初中数学核心素养导向下因式分解专题融合复习课教案

初中数学核心素养导向下因式分解专题融合复习课教案

一、教材分析与内容解析

（一）【基础】教材地位与作用

本节课是北师大版八年级下册第四章《因式分解》的习题课，属于章节复习巩固与综合提升的关键课型。因式分解是整式乘法的逆变形，是代数式恒等变形的重要组成部分，在初中数学体系中起着承上启下的核心作用。它上承整式的乘除运算，下启分式的化简与运算、一元二次方程的求解以及二次函数的图象与性质等内容。熟练掌握因式分解的方法，不仅是解决具体代数问题的工具，更是培养学生逆向思维、观察能力、逻辑推理能力以及数学抽象素养的重要载体。本节课作为习题课，其核心价值在于帮助学生构建系统化的知识网络，突破方法选择的难点，实现从“会解”到“巧解”再到“应用”的跨越。

（二）【基础】核心知识梳理

1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也称分解因式。-3【重要】定义要点包括：①分解对象是多项式；②分解结果是整式的乘积形式；③每个因式必须是整式；④分解结果必须进行到每个因式在指定数域（现阶段为有理数范围）内不能再分解为止；⑤因式分解与整式乘法是互为逆变形的关系。

2.因式分解的基本方法：【高频考点】

（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)。公因式的确定遵循“三定”原则：定系数（各项系数的最大公约数）、定字母（各项都含有的相同字母）、定指数（相同字母取最低次幂）。【重要】提取公因式后，多项式的项数应与原多项式项数一致，特别注意当某项与公因式相同时，提取后剩余的因式为“1”，不能漏项。

（2）公式法：【高频考点】【难点】

①平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。【适用条件】多项式为两项式，两项都能写成平方形式，且两项符号相反。

②完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²。【适用条件】多项式为三项式，其中两项能写成两个整式的平方形式，另一项是这两个整式乘积的2倍（符号可正可负）。

（3）十字相乘法（补充拓展）：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。适用于二次项系数为1的二次三项式，核心是找到两个数，使其乘积为常数项，和为一次项系数。【热点】

（4）分组分解法（高阶拓展）：适用于四项或四项以上的多项式，通过合理分组后，各组能分别分解且组间出现公因式或能继续运用公式分解。-6

（三）【高频考点】学情分析

八年级学生已经完成了整式乘法的学习，具备了一定的运算基础和逆向思维能力。但通过前一阶段的新课教学发现，学生普遍存在以下问题：一是对因式分解的概念理解不够深刻，容易与整式乘法混淆；二是方法选择上缺乏策略意识，面对综合题时不知从何入手；三是符号处理易出错，特别是在提负号和公式应用时；四是检验意识薄弱，分解完成后缺乏验证的习惯。针对这些学情，本节课需要在巩固基础的同时，着重培养学生的策略性思维和元认知能力。

二、教学目标设计

（一）【基础】知识与技能目标

1.准确理解因式分解的概念，能够正确判断一个变形是否为因式分解。

2.熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式的基本技能，达到一定的运算速度与准确率。

3.了解十字相乘法、分组分解法的基本思路，能在简单情形下合理选用。

4.能够综合运用两种或两种以上方法完成较复杂多项式的因式分解。

（二）【重要】过程与方法目标

1.通过典型例题的剖析与变式训练，经历观察、分析、对比、归纳的过程，建立因式分解的方法选择程序。

2.运用整体思想、换元思想，将复杂问题转化为基本方法能够解决的形式，提升化归与转化的数学思维能力。

3.通过一题多解、多题归一，体会数学知识之间的内在联系，培养思维的灵活性与深刻性。

（三）【非常重要】情感态度与价值观目标

1.在克服运算困难的过程中，培养严谨求实的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

2.感受因式分解的简洁美与对称美，体验数学内部的和谐统一，增强学习数学的兴趣与自信心。

3.通过小组合作与展示交流，培养合作意识和批判性思维品质。

三、【难点】教学重点与难点

（一）教学重点

因式分解基本方法（提公因式法、公式法）的熟练应用与综合运用。

（二）教学难点

1.根据多项式的结构特征，灵活选择恰当的方法进行分解。

2.分解过程中符号的处理与因式分解的彻底性把握。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

采用“问题驱动—典例导析—变式训练—归纳提升”的教学模式，综合运用启发式教学、合作探究学习、分层递进训练等策略，突出学生的主体地位，强调思维过程的显性化与方法策略的建构。

（二）教学准备

1.教师准备：多媒体课件（PPT）、典型题组学案、分层练习卡片、智慧教育平台微课资源（用于课后巩固）。-2

2.学生准备：完成课前诊断性小测，回顾本章基本概念与方法。

五、教学实施过程

（一）诊断导入，激活前知

上课伊始，教师通过多媒体呈现一组判断题和填空题，要求学生快速口答或板演。题目设计如下：

1.下列变形中，属于因式分解的是（）。

A.x²-4=(x+2)(x-2)B.(x+1)²=x²+2x+1

C.x²-4x+4=(x-2)²D.x²-4x=x(x-4)

2.多项式8a³b²c-12ab³c²各项的公因式是______。

3.填空：a²-6a+9=()²；4x²-25=()()。

此环节的设计意图在于通过前测诊断，快速唤醒学生对因式分解定义、公因式确定、公式特征等基础知识的记忆，发现存在的共性问题，为后续的针对性复习奠定基础。教师根据学生作答情况，简要点评，强调因式分解的“三要素”（对象是多项式、结果是积的形式、每个因式是整式）以及公因式确定的“三定法则”。【基础】

