第八章 成对数据的统计分析单元检测卷 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章成对数据的统计分析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.三名同学分别从英语和日语中选修一门外语课程,选法种数为()A.C32 B.A32 C.22.1x-xA.45 B.10 C.-45 D.-103.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的经验回归方程为y^A.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kgB.经验回归直线过样本点的中心(x,C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.y与x正相关4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x/万元1245销售额y/万元10263549根据上表可得经验回归方程为y^=9x+aA.56万元 B.57万元 C.58万元 D.59万元5.人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”,表中给出了1968年之前部分男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据:第x次12345年份19301936195619601968纪录/s10.3010.2010.1010.009.95如果变量y与x之间具有线性相关关系,设用最小二乘法建立的经验回归方程为y^=-0.09x+aA.变量y与x之间是正相关关系 B.变量y与x之间的样本相关系数r>0C.a^=10.38 6.下列说法正确的是()A.对分类变量X与Y的独立性检验的统计量χ2来说,χ2越小,判断“X与Y有关联”的把握性越大B.在残差图中,残差分布的以取值是0的横轴为对称轴的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高C.若一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)的对应样本点都在直线y=-2x+3上,则这组样本数据的样本相关系数r为1D.数据-1,1,2,4,5,6,8,9的第25百分位数是27.下列关于统计概率知识的判断正确的是()A.将总体划分为两层,通过分层随机抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为x,y和s12,B.在研究成对数据的相关关系时,相关关系越强,样本相关系数r越接近1C.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X≥-1)+P(X≥5)=1,则μ=2D.经验回归直线y^=b^x+8.千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气,得到如下2×2列联表:单位:天日落云里走夜晚天气合计下雨未下雨出现25530未出现254570合计5050100计算得到χ2≈19.05,下列小波对地区A天气判断不正确的是()A.夜晚下雨的概率约为1B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为5C.在犯错误的概率不大于0.001的前提下,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”有关联D.依据α=0.001的独立性检验,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”无关联二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于(1x+x3)n(n∈N*A.存在n∈N*,展开式中有常数项B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项10.新能源汽车的核心部件是动力电池,碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始,碳酸锂的价格一直升高,下表是2022年我国某企业前5个月购买的碳酸锂的价格与月份的统计数据.月份代码x12345碳酸锂价格y0.50.811.21.5若y关于x的经验回归方程为y^=0.24x+aA.y与x的样本相关系数r<0B.a^C.经验回归直线y^=0.24x+aD.由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.7211.下列结论正确的有()A.数据4,1,6,2,9,5,8的第60百分位数为5B.若随机变量ξ~N(1,σ2),P(ξ≤-2)=0.21,则P(ξ≤4)=0.79C.已知经验回归方程为y^=b^x+1.8,且x=2,D.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=9.632,依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验(x0.001=10.828),可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不大于0.00112.下列说法正确的有()A.已知离散型随机变量X~B4,1B.一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158C.若P(A)=14,P(B)=23,P(AB)=D.直线l1:x+(1+m)y=2-m与直线l2:mx+2y+8=0平行的充要条件是m=1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查,相关数据如下表.年龄区间[0,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]赋值变量x12345人群数量y2378a若由最小二乘法得y与x的经验回归方程为y^=2.1x^-0.3,则a=14.某高校“统计初步”课程的教师随机统计了一些学生的情况,具体数据如下表:单位:人性别不选该课程选择该课程男1310女720根据表中的数据,依据α=0.05的独立性检验,认为选择该门课程与性别关联.(填“有”或“没有”)

