安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期3月阶段考数学试题（北师大版） 含解析

级高二下学期3月阶段考数学（北师大版）试题在答题卡上作答．第Ⅰ卷（选择题共分）一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．1.（）A.14B.16C.18D.24【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.【详解】由排列数和组合数的公式，可得.故选：C.2.若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可.【详解】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为，则双曲线E的顶点为，焦点为，则双曲线E的标准方程为第1页/共19页故选：D3.已知随机变量，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.【详解】由，得，故．故选：B4.“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，若点在圆外，则，则圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交，即“点在圆外”“直线与圆相交”；若直线与圆相交，则，可得，不妨取，，则，此时，点在圆内，在圆外”“直线与圆相交”.在圆外”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.故选：A.5.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：第2页/共19页广告支出x/万2581519元利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）A.30万元B.32万元C.36万元D.40万元【答案】D【解析】【分析】先得求数据的中心点，代入得，再由求得即得.【详解】，，因过点，故，得，故当时，，得，故选：D6.已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案.【详解】点的坐标为，动点满足，故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，圆的方程为，圆心与原点的距离为，则的最大值为.故选：B第3页/共19页7.已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，的周长为理，即可求出离心率.【详解】由可知，，由得，点共线.又，设，连接，则，由椭圆的定义可知的周长为，则，解得，所以，再根据椭圆的定义可知，，则在中，，即，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：由，设，得到，由的周长为，可得，再在中，利用勾股定理即可.第4页/共19页8.有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出，则当变大时（）A.变小B.先变小再变大C.变大D.先变大再变小【答案】A【解析】【分析】运用超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望，然后判断选项.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，其中白球的个数服从超几何分布，则．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有个白球的个球中取一球，取到白球的个数为，易知随机变量服从两点分布，故，所以，随着的增加，减小.故选：A二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（）A.B.所有项的系数和为1C.没有常数项D.的系数为14【答案】BCD【解析】分析】根据二项式系数计算判断A，赋值法判断B，根据通项公式判断CD.【详解】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，故A错误;令，可得展开式中所有项的系数和为，故B正确;第5页/共19页在中，第项，取，即，所以不存在常数项，故C正确;取，即，所以，所以的系数为14，故D正确.故选：BCD10.如图，某电子实验猫线路图上有AB两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，AB两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，A处遇到红灯的次数为XAB两处遇到红灯的次数之和为Y，则（）A.B.一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为C.D.当时，【答案】BD【解析】【分析】根据二项分布的概率公式和方差公式计算可判断选项AC事件的概率公式可判断选项B；应用数学期望公式可判断选项D.【详解】由题意可知：，所以,，故选项A、C错误.对于选项B：因为A，B两个指示灯工作相互独立，第6页/共19页所以在一次实验中A，B两处都不遇到一次红灯的概率为.根据对立事件的概率公式可得：一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为，故选项B正确.对于选项D：根据题意可知：Y的所有可能取值有：，，.当时，,,.所以，故选项D正确.故选：BD.已知：的焦点为的准线为在抛物线过点且与交于，两点，则（）A.若点的坐标为，则的最小值为3B.以线段为直径的圆与直线相离C.点到直线的最小距离为D.可能为钝角三角形【答案】AB【解析】【分析】由抛物线的定义可得A正确；设，直线的方程为，联立曲线方程，然后用韦达定理求出弦长，再利用换元法求出中点到准线的距离可得B正确；由点到直线的距离公式结合二次函数可得C错误；由向量垂直的坐标表示结合韦达定理可得D错误.【详解】对于A，作于，由抛物线的定义可得，当三点共线时取等号，故A正确；第7页/共19页对于B，设，直线的方程为，联立，消去可得，，，设线段的中点为，则，，到准线的距离为，则，设，则，所以，所以以线段为直径的圆与直线相离，故B正确；对于C，设，由点到直线的距离公式可得，当时，距离的最小值为，故C错误；对于D，设，则，由B可得，所以，故D错误.故选：AB第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．第8页/共19页12.已知，设直线，，若，则______．【答案】【解析】【分析】由两直平行得到，求解并验证即可；【详解】因为直线，，，所以，即，当时，直线重合，舍去，当时，符合题意；故；故答案为：13.