山东省济南市商河县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（含详解）

2024-2025学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”Ai应用，以下是一些常见Ai应用的logo图案，其中是中心对称图形的是(    )A. B.

C. D.2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(

)A.(a+4)(a-4)=a2-163.不等式3x+1≥2x+2A. B.

C. D.4.若a>b，则下列不等式变形正确的是(

)A.-3a<-3b B.a-2<5.如图，在△ABC中，已知AC=17，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于30，那么BC的长等于(

)A.13

B.30

C.17

D.23

6.将分式2xx+y中的x、y的值同时扩大为原来的2A.缩小为原来一半 B.扩大为原来的2倍 C.无法确定 D.保持不变7.若正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形是(

)A.正三角形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AB上一点，AE=BE=3，EO=4，则▱ABCDA.6 B.8 C.14 D.289.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点DA.∠CAD=∠BAD B.CD=DE

C.AD=510.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，点B在第二象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转后，点A.(23,6)

B.(6,23)二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.若分式x+2x-3的值为0，则x的值为12.若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为______．13.如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F.若∠C=40°，DE⊥AC，则∠

14.如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k,b为常数，k≠0)

15.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC方向平移3cm到△DEF的位置，若AB=6cm，DH=2cm，则阴影部分的面积等于

16.如图，已知P是线段AB上的动点(P不与点A，B重合)，AB=6，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是______

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

分解因式：

(1)ma2-mb18.(本小题10分)

按要求解下列不等式(组)：

(1)解关于x的不等式3-x<2(x+3)，并将解集用数轴表示出来；

(2)解不等式组：19.(本小题10分)

(1)计算：6x-1-x+5x2-x20.(本小题8分)

已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=

21.(本小题6分)

如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,1)，B(-3,1)，C(-3,4)．

(1)平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为(3,1)，请在图中画出△A1B1C1；B点平移后对应点的坐标为______；22.(本小题10分)

如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BF=DE．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．

(2)若AF⊥BD，AF=4，CF=5，23.(本小题10分)

从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，2025年被称为人形机器人的“量产元年”.目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续11年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破19万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进.某公司计划购买A，B两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．

(1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

(2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2900kg，则至少购进24.(本小题12分)

借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合”数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法！请你根据已有的知识经验，解决以下问题：

【课本链接】

(1)观察图①，用等式表示图中图形的面积，得(a+b)2=______，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得a2+b2=______：

【知识应用】

(2)根据图②所得的公式，若a+b=9，ab=5，则a2+b2=______；

(3)若x满足(12-x)(x-8)=2，求(12-x)2+(x-8)2的值．25.(本小题12分)

如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．

(1)【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是______，位置关系是______；

(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；

(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=6．CE=22，当答案和解析1.D

解：A，B，C不是中心对称图形，D是中心对称图形，

故选：D．2.D

解：A、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；

B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；

C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；

D、x2-8x+16=(x-4)解：∵3x+1≥2x+2，

∴3x-2x≥2-1，

则x解：若a>b，

两边同时乘以-3得-3a<-3b，则A符合题意，

两边同时减去2得a-2>b-2，则B不符合题意，

当c=0时，ac=bc，则C不符合题意，

解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，

∴AE=BE，

∵△BCE的周长等于30，

∴BE+CE+BC=30，

∴AE+CE+BC解：把分式中的x、y分别用2x、2y代替得：

2×2x2x+2y=2×2x2(x解：∵正多边形的外角和是360°，每个外角都是72°，

∴这个正多边形的边数是：360°÷72°=5，

∴这个正多边形是正五边形，

故选：C．

8.D

解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，

∴OA=OC，

∵点E是AB上一点，AE=BE=3，

∴CD=AB=2AE=6，

∵E是AB的中点，O是AC的中点，EO=4，

∴AD=BC=2EO解：由作图可得，AP平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAD，故选项A不符合题意；

