个不等式为“包含”．（1）判断不等式和是否是“包含”，并说明理由；（2）若不等式和是“包含”，求的取值范围；（3）若不等式和是“包含”，直接写出的值．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查二元一次方程的解，将选项中的各组数值代入验证等式是否成立即可得到答案．理解二元一次方程的解是解决问题的关键．【详解】解：A、将代入二元一次方程，则，故该选项不符合题意；B、将代入二元一次方程，则，故该选项符合题意；C、将代入二元一次方程，则，故该选项不符合题意；D、将代入二元一次方程，则，故该选项不符合题意；故选B．2．【正确答案】D【分析】本题考查在数轴上表示不等式解集，根据不等式，从数轴上表示数的点出发，按照向左，没有画空心圈画出图形即可得到答案．熟练掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解决问题的关键．【详解】解：在数轴上表示不等式的解集，正确的是故选D．3．【正确答案】A【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．【详解】解：A．若，则不等式两边同时减去3得，，原变形成立，故本选项符合题意；B．若，则不等式两边同时减去得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；C．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；D．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意．故选A．4．【正确答案】C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；B、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；C、正确，必须强调在同一平面内；D、错误，两直线平行同旁内角才互补．故选C．5．【正确答案】A【分析】本题考查二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，先由二元一次方程解的定义，将代入关于的方程，解一元一次方程即可得到答案．熟记二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识是解决问题的关键．【详解】解：是关于的方程的解，，解得，故选A．6．【正确答案】B【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】由平行线的画法知道，画出的同位角相等，即同位角相等，两直线平行．∴同位角相等，两直线平行．故选B．7．【正确答案】C【分析】本题考查二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解，由题意求解即可得到答案，理解二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．【详解】解：由题意得二元一次方程组，结合二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解，是方程的三个解；是方程的三个解，元一次方程组的解是，故选C．8．【正确答案】D【分析】本题考查平行线的性质，涉及两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等等知识．熟记平行线的性质逐项验证是解决问题的关键．【详解】解：，，故①一定正确；与是否平行不确定，不一定与相等，故②不一定成立；，，故③一定正确；，，故④一定正确；综上所述，结论一定正确的是①③④，故选D．9．【正确答案】B【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程，是解题的关键．设共有人，有辆车，根据每3人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，列出方程组即可．【详解】解：设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为：，故选B．10．【正确答案】A【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设设小长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组进行求解即可．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则：由图可知：，解得：，∴大长方形的面积为；故选A．11．【正确答案】【分析】本题考查对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角的性质求解即可．【详解】解：∵直线交于点，若，∴．12．【正确答案】【分析】本题考查了列不等式，根据题意得，即可求解；理解题意是解题的关键．【详解】解：由题意得.13．【正确答案】x≤﹣2【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【详解】解：﹣2x≥4，x≤﹣2.14．【正确答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行；据此即可求解．【详解】解：添加的条件为：，理由：∵，∴．15．【正确答案】6【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，由题意得，解得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵关于的方程组的解是，∴，解得：，∴.16．【正确答案】【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【详解】解：由方程是关于x，y的二元一次方程，得|n|＝1且n﹣1≠0；解得n＝﹣1．17．【正确答案】【分析】本题考查由不等式组解集求参数范围，涉及不等式组的解法，先解不等式组中的不等式，再由不等式组解集即可得到答案．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键．【详解】解：关于的不等式组，由①得；由②得；关于的不等式组的解集为，.18．【正确答案】；【分析】本题考查了新定义下实数运算，数字变化规律，①根据题中给出的运算法则将变形为，再代入计算即可；②先找到规律，发现每四个数为一个周期，相加和为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：，.19．【正确答案】（1）（2）．所有整数解是．【分析】本题主要考查解不等式（组），掌握不等式的性质是关键．（1）根据不等式的性质求解，并把解集表示在数轴上即可；（2）根据不等式的性质求解，再根据不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小无解”得到解集，最后根据整数解计算即可．【详解】（1）解：，移项，得，系数化为1，得，这个不等式的解集在数轴上表示为：（2）解：，由①得：，由②得，，∴原不等式组的解集为，∴原不等式组的所有整数解是．20．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解三元一次方程组等知识点，掌握加减消元法成为解题的关键．（1）直接运用加减消元法求解即可；（2）①可得③，然后运用加减消元法求解即可；（3）①②可得④，③④得，解得：．进而求得x、y的值即可解答．【详解】（1）解：①②，得，解得．把带入①，得，解得：．∴原方程组的解为：．（2）解：①得，③．②-③可得：，解得：，把代入，解得：．∴原方程组的解为：（3）解：①②，得，即④

③④，得，解得：．把代入③可得：，解得：．把代入①，得，解得：．∴原方程组的解为：21．【正确答案】见详解【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用两直线平行，同旁内角互补求得，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可证明．【详解】证明：∵，∴，（两直线平行，同旁内角互补）∵，∴，（同角的补角相等）∴．（内错角相等，两直线平行）22．【正确答案】（1）（2）150°【分析】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的定义和几何图形中角度的计算，熟知相关知识是解题的关键．（1）有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此求解即可；（2）根据角平分线的定义和对顶角线段得到，设，则，根据平角的定义可得，据此建立方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，的对顶角为；（2）解：∵平分．∴．∵，∴．∵，∴设，则．∴．∵，∴

∴．即：．∴．23．【正确答案】【分析】本题考查由二元一次方程组解的情况求参数，先解二元一次方程组，再将解代入不等式得到关于不等式，即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．【详解】解：关于的二元一次方程组，∴由①，得③，∴由②③，得，∴，把代入②，得，∴，∵原方程组的解满足，∴，∴，∴的取值范围是．24．【正确答案】见详解【分析】本题考查平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握行线的判定与性质定理是解题的关键．先证明得到，再证明，得到，即可得出结论．【详解】证明：∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．25．【正确答案】（1）③①④②（2）见详解【分析】本题考查作图-平移变换、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．（1）根据题意可得答案．（2）根据作图步骤直接画图即可．【详解】（1）解：由题意得，正确的画图步骤排序为：③①④②．（2）解：如图，即为所求．26．【正确答案】（1）种型号的汽车每辆进价为16万元，种型号的汽车每辆进价为25万元（2）①种型号的汽车25辆，种型号的汽车24辆；②种型号的汽车50辆，种型号的汽车8辆【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．根据2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元建立方程组求解即可；（2）设购买种型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据购买费用为1000万建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案．【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．由题意，得

解此方程组，得经检验，是原方程组的解，也符合实际情况．答：种型号的汽车每辆进价为16万元，种型号的汽车每辆进价为25万元．（2）解：设购买种型号的汽车辆，种型号的汽车辆．∴．∴．根据实际意义，则均为非负整数．∴当时，则；当时，则；当时，则；∵两种型号的汽车均购买，∴舍去．答：所有的租车方案为：①种型号的汽车25辆，种型号的汽车24辆；②种型号的汽车50辆