2024-2025学年北京市宣武外国语实验学校七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2024-2025学年北京市宣武外国语实验学校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）在平面直角坐标系中，（﹣2，1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2分）在实数：，，0.121221222…，π中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2分）在下列各式中，正确的是（）A．4 B．2 C．2 D．54．（2分）利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（）A． B． C． D．5．（2分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为点E，F．若AB∥CD，下列结论错误的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠1＝∠5 D．∠3+∠AEF＝180°6．（2分）已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（）A．﹣a＞﹣b B．2a﹣1＞3b﹣1 C．a+3＞b+3 D．4a＜4b7．（2分）已知是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝1的一个解，那么a的值为（）A．2.5 B．1 C．﹣2.5 D．﹣18．（2分）下列命题中真命题有（）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CD∥AB的是（）①∠1＝∠4②∠2＝∠3③∠5＝∠B④∠DCB+∠B＝180°A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②10．（2分）某中学七年级举办了“精彩思辨”大赛．真真，灵灵，颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．表格是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法不正确的是（）第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮最后得分真真ca25灵灵cc12颖颖bb13①真真可能有一轮比赛获得第二名②灵灵可能有四轮比赛获得第三名③颖颖有一轮比赛获得第一名A．①② B．②③ C．③ D．①②③二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）9的算术平方根是．12．（2分）比较大小：6；1．13．（2分）将“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为．14．（2分）如图是北京地铁部分线路图，若崇文门站的坐标为（4，﹣1），北海北站的坐标为（﹣2，4），则建国门站的坐标为．15．（2分）已知点P（2m+1，4﹣m）在过点A（﹣2，3）且与x轴平行的直线上，则P点坐标为．16．（2分）如图，已知∠α与∠β共顶点O，∠α+∠β＜180°，∠α∠β．若∠β的邻补角等于∠α，则∠β＝度．17．（2分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝3的解，则k＝．18．（2分）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2025的位置，则P5的坐标为，P2025的坐标为．三、解答题（第19题5分，第20-21每题8分，第22题5分，第23-26题每题6分，27-28每题7分，共64分）19．（5分）计算：|2|．20．（8分）解下列方程组：（1）；（2）．21．（8分）解下列不等式（组）：（1）解不等式，并写出它的所有正整数解．（2）解不等式组，并用数轴表示解集．22．（5分）如图，点B在∠MAN的边AM上，按要求作图并回答问题：（1）过点B作AM边的垂线l；（2）过点B作AN边的垂线段BC；（3）过点A作BC的平行线交直线l于点D；（4）比较AB、BC、AD三条线段的长度，并用“＞”连接：，得此结论的依据是．23．（6分）如图，BE平分∠ABC，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，试说明DF∥AB．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2（①），∵∠E＝∠1（已知），∴∠E＝∠2（等量代换），∴②（内错角相等，两直线平行），∴∠A+∠ABC＝180°（③），∵∠3+∠ABC＝180°（已知），∴④（同角的补角相等）∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，3），B（3，1），C（1，2）．将三角形ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形A1B1C1，其中点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应．（1）画出平移后的三角形A1B1C1；（2）计算△ABC的面积是；（3）已知点P在y轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为2，直接写出P点的坐标为．25．（6分）已知：如图，AE⊥BC于点H，FG⊥BC于点K，∠1＝∠2，求证：∠CDB+∠ABD＝180°．26．（6分）某校组织七年级师生共480人参观博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没座位．（1）A，B两种车型各有多少个座位？（2）若A型车日租金为350元，B型车日租金为400元，且租车公司最多能提供7辆B型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少？并求出最少租金．27．（7分）如图，已知线段AB，点C是线段AB外一点，连接AC，∠CAB＝α（90°＜α＜180°），将线段AC沿AB平移得到线段BD．点P是线段AB上一动点，连接PC，PD．（1）依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）过点C作直线l∥PD．在直线l上取点M，使．①当α＝110°时，画出图形，并直接用等式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系；②在点P运动的过程中，当点P到直线l的距离最大时，∠BDP的度数是（用含α的式子表示）．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形G，若图形G上存在点M和点N，使得点M为线段PN中点，则称点P是图形G的“和谐美点”．已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1），P（t，0），Q（t+2，0）．（1）在点中，是线段OA的“和谐美点”；（2）①在平面直角坐标系中画出正方形OABC（含内部）的“和谐美点”组成的区域，并直接写出其面积；②过P作平行于y轴的直线l，若l上存在正方形OABC（含内部）的“和谐美点”，则t的取值范围为；（3）以线段PQ为对角线作正方形，若该正方形（含内部）的“和谐美点”都不是正方形OABC（含内部）的“和谐美点”，直接写出t的取值范围．