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE，故选项B不符合题意；

在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，

∴BC=AB2-AC2=8，

∵△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积，

∴12AC⋅解：∵△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，

∴每旋转6次，△AOB回到原来位置．

∵2025=337×6+3，

∴第2025次旋转后点B的位置与第3次旋转后点B的位置相同．

由题意可知，第3次旋转后点B的对应点B3与点B关于原点O对称．

如图，过点B作BC⊥y轴于点C，

∵点A(0,4)，

∴OA=4，

∴AB=4．

∵∠OAB=120°，

∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=30°，

∴AC=12AB=2，BC=AB2-AC2=23，解：依题意得：x+2=0且x-3≠0，

解得x=-2．

故答案是：-2解：∵52+122=132，

∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，

解：由旋转得，∠B=∠ADE，AB=AD，

∴∠B=∠ADB，

即∠B=∠ADE=∠ADB．

∵DE⊥AC，

∴∠CFD=90°，

∵∠C=40°，

∴∠CDF解：∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k,b为常数，k≠0)相交于点A(-1,m)，

∴当x<-1时，-2解：∵△ABC沿着BC方向平移3cm到△DEF的位置，

∴△ABC≌△DEF，BE=3cm，

∵AB=6cm，DH=2cm，

∴AB解：如图，分别延长AE、BF交于点H，

∵∠A=∠FPB=60°，

∴AH/​/PF，

∵∠B=∠EPA=60°，

∴BH/​/PE，

∴四边形EPFH为平行四边形，

∴EF与HP互相平分，

∵G为EF的中点，

∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN，

∴MN//AB，PG<AM，

∵当P在AB中点时，PH⊥AB，

∴当P在AB中点时，PG的值最小，

∵△AEP和△PFB是等边三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∴△AHB是等边三角形，

解：(1)原式=m(a2-b2)

=m(a+b)(a-b)；

(2)原式解：(1)去括号得，3-x<2x+6，

移项得，-x-2x<6-3，

合并同类项得，-3x<3，

系数化为1得，x>-1．

在数轴上表示为：

．

(2)解不等式①，得x≤32；

解不等式②，得x>-3；

∴不等式组的解集为：-3<x≤32．(1)原式=6xx(x-1)-x+5x(x-1)

=6x-x-5x(x-1)

=5(x-1)x(x-1)

=5x；

(2)原式=2a-a-2a+2⋅a21.作图见解析，(1,1)；

作图见解析；

5π2解：(1)根据平移的性质和题意可知，△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，如图1即为所求；

∴B点平移后对应点B1的坐标为(1,1)，

故答案为：(1,1)；

(2)△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的△A2B2C2，如图2即为所求；

；

(3)由题意可得：OC=32(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC

∴∠ADE=∠CBF，

在△AED和△CFB中，

AD=BC∠ADE=∠CBFBF=DE，

∴△AED≌△CFB(SAS)，

∴AE=CF，∠AED=∠CFB，

∴∠AEF=∠CFE，

∴AE//CF，

∴四边形AFCE是平行四边形；

(2)解：∵四边形AFCE是平行四边形，CF=4，

∴AE=4，

∵(1)设B型机器人每小时搬运x kg材料，则A型机器人每小时搬运(x+30)kg材料，

根据题意列分式方程得，1000x+30=800x，

整理得，200x=24000，

解得x=120，

经检验，x=120是所列方程的解，

当x=120时，x+30=150，

答：A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料；

(2)设购进A型机器人a台，则购进B型机器人(20-a)台，

150a+120×(20-a)≥2900，

解得a≥503，

∵a是整数，

∴a≥17，(1)(a+b)2=a2+b2+2ab，a2+b2=(a+b)2-2ab；

故答案为：a2+b2+2ab，(a+b)2-2ab；

(2)a2+b2=(a+b)2-2ab，

因为a+b=9，ab=5，

所以原式=92-5×2=71，

故答案为：71；

(3)设12-x=a，x-8=b，

因为(12-x)(x-8)=2，

所以ab=2，a+b=4，

(12-x)2+(x-8)2

=a2+b2

=(a+b)2-2ab

=42-2×2

=16-4

=12；

(4)因为AC⊥BD，

AE=DE，BE=解：(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=DC，

∴AC-DC=BC-EC，

∴BE=AD，

点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，

∴BE⊥AD，

故答案为：BE=AD，BE⊥AD；

(2)(1)中的结论还成立．理由如下：

如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N，

由题意可知：∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠A