专题2.7 三角函数与解三角形压轴创新题型 专题突破训练-2026届高三数学二轮复习

专题2.7三角函数与解三角形压轴创新题型专题突破训练-2026届高三数学二轮复习一、选择题1．（2025·郴州模拟）定义：a×b=absinθ，其中θ为向量a,A．8 B．16 C．1655 D2．（2024高一下·南明月考）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点Ax1,y1，Bx2,y2，O为坐标原点，定义余弦相似度为cos(A,B)=cosOA,OBA．33 B．13 C．-333．（2024高二下·广州期中）定义：对于fx定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得fx1fx2=1成立，则称函数fA．fx=lnx B．fx=ex4．（2025高一下·天河月考）我们定义：“a×b”为向量a与向量b的“外积”，若向量a与向量b的夹角为θ，它的长度规定a×b=a⋅A．13 B．25 C．12 5．（2024高一下·柳州月考）定义运算：a*b=a,a>bb,a≤b，如1*2=2，则函数f(x)=sinx*cosx的值域为(A．[-1,1] B．[-22,22]6．（2023·）公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则3cscA．3 B．23 C．4 D．7．（2025·义乌模拟）狄利克雷函数Dx定义为：DA．不存在a∈R，使得Da+xB．存在a∈R，使得Da+xC．对任意x1,D．函数图象上存在三点A,B,C，使得△ABC是直角三角形8．（2021高三上·江西月考）在数学史上，为了三角计算的简便并追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-cosθ为角θ的正矢，记作versinθ；定义1-sinθ为角θA．verB．若coversinx-1versinC．函数y=coversinx-versinxD．函数f(x)=coversin(3x+二、多项选择题9．（2025高一下·射洪月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=π2，则称θ与φ“广义互余”.已知sinπ+α=-14，则下列角βA．sinβ=154 B．cosπ+β=14 10．（2024高三上·成都模拟）定义：实数x,y,m满足x-m>y-m，则称x比y远离m.已知函数fx的定义域为D=x∣x≠kπ3,k∈Z，任取x∈D,fA．fx是偶函数 B．fxC．fx在π3,2π3上单调递增 D11．（2023高二下·哈尔滨期末）定义：在区间I上，若函数y=f(x)是减函数，且y=xf(x)是增函数，则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得（）A．f(x)=xex在(1，B．若f(x)=lnxx在(m，+∞)上是“C．f(x)=sinxx在(0，πD．若f(x)=cosx+kx2在(0，π2)三、填空题12．（2022高一下·辽宁期中）已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)，若f(x)≤|f(π3)|对任意x∈R恒成立，则函数y=f(x)13．（2025·上海市模拟）已知边长为2的菱形ABCD中，∠A=120°，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且PQ⊥BD，则AP⋅CQ的最大值是14．（2024高三上·嘉兴月考）在△ABC中，内角A,B,C，所对的边分别为a,b,c，已知c=1，sinBsinA=b2-a2+1四、解答题15．（2020高三上·北京月考）已知函数f(x)=asin(2x-π（Ⅰ）求函数f(x)的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f(x)=1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π，③f(x)的图象过点(π16．（2025高三上·武强期中）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为（1）证明：△ABC是倍角三角形；（2）若c=9，当S取最大值时，求tanB.17．（2025·上海市模拟）定义：如果函数y=fx在定义域内给定区间a,b上存在实数x0a<x0<b，满足fx0=fb-fab-a，那么称函数y=fx是区间a,b上的“平均值函数”，（1）已知函数y=f1x、y=f2x，判断f1x=（2）设gx=kx2+x-4是区间-2,t上的“平均值函数”，1（3）若hx=lnx是区间a,b1≤a<b上的“平均值函数”，x18．（2025高三上·深圳月考）已知向量a=x1,y1，b=x2,y2，定义新运算：a⋅b=x1x2+y1（1）若向量m=1,-1，n⃗=ucosx,vsinx（u，v∈（2）若向量m=sin2x,4，n=1,cos（3）若向量m=sin2x-π6,4，n=2,cos2x+π19．（2022·嘉定模拟）已知函数y=f(x)的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在x0，使得f(x0)=f(x0+m)（1）判断函数f(x)=x2在区间[-1，（2）若函数f(x)=sinx在区间(0，n)(n>0)上具有性质（3）已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线，且f(0)=f(2)，求证：函数y=f(x)在区间[0，2]上具有性质