2024-2025学年北京市宣武外国语实验学校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCBCCCDBCD一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）在平面直角坐标系中，（﹣2，1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：∵（﹣2，1）的横坐标小于0纵坐标大于0，∴（﹣2，1）所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（2分）在实数：，，0.121221222…，π中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．【解答】解：2，所以在实数：，，0.121221222…，π中，无理数有，0.121221222…，π，共3个．故选：C．【点评】本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是关键．3．（2分）在下列各式中，正确的是（）A．4 B．2 C．2 D．5【分析】根据算术平方根和平方根的概念求解即可．【解答】解：A．4，此选项错误；B．2，此选项正确；C．2，此选项错误；D．±±5，此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．4．（2分）利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据大小小大中间找，可得答案．【解答】解：不等式组的解集是2＜x＜3，故选：C．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（2分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为点E，F．若AB∥CD，下列结论错误的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠1＝∠5 D．∠3+∠AEF＝180°【分析】利用平行线的性质以及对顶角相等逐项分析即可得到正确结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠4＝∠3＝∠5，∠3+∠AEF＝180°，不能得到∠1＝∠5，故C选项错误，符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握其相关性质是解题的关键．6．（2分）已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（）A．﹣a＞﹣b B．2a﹣1＞3b﹣1 C．a+3＞b+3 D．4a＜4b【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】解：（A）∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故A错误；（B）∵a＞b，2a不一定大于3b，故B错误；（D）∵a＞b，∴4a＞4b，故D错误；故选：C．【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．7．（2分）已知是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝1的一个解，那么a的值为（）A．2.5 B．1 C．﹣2.5 D．﹣1【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．【解答】解：由题意得，3a+4＝1．∴a＝﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．8．（2分）下列命题中真命题有（）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线的判定与性质、垂直的相关定理逐项判断．【解答】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以原命题是真命题；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以原命题是假命题；③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，所以原命题是假命题；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题是真命题；故选：B．【点评】本题考查定理与命题，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、垂直的相关定理．9．（2分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CD∥AB的是（）①∠1＝∠4②∠2＝∠3③∠5＝∠B④∠DCB+∠B＝180°A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可．【解答】解：①当∠1＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得CD∥AB，故①符合题意；②当∠2＝∠3时，由内错角相等，两直线平行得BC∥AD，故②不符合题意；③当∠5＝∠B时，由同位角相等，两直线平行得CD∥AB，故③符合题意；④当∠DCB+∠B＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得CD∥AB，故④符合题意；故符合题意的有①③④．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．10．（2分）某中学七年级举办了“精彩思辨”大赛．真真，灵灵，颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．表格是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法不正确的是（）第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮最后得分真真ca25灵灵cc12颖颖bb13①真真可能有一轮比赛获得第二名②灵灵可能有四轮比赛获得第三名③颖颖有一轮比赛获得第一名A．①② B．②③ C．③ D．①②③【分析】首先根据若每轮比赛第一名得分a为5，则真真最后得分最高为23得出a＞5，然后由b+c≥3可知a≤7，若a＝7，b＝2，c＝1，则真真剩余3轮的得分和为17，此情况不存在，所以a＝6，b＝3，c＝1，进而可得出她们的得分情况，问题得解．【解答】解：由题意得：（a+b+c）×5＝25+12+13，∴a+b+c＝10（a＞b＞c且a，b，c均为正整数），若每轮比赛第一名得分a为5，则真真最后得分最高为：4×5+3＝23＜25，∴a＞5，∵b+c≥3，∴a≤7，∴5＜a≤7，若a＝7，b＝2，c＝1，则真真剩余3轮的得分和为25﹣7﹣1＝17，此情况不存在，∴a＝6，∴b＝3，c＝1，∴真真4轮第一，1轮第三，①不正确；灵灵1轮第一，1轮第二，3轮第三，②不正确；颖颖4轮第二，1轮第三，③不正确；故选：D．