已知点在抛物线上，且到的焦点的距离为，则实数__________.【答案】##【解析】【分析】由抛物线定义求出，得到抛物线方程，再将点代入，即可求得.【详解】由抛物线的定义可知，，解得，所以，将点代入得，，又,所以.故答案为：.14.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，，10，则小球落入_________号格子的概率最大.第9页/共19页【答案】【解析】【分析】利用次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件即可求解.【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为；小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为；小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为；小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为；依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，设小球掉入号格子的概率最大，显然，第10页/共19页则，即，即解得，又为整数，，则小球落入8号格子的概率最大.故答案为：.四、解答题：本大题共5个小题，共分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（4）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）【答案】（1）2）3）4）.【解析】1）将个相声节目进行捆绑，与其它个节目形成个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将个相声节目插入其它个节目所形成空中，利用插空法可求得排法种数；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在个节目进行全排的排法种数中减去前个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果.1）将个相声节目进行捆绑，与其它个节目形成个元素，然后进行全排，所以，排法种数为种；第11页/共19页（2）将个相声节目插入其它个节目所形成的个空中，则排法种数为种；（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它个节目排在中间，进行全排，由分步乘法计数原理可知，排法种数为种；（4）在个节目进行全排的排法种数中减去前个节目中没有相声节目的排法种数，可得出前个节目中要有相声节目的排法种数为.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题.16.某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．（1）志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；（2159名首选1006名首选4×10015名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见详解，.【解析】1）小明选择60米袋鼠跳服务为事件，小明选择3000米服务为事件，利用组合知识和古典概型概率公式求出，然后由条件概率公式可得；（2）根据超几何分布概率公式计算可得分布列，再由期望公式可得数学期望.【小问1详解】记小明选择60米袋鼠跳服务为事件，小明选择3000米服务为事件，则，，所以，第12页/共19页即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率为.【小问2详解】由题知，的所有可能取值为，由超几何分布概率公式得：，.得随机变量X的分布列为：0123所以.17.如图，在正四棱锥中，，为侧棱SD的中点．（1）求证：；（2）求点到平面PAC的距离；（3）求平面SBC与平面PAC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】第13页/共19页1）利用空间向量的坐标运算证明垂直关系；（2）利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离；（3）利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】连接交于点，连接,因为是正四棱锥，所以平面，且平面，所以,又因为为正方形，所以,所以以方向为轴建立如图所示空间指标坐标系，因为，所以,,所以,,所以,所以，，所以.【小问2详解】设平面的一个法向量为，,所以，即，令，可得，第14页/共19页所以点到平面PAC的距离为.【小问3详解】设平面的一个法向量为，,所以，即，令，可得，设平面SBC与平面PAC夹角为，则由图可知为锐角，所以即为所求.18.已知过点的双曲线的渐近线方程为.的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；（3）已知点，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】1）由渐近线方程得到，代入点即可求解；（2）由点到线的距离公式求解即可；第15页/共19页（3）设直线方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由即可求证；【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线方程为，又双曲线过点，则，所以双曲线的方程为，即.【小问2详解】因为在曲线上，则，渐近线方程：，所以：小问3详解】由（1）可知的斜率存在且不为0，设的方程为，联立，消去得，设，由题意得，则，第16页/共19页所以，所以得证.【点睛】关键点点睛：由，求证；19.向“新”“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型（以下简称Sora60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示.视频从业人员合计Sora的应用情况减少未减少应用541872没有应用364278合计90601500.0100.0050.001第17页/共19页6.6357.87910.828（1）根据所给数据，判断是否有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？（附：，其中.）（2Sora“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有二轮及以上获得