附:α0.10.050.01xα2.7063.8416.63515.已知变量x和y的统计数据如下表:x678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归方程为y^=0.8x+a^,则x=10时的残差为16.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了100名50岁以下的人,调查结果如下表:是否吸烟是否患慢性气管炎合计患慢性气管炎未患慢性气管炎吸烟20b40不吸烟c5560合计2575100根据列联表数据,求得χ2≈(精确到0.001).依据α=0.001的独立性检验,我们推断患慢性气管炎与吸烟.(填“有关联”或“无关联”)附:α0.050.010.001xα3.8416.63510.828χ2=n(四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知某校5名学生的数学成绩和物理成绩(满分均为100分)如下表:学生的编号i12345数学成绩xi8075706560物理成绩yi7066686462(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩的概率是多少?(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y关于x的经验回归方程.(3)利用残差分析经验回归方程的拟合效果,若残差和在区间(-0.1,0.1)内,则称经验回归方程为“优拟方程”,问:该经验回归方程是否为“优拟方程”?参考数据和公式:y^=b^x+a^,其中b^=∑i=1nxi18.(12分)南水北调中线工程建成以来,通过生态补水和减少地下水开采,华北地下水位有了较大的回升,水质有了较大的改善,为了研究地下水位的回升情况,对2015年至2021年河北某平原地区地下水位埋深进行统计如下表:年份2015201620172018201920202021埋深/米25.7425.2224.9523.0222.6922.0320.36根据散点图知,该地区地下水位埋深y与年份代码t(2015年作为第1年)可以用直线y=bt+a拟合.(1)根据所给数据求经验回归方程y^=b(2)从2016年至2021年这6年中任取3年,该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份数为X,求X的分布列与数学期望.参考数据:∑i=17yi=164.01,∑i=1参考公式:y^=b^t+19.(12分)由mn个小正方形构成的长方形网格有m行和n列.每次将一个小球放到一个小正方形内,放满为止,记为一轮.每次放白球的概率为p,放红球的概率为q,p+q=1.(1)若m=2,p=q=12n12345y7656423026由表中数据可知,y=ebn+a适宜作为y关于n的回归方程类型,求y关于n的经验回归方程,并预测n=10时y^(2)若m=2,n=2,p=13,q=2附:y^=b^x+a^,其中b^=20.(12分)为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表.记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]甲班频数56441乙班频数13655(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验,能否认为成绩优良与教学方式有关联?单位:人成绩班级合计甲班乙班优良不优良合计(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层随机抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记乙班成绩不优良的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:χ2=n(α0.10.050.01xα2.7063.8416.63521.(12分)疫苗在上市前必须经过严格的检测,并通过临床实验获得相关数据,以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下:单位:只疫苗病毒A合计未感染感染未注射40px注射60qy合计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到感染病毒A的小白鼠的概率为35(1)求2×2列联表中的数据p,q,x,y的值;(2)依据α=0.05的独立性检验,分析该型号疫苗对预防病毒A的有效性;(3)在感染病毒的小白鼠中,按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取10只进行病例分析,然后从这10只小白鼠中随机抽取4只对注射疫苗情况进行核实,记X为4只中未注射疫苗的小白鼠的只数,求X的分布列与期望E(X).附:χ2=n(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82822.(12分)混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点,是目前使用量最大的土木建筑材料.抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数之一,也是实际工程对混凝土要求的基本指标.为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位:MPa)随龄期(单位:天)的发展规律,质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期xi(i=1,2,3,…,10)分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时抗压强度yi的值,并对数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+dlnx哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的经验回归方程类型,选择其中的一个模型,并根据表中数据,建立y关于x的经验回归方程.(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f28视作混凝土抗压强度标准值.已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40MPa.①试预测该批次混凝土是否达标?②由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定,早期预测在工程质量控制中具有重要意义.