【点评】本题考查了逻辑推理能力，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）9的算术平方根是3．【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3，故答案为：3．【点评】本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．12．（2分）比较大小：＜6；1＞．【分析】根据，可得；根据可得，，据此可得答案．【解答】解：∵，6，∴；∵，∴，∴，，∴；故答案为：＜；＞．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知实数比较大小的法则是解题的关键．13．（2分）将“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【分析】分清命题的题设和结论，即可把一个命题改写成“如果…，那么…”的形式．【解答】解：把“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【点评】本题考查命题与定理，余角和补角，关键是掌握把一个命题改写成“如果…，那么…“的形式的方法．14．（2分）如图是北京地铁部分线路图，若崇文门站的坐标为（4，﹣1），北海北站的坐标为（﹣2，4），则建国门站的坐标为（7，2）．【分析】先根据崇文门站和北海北站的坐标，建立平面直角坐标系，然后写出建国门站的坐标．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，建国门站的坐标为（7，2），故答案为：（7，2）．【点评】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标正确得出坐标原点的位置是解题的关键．15．（2分）已知点P（2m+1，4﹣m）在过点A（﹣2，3）且与x轴平行的直线上，则P点坐标为（3，3）．【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可．【解答】解：∵点P（2m+1，4﹣m）在过点A（﹣2，3）且与x轴平行的直线上，∴4﹣m＝3，∴m＝1．∴2m+1＝3，∴P（3，3）．故答案为：（3，3）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的坐标特征．16．（2分）如图，已知∠α与∠β共顶点O，∠α+∠β＜180°，∠α∠β．若∠β的邻补角等于∠α，则∠β＝120度．【分析】设∠α＝x，则∠β＝3x，利用邻补角的性质构造方程得到答案．【解答】解：设∠α＝x，则∠β＝3x，根据题意得：解得：，解得：x＝40°，∴∠β＝3x＝120°，故答案为：120．【点评】此题主要考查了邻补角的定义，关键是掌握补角：补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．邻补角更具有补角的性质．利用等量关系构造方程是解题的关键．17．（2分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝3的解，则k＝2．【分析】先将两个方程相加，得出2x+2y＝3k，即x+y，再根据x+y＝3，可得，再根据解一元一次方程的方法求解即可．【解答】解：，①+②，得2x+2y＝3k，即，∵x+y＝3，∴，去分母，得3k＝6，解得：k＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解一元一次方程，掌握二元一次组解的定义，二元一次方程解的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键．18．（2分）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2025的位置，则P5的坐标为（5，1），P2025的坐标为（2025，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解．【解答】解：由图可知：P1（1，1），P2（2，0），P3（2，0），P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0），P7（6，0），P8（7，1）…，纵坐标每4个一循环，∵2025÷4＝506…1，∴P2025在506次循环后纵坐标与P1对应，由P1（1，1），P5（5，1），…可知，其横坐标即为翻转次数，∴P2025的横坐标为：2025，则P2025的坐标为：（2025，1），故答案为：（5，1），（2025，1）．【点评】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．三、解答题（第19题5分，第20-21每题8分，第22题5分，第23-26题每题6分，27-28每题7分，共64分）19．（5分）计算：|2|．【分析】二次根式的计算与绝对值的化简．【解答】解：|2|2+2．【点评】考查二次根式的混合运算，注意绝对值的化简．20．（8分）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）直接运用代入消元法求解即可；（2）直接运用代入消元法求解即可．【解答】解：（1），把①代入②，得，2x﹣（4﹣x）＝﹣1，2x﹣4+x＝﹣1，解得：x＝1，把x＝1代入①，得：y＝3，方程组的解是；（2），由②得：x＝2y③，把③代入①得：2×2y+y＝5，4y+y＝5，解得：y＝1，把y＝1代入③中，得：x＝2，方程组的解是．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是关键．21．（8分）解下列不等式（组）：（1）解不等式，并写出它的所有正整数解．（2）解不等式组，并用数轴表示解集．【分析】（1）先求出不等式的解集，再求出其正整数解即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再在数轴上表示即可．【解答】解：（1），去分母得，1+2x＞3x﹣3，移项得：2x﹣3x＞﹣3﹣1，合并同类得：﹣x＞﹣4，系数化为1得：x＜4，∴原不等式的解集为：x＜4，∴正整数解为1，2，3；（2），由①得：x＜2；由②得：x≥﹣1，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，数轴表示为：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．22．（5分）如图，点B在∠MAN的边AM上，按要求作图并回答问题：（1）过点B作AM边的垂线l；（2）过点B作AN边的垂线段BC；（3）过点A作BC的平行线交直线l于点D；（4）比较AB、BC、AD三条线段的长度，并用“＞”连接：AD＞AB＞BC，得此结论的依据是垂线段最短．【分析】（1）过点B作AM边的垂线l即可；（2）过点B作AN边的垂线段BC即可；（3）过点A作BC的平行线交直线l于点D；（4）根据垂线段最短判断即可．【解答】解：（1）如图，垂线l即为所求；（2）如图，线段BC即为所求；（3）如图，AD即为所求；（4）根据图象即可得出：AD＞AB＞BC；得此结论的依据是：垂线段最短．故答案为：AD＞AB＞BC；垂线段最短．【点评】本题主要考查了﹣基本作图，垂线，平行线的判定，以及线段比较大小，解题的关键是理解题意，作出相关图形．23．