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由a⋅b=8,tanθ=2，可得a⋅b故答案为：B.【分析】由a⋅b=8,tanθ=2，可得a⋅2．【答案】C【解析】【解答】解：Pcosα,sinα，Q1,0余弦距离为：1-cosP,Q=1-cosα=3-3故答案为：C.【分析】根据余弦相似度的定义以及余弦距离求出cosα=33．【答案】B【解析】【解答】解：A、fx=ln当x1=1时，则不存在x2B、fx=e则任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2满足x1C、fx由fx得sinx1+sinx2=0故函数fxD、fx=cos当cosx1=0时，则不存在x故答案为：B．

【分析】利用“正积函数”的定义结合对数和指数的运算性质逐项判断即可求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，设E,F分别为BC,AB的中点，连接EF，因为E,F分别为BC,AB的中点，所以EF∥AC，所以△BEF∽△BCA，所以S△BEF所以S四边形ACEF=又因为AB+AC=2当AE⊥CF时，四边形ACEF面积最大，最大值为12所以△ABC的面积的最大值为43因为AB×AC=AB⋅故选：D.【分析】设E,F分别为BC,AB的中点，结合三角形相似推出S△ABC=43S四边形ACEF，由题意可得|AE|=12,|5．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，作出y=sinx,

因为f(x)的周期为2π，可得f(x由图可知值域为[-22,1]，【分析】本题考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，三角函数的值域．作出y=sinx,y=cosx在x∈6．【答案】C【解析】【解答】解：由定义得cscθ=1sinθ，sec故答案为：C.

【分析】由定义得cscθ=1sin7．【答案】D【解析】【解答】解：根据狄利克雷函数Dx=1,x为有理数0,x为无理数，

可知：当a∈Q时，若x∈Q，则a+x∈Q，若x∉Q，则a+x∉Q，a-x∉Q，

所以Da+x则当a∈Q时，Da+x=Da-x∀a∈Q，当x=0时，Da+x∀a∉Q，当x=0时，Da+x所以对于∀a∈R，当x=0时，Da+x+Da-x令x1=2∉Q，x2=-2∉Q，

则x1+x取函数图象上点A(0,1)，B(2,0)，C(-22,0)，

所以AB2+AC2=3+32故答案为：D.【分析】根据狄利克雷函数的定义可知当a∈Q时，Da+x=Da-x恒成立，则可判断选项A；利用已知条件分析可知，对于∀a∈R，当x=0时，Da+x+Da-x=1不成立，则可判断选项B；令x1=2∈Q，x28．【答案】C【解析】【解答】对于A，versin(3πcoversinθ=1-sin对于B，由coversinx-1versinx-1=-3因为cover=cos2所以coversin2x-versin对于C，y=cover则π+2kπ≤x+π4≤2π+2kπ，k∈Z所以在[3π4，π]对于D，因为f(x)=2-sin(3x+所以最小值为0，D选项错误．故答案为：C.

【分析】利用定义1-cosθ为角θ的正矢，记作versinθ；定义1-sinθ为角θ9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、∵sinπ+α=-sinα=-14，∴sinα=B、cosπ+βC、tanβ=15，即sinβ=15cosβD、tanβ=155，即sinβ=155cos故答案为：AC.