经验表明,该型号混凝土第7天的抗压强度f7与第28天的抗压强度f28具有线性相关关系,且符合f28=1.2f7+7,试估计在早期质量控制中,龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度.参考数据:ln2≈0.69,ln7≈1.95.xyw∑i=110(xi-∑i=110(wi-∑i=110(xi-x)(yi∑i=110(wi-w)(yi9.429.723665.5439.255表中wi=lnxi,w=110附:b^参考答案1.C因为每个同学均有2门外语课程可以选择,所以不同的选法有2×2×2=23种.故选C.2.A1x-x10的展开式的通项为Tk+1=C10k(令32故x-7的系数等于C102(-1)故选A.3.A对于A,当某女生的身高为170cm时,其体重的估计值为58.79kg,这不是确定值,所以A结论不正确;对于B,因为经验回归直线必过样本点的中心(x,对于C,由经验回归方程的意义知,某女生的身高增加1cm,其体重约增加0.85kg,所以C结论正确;对于D,由于经验回归方程中x的系数为0.85,因此y与x正相关,所以D结论正确.故选A.4.Bx=3,y=30,所以30=9×3+a^,a当x=6时,y^5.C因为-0.09<0,所以x与y负相关,即样本相关系数r<0,故A,B错误;依题意x=1+2+3+4+55因为经验回归直线y^=-0.09x+a^必过(即10.11=-0.09×3+a^解得a^经验回归方程为y^=-0.09x+10.38,则当x=6时,y即下一次世界纪录估计为9.84s,它是一个预测值,不是确定值,故D错误.故选C.6.B对于A,由独立性检验可知,χ2越大,判断“X与Y有关联”的把握性越大,故A错误;对于B,在残差图中,残差分布的水平带状区域越窄,说明波动越小,即模型的拟合精度越高,故B正确;对于C,样本点都在直线y=-2x+3上,说明样本相关系数为-1,故C错误;对于D,8个数据从小到大排列,由于8×0.25=2,所以第25百分位数是1+22故选B.7.C对于A,设两层数据分别记为x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn,因为x=y,所以总的样本平均数w=mx+nym+n=mx+nxm+对于B,相关性越强,|r|越接近1,故B错误;对于C,若P(X≥-1)+P(X≥5)=1,则P(X≥-1)=P(X<5),∴μ=5+(-对于D,经验回归直线y^=b^x+故选C.8.D由题意,把频率看作概率可得夜晚下雨的概率约为25+25100=12,故A正确;未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为2525+459.AD10.BCD由题意可得,x=15∑i=15(xi-x)(yi∑i=15(xi-x)2=(1-3)∑i=15(yi-y)2=(0.5-1)则y与x的样本相关系数r=∑i由y关于x的经验回归直线y^=0.24x+a^恒过(x,y),则有1=0.24×3+由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为0.24×6+0.28=1.72,故D正确.故选BCD.11.BC数据4,1,6,2,9,5,8整理为1,2,4,5,6,8,9,7×60%=4.2,则数据4,1,6,2,9,5,8的第60百分位数为6,故A错误;随机变量ξ~N(1,σ2),P(ξ≤-2)=0.21,则P(ξ≤4)=1-P(ξ≤-2)=0.79,故B正确;经验回归方程为y^=b^x+1.8,且x=2,y=20,则20=零假设为H0:X与Y相互独立,χ2=9.632<10.828=x0.001,依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为X与Y相互独立,故D错误.故选BC.12.BCD对于A,根据二项分布的方差公式,可得D(X)=4×13×1-对于B,10×75%=7.5,根据百分位数的定义,这组数据的第75百分位数为158,故B正确;对于C,∵P(B)=23∴P(B)=1-23∴P(A)P(B)=14对于D,若m=1,则l1:x+2y=1与l2:x+2y=-8平行,故充分性满足,若直线l1:x+(1+m)y=2-m与直线l2:mx+2y+8=0平行,则1×2=(故选BCD.13.10由题意可知x=1+2+3+4+55=3,y14.有零假设为H0:选择该门课程与性别无关联.根据表中的数据,得到χ2=50×(13×20-10×7)15.-0.1x=6+7+8+9+105=8,y=3所以y^当x=10时,y^所以x=10时的残差为6.5-6.6=-0.1.16.22.222有关由20+b=40,得b=20.由20+c=25,得c=5.零假设为H0:患慢性气管炎与吸烟无关联.故χ2=100×(20×55-依据α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患慢性气管炎与吸烟有关联,此推断犯错误的概率不超过0.001.17.解(1)记事件A为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”,则P(A)=2(2)因为x=80+75+70+65+605=70,y=70+66+68+64+62所以经验回归方程为y^(3)x1=80,y^1=69.6;x2=75,y^2=67.8;x3=70,y^3=66;x4=65,∑i=15(yi因为0∈(-0.1,0.1),所以该方程为“优拟方程”.18.解(1)由题知,t=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4,y=又∑i=17(ti-t)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)所以b^所以a^所以经验回归方程为y^令t=9,则y=-0.885×9+26.97=19.005.所以预测2023年该平原地区地下水位埋深约为19.005米.(2)由题知,在2016年至2021年6年中,该地区共有4年地下水位回升超过0.5米,所以X的取值可能为1,2,3,则P(X=1)=C2P(X=2)=C2P(X=3)=C2所以X的分布列为X123P131所以E(X)=1×15+2×319.解(1)y=ebn+a两边同时取对数可得lny=bn+a,设z=lny,先建立z关于n的经验回归方程.由题意知n=故b^=∑所以a^所以z关于n的经验回归方程为z^因此y关于n的非线性经验回归方程为y^=e-0.4n+5所以,当n=10时,y^(2)由题意知X的取值可能为0,1,2,记“含红球的行数为k”为事件Ak(k=0,1,2),记“每列都有白球”为事件B,所以P(X=0)=P(A0|B)=P(P(X=1)=P(A1|B)=P(P(X=2)=P(A2|B)=P(所以X的分布列为X012P11