（6分）如图，BE平分∠ABC，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，试说明DF∥AB．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2（①角平分线的定义），∵∠E＝∠1（已知），∴∠E＝∠2（等量代换），∴②AE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠A+∠ABC＝180°（③两直线平行，同旁内角互补），∵∠3+∠ABC＝180°（已知），∴④∠A＝∠3（同角的补角相等）∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．【分析】根据题意结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2（角平分线的定义），∵∠E＝∠1（已知），∴∠E＝∠2（等量代换），∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠3+∠ABC＝180°（已知），∴∠A＝∠3（同角的补角相等）∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；AE∥BC，两直线平行，同旁内角互补；∠A＝∠3．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，3），B（3，1），C（1，2）．将三角形ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形A1B1C1，其中点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应．（1）画出平移后的三角形A1B1C1；（2）计算△ABC的面积是2.5；（3）已知点P在y轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为2，直接写出P点的坐标为（0，0）或（0，8）．【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．（2）利用割补法求三角形的面积即可．（3）设点P坐标为（0，y），则可列方程，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）△ABC的面积是；故答案为：2.5；（3）设点P坐标为（0，y），∵以A1、B1、P为顶点的三角形面积为2，可得：，解得：y＝0或8，∴P（0，0）或（0，8），故答案为：（0，0）或（0，8）．【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．25．（6分）已知：如图，AE⊥BC于点H，FG⊥BC于点K，∠1＝∠2，求证：∠CDB+∠ABD＝180°．【分析】先证得AE∥GF，由平行线的性质得到∠1＝∠A，进而证得∠2＝∠A，由平行线的判定定理得到AB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AE⊥BC于点H，FG⊥BC于点K，∴AE∥GF，∴∠1＝∠A，∵∠2＝∠1，∴∠2＝∠A，∴AB∥CD，∴∠CDB+∠ABD＝180°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键熟练掌握平行线的性质和判定，能正确运用定理进行推理、计算是解此题的关键．26．（6分）某校组织七年级师生共480人参观博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没座位．（1）A，B两种车型各有多少个座位？（2）若A型车日租金为350元，B型车日租金为400元，且租车公司最多能提供7辆B型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少？并求出最少租金．【分析】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，根据“若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没座位”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租m辆A型车，n辆B型车，根据师生人数＝45×租用A型车辆数+60×租用B型车辆数，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n为整数结合n≤7即可得出各租车方案，再利用总费用＝350×租用A型车辆数+400×租用B型车辆数即可求出各租车方案所需费用，比较后即可求出最少租金．【解答】解：（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，依题意，得：，解得：．答：每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位；（2）设租m辆A型车，n辆B型车，依题意，得：45m+60n＝480，解得：n＝8m．∵m，n为整数，∴（舍去），，，∴有两种租车方案，方案1：租4辆A型车、5辆B型车；方案2：租8辆A型车、2辆B型车．当租4辆A型车、5辆B型车时，所需费用为350×4+400×5＝3400（元），当租8辆A型车、2辆B型车时，所需费用为350×8+400×2＝3600（元）．∵3400＜3600，∴租4辆A型车、5辆B型车所需租金最少，最少租金为3400元．【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．27．（7分）如图，已知线段AB，点C是线段AB外一点，连接AC，∠CAB＝α（90°＜α＜180°），将线段AC沿AB平移得到线段BD．点P是线段AB上一动点，连接PC，PD．（1）依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）过点C作直线l∥PD．在直线l上取点M，使．①当α＝110°时，画出图形，并直接用等式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系；②在点P运动的过程中，当点P到直线l的距离最大时，∠BDP的度数是α﹣90°（用含α的式子表示）．【分析】（1）先补全图形然后过点P作AC的平行线，根据平移的性质和平行线的性质即可证明结论；（2）①分DM在∠CDP外部和在∠CDP内部两种情况，将∠BDM写成三个角的和或者差的形式，再根据三角形内角和定理和已知条件推出角之间的关系，即可表示出∠BDM与∠BDP之间的数量关系；②当直线l垂直于线段AB所在的直线时，点P到直线l的距离最大，通过计算求出结果即可．【解答】解：（1）补全图形如图1：证明：根据平移的性质可知，AC∥BD，如图2，过点P作PE∥AC∥BD，∴∠ACP＝∠CPE，∠BDP＝∠DPE，∵∠CPD＝∠CPE+∠DPE，∴∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）①解：当DM在∠CDP外部时，如图3，∵∠BDM＝∠BDP+∠CDP+∠MDC，∠MDC∠CDP，∴∠BDM＝∠BDP∠CDP，∵∠CAB＝α＝110°，∴∠B＝70°，∵∠CDP＝180°﹣∠B﹣∠BDP＝110°﹣∠BDP，∴∠BDM＝∠BDP（110°﹣∠BDP）＝165°∠BDP；当DM在∠CDP内部时，如图4，∵∠BDM＝∠BDP+∠CDP﹣∠MDC，∠M