【分析】由诱导公式得sinα=14，sinβ=sinπ2-α，可判断A；由诱导公式得cosπ+β=-cosπ2-α=-sinα10．【答案】A,D【解析】【解答】解：因为函数fx的定义域为D=3cosx>两边平方并化简得4coscos2x-44所以4cos2x-1>0解得-1<cosx<-1解得2kπ<x<2kπ+π3，或2kπ+2π或2kπ+5π同理，由3cosx<1-cos设E=设F=2kπ+fx由于x∈E则-x∈E；x∈F则-x∈F，3cos故f-x=fx，所以f由于x≠kπ3,k∈Z，所以3cosx≠3由上述分析可知，x∈π3,2π3所以fx在区间π3,x∈-4π3,-π，fx=3cosx故答案为：AD.【分析】由题意，先求函数fx的解析式，再逐项分析判断即可11．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、f(x)=xex得f'(x)=ex-xexe2x=1-xex，当x∈(1，2)时，f'(x)=1-xex<0，∴f(x)在区间(1，2)上单调递减，

设gx=xf(x)=x2ex，则g'(x)=2xex-x2exe2x=2-xxex，当x∈(1，2)时，g'(x)>0，∴gx在区间(1，2)上单调递增，∴f(x)=xex在(1，2)上是“弱减函数”，A正确；

B、f(x)=lnxx得f'(x)=1-lnxx2，令f'(x)=1-lnxx2≤0，得x≥e，∴f(x)在区间(e，+∞)上单调递减，

设gx=xf(x)=lnx，显然gx在区间(e，+∞)上单调递增，∴f(x)=xex在(e，+∞)上是“弱减函数”，又f(x)=lnxx在(m，+∞)上是“弱减函数”，∴m≥e，B错误；

C、f(x)=sinxx得f'(x)=xcosx-sinxx2，

设hx=xcosx-sinx，h'x=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，当x∈(0，π2)时，h'x=-xsinx<0，∴h(x)在区间(0，π2)上单调递减，∴x∈(0，π212．【答案】[kπ-【解析】【解答】根据题意，函数在x=π3处取得最值，则2×π令-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ(k∈Z)故答案为：[kπ-2

【分析】由题意可得函数在x=π3处取得最值，进而求出φ=13．【答案】1【解析】【解答】解：如图所示，AO=1,OD=3，所以菱形内切圆半径为点O到AD

所以内切圆半径r=AO⋅ODAD由对称性可知，P,Q关于x轴对称，设Pm,n，所以m2所以Qm,-n，-又因为A0,1,C=3当n=12时，AP⋅故答案为：14【分析】画出图形可知菱形内切圆半径为点O到AD的距离，内切圆半径r=AO⋅ODAD=32，设出Pm,n，且m14．【答案】2【解析】【解答】由正弦定理，b=ab2-由于a≠b，所以a2由余弦定理得，a2+ab=a又由正弦定理，得sinA+2sinAcosC=sinB=sinA+C，即sinA=sin则有C-A=A，即C=2A．因为C=2A，所以B=π-A-C=π-3A>0，故0<A<π3，则sinB-sinA=sinA+C设x=sinA∈0,32，f令f'x=0，得x=当0<x<66时，f'x>0当x>66时，f'x<0故当x=66时，故sinB-sinA故答案为：26【分析】先利用正弦定理以及三角形的三个角关系化简得到sinB-sinA=-4sin315．【答案】解：（Ⅰ）函数f(x)=asin(2x-π6)-2cos2(x+π6)=asin(2x-π6)-cos(2x+π3)-1=asin(2x-π6)-cos(2x-π6+π2)-1=asin(2x-π6)+sin(2x-π6)-1=(a+1)sin(2x-π6)-1，

若满足①f(x)的最大值为1，则a+1=2，解得a=1，所以f(x)=2sin(2x-π6)-1，

则函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π；

（Ⅱ）令f(x)=1，得sin(2x-π6)=1，

解得2x-π6=π2+2kπ，k∈Z，即x=π3+kπ，k∈Z；

若关于x的方程f(x)=1在区间[0，m]上有两个不同解，则x=π3或【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数y=f(x)的解析式，根据①或②或③中的条件求得a=1，可得出f(x)=2sin(2x-π6)-1，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令f(x)=1，得sin(2x-π6)=1，解得x=π3+kπ，k∈Z，可得出方程16．【答案】（1）证明：因为sinC=2Sc2-b则b2=c2-ab由正弦定理，2sinCcos代入上式可得sinCcosB=sinB则有C-B=B,C=2B，故△ABC是倍角三角形.（2）解：因为C=2B，所以A=π-B-C=π-3B>0，故0<B<π3，则tanB∈又asinA=c=92=设x=tanB∈0,3令f'x=0得x2=23-3当23-3<x2<3时，f'x故当x=23-3时，fx取最大值，此时S【解析】【分析】（1）要证明△ABC是倍角三角形，需结合三角形面积公式、余弦定理和正弦定理，将已知条件sinC=2S（2）求tanB的最大值，需先通过正弦定理将边用角表示，再结合面积公式构建关于tanB（1）因为sinC=2S又sinC≠0，所以ab则b2又由余弦定理知，b2故可得2ccos由正弦定理，2sin又sinA=代入上式可得sinC即sinCsinC-B则有C-B=B,C=2B，故△ABC是倍角三角形.（2）因为C=2B，所以A=π-B-C=π-3B>0，故0<B<π3，则tanB∈又asinA=则S==9====设x=tanB∈0,则f=令f'x=0得x且当0<x2<2当23-3<x则fx在0,在23故当x=23-3此时S也取最大值，故tanB=217．【答案】（1）解：函数f1x=x4是区间-π2,π2上的“平均值函数”，f2x=sinx-1不是区间-π2,π2上的“平均值函数”，理由如下：

因为f1x0=f1π2-f1-（2）解：由题意可知，t>1，

因为g(1)=g(t)-g(-2)t-(-2)，即k-3=(kt2+t-4)-(4k-6)t+2=k(t-2)+1，k=0显然不成立，

所以t=3-4k，

又所求的k,t为整数对，所以t=2k=4或t=4k=-4或t=5k=-2或t=7k=-1.

所以满足条件的整数数对为(4（3）证明：因为hx0=hb-hab-a，所以lnx0=lnb-lnab-a，令h(t)=2lnt-t+1所以h(t)=2lnt-t+1t在(1,+∞即2lnt<t-1【解析】【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断；（2）由平均值函数的定义列式化简可得t=3-4k，结合t>1可求所有满足条件的整数数对（3）所证不等式可变形为lnbaba-1<1b（1）（1）函数f1x=x4是区间-f2x=sinx-1不是区间-π2由题题意f1x0=f1π2-f1-πff2x0所以sinx0=1+2π>1，无解，所以f2（2）因为gx=kx2+x-4是区间-2,t上的“平均值函数”所以g(1)=g(t)-g(-2)即k-3=(kt2所以t=3-4k，因为1是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得又所求的k,t为整数对，故t=2k=4或t=4k=-4或t=5k=-2（3）由题意可得lnx0=需证lnbaba-1则不等式等价于2ln令h(t)=2lnt-t+1所以h(t)=2lnt-t+1t在即2lnt<t-118．【答案】（1）解：由题意，fx则u=2，v=-2，即n=所以n=（2）解：因m=sin2则gx令cosx=t（-1≤t≤1），则gx=w则函数wt在-1,1上单调递增，当wwtmax=w1=0（3）解：因sin(2x-π6则m=3于是，h=-3当x∈π4,因y=cost在t∈5π故hx由存在x∈π4,2π3，使得-2≤故需满足-2+k≤31+k≥-2，解得-3≤k≤5，

综上所述k的取值范围为-3,5【解析】【分析】（1）先利用向量a，b的点积函数定义可得fx=2cos（2）利用向量a，b的点积函数定义可得gx=-cos2x+4cosx-3（3）根据点积函数的定义及三角恒等变换公式可得hx=2cos2x+π3，求出该函数在x∈（1）由题意，fx则u=2，v=-2，即n=所以n=（2）因m=sin2则gx令cosx=t（-1≤t≤1），则gx=w则函数wt在-1,1上单调递增，当wwtmax=w1=0（3）因sin(2x-π6则m=3于是，h=-3当x∈π4,因y=cost在t∈5π故hx由存在x∈π4,2π3，使得-2≤故需满足-2+k≤31+k≥-2，解得-3≤k≤5，综上所述k的取