（二）知识建构，体系梳理

教师引导学生回顾本章所学内容，通过师生对话共同构建“因式分解知识树”。教师板书核心框架：【重要】

因式分解知识体系

├─定义：整式乘积形式（整式乘法逆变形）

└─基本方法

├─提公因式法（优先考虑）

├─公式法

│├─平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)

│└─完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²

├─十字相乘法：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

└─分组分解法（四项及以上）

├─分组后提公因式

└─分组后用公式

教师强调：因式分解的一般步骤是“一提二套三检查”，即首先考虑提取公因式，然后观察项数选择公式或十字相乘，最后检查分解是否彻底、结果能否再分解。对于四项以上的多项式，可以尝试分组分解。【非常重要】同时，教师提醒学生要树立“逆向验证”的意识，即通过整式乘法检验分解结果的正确性。

（三）多维进阶，融合应用

本环节是课堂的核心，按照“基础过关→综合提升→思维拓展”三个层次展开，每个层次配以典型例题和变式训练，让学生在解题中感悟方法、提炼策略。

1.第一层次：【基础】基础过关——方法再巩固

（1）典型例题1（提公因式法）：

分解因式：①-3x²+6xy-3xz；②2a(b+c)-3(b+c)。

解题策略：第①题首项系数为负，应先提取负号，再提取公因式，注意符号变化。第②题将(b+c)视为整体提取。

变式训练：分解因式5m(a-b)+10n(b-a)。（需先将(b-a)转化为-(a-b)）

（2）典型例题2（公式法）：

分解因式：①16x⁴-81；②(x²+4)²-16x²。

解题策略：第①题两次运用平方差公式，强调分解要彻底。第②题先视为平方差结构，分解后每个因式再判断是否能用完全平方公式继续分解。

变式训练：分解因式(a²+1)²-4a²。

（3）【高频考点】典型例题3（十字相乘法）：

分解因式：①x²-5x+6；②x²+x-12。

解题策略：引导学生寻找两个数，乘积为常数项，和为一次项系数。总结规律：常数项为正时，两数同号且与一次项系数符号相同；常数项为负时，两数异号，且绝对值大的数与一次项系数同号。

变式训练：分解因式x²-7x+12；x²+2x-15。

2.第二层次：【重要】综合提升——方法巧融合

（1）典型例题4（先提后套）：

分解因式：①2x³-8x；②-3ma²+12ma-12m。

解题策略：强调“一提二套”的步骤意识。第①题先提取2x，再用平方差公式。第②题先提取-3m，再用完全平方公式。

变式训练：分解因式5x³y-20xy³；2a³-4a²b+2ab²。

（2）【难点】典型例题5（分组分解法）：

分解因式：①x²-4y²+x+2y；②a²-2ab+b²-c²。

解题策略：引导学生观察项数与结构，尝试不同分组方案。第①题可采用“二二分组”或“一三分组”，通过对比发现最优解。第②题前三项一组用完全平方公式，再与最后一项用平方差公式。

变式训练：分解因式x²-4x+4-y²；mn+m+n+1。

（3）【热点】典型例题6（整体思想与换元法）：

分解因式：(x+y)²-4(x+y)+4；(m²-2m)²+2(m²-2m)+1。

解题策略：将(x+y)和(m²-2m)视为整体，运用完全平方公式或十字相乘法，最后再回代。渗透整体换元的数学思想。

变式训练：分解因式(a+b)²-6(a+b)+9；(x²+x)²-8(x²+x)+12。

3.第三层次：【思维拓展】素养提升——高阶思维训练

（1）【非常重要】典型例题7（数形结合与因式分解应用）：

如图，在一块边长为a米的正方形空地上，修建两条互相垂直且宽度为b米的小路（其中b<a/2），剩余部分种植草坪。请用两种方法表示草坪的面积，并由此验证一个因式分解公式。

解题策略：引导学生从不同角度思考：方法一，用大正方形面积减去两条小路面积（注意重叠部分多减了一次）；方法二，将剩余草坪拼成一个长方形（长为a-b，宽为a-b）。两种方法结果相等，从而验证完全平方公式的变形或平方差公式。此题目不仅巩固了因式分解，更渗透了数形结合思想和几何直观素养。【重要】

（2）典型例题8（因式分解在数值计算中的应用）：

计算：①99²-1；②3.14×5.2²-3.14×4.8²。

解题策略：直接计算繁琐，利用平方差公式转化为乘积形式可大大简化运算。让学生体会因式分解在实际计算中的简便价值。

变式训练：计算2025²-2024²；7.6×201.6+4.3×201.6-1.9×201.6。

（3）【高频考点】典型例题9（待定系数法与因式分解综合）：

已知多项式x²+ax+b可以分解为(x-3)(x+5)，求a、b的值。

解题策略：将右边展开后与左边对比，利用多项式恒等对应项系数相等求解，渗透待定系数思想。

变式训练：若x²+mx-15可分解为(x+3)(x+n)，求m、n的值。

（四）互动辨析，质疑深化

在学生完成上述题组训练后，教师组织小组合作学习。每个小组从上述题目中选取2-3道易错题进行讨论，重点分析错误原因和解题关键。教师巡视指导，收集典型错解和优秀解法。

随后组织全班交流，请小组代表上台展示解题过程，特别是对一题多解的题目进行对比分析。例如，对于“分解因式a²-b²+a-b”这一题目，可能有两种思路：一是分组后提公因式，二是分组后用平方差公式。通过对比，让学生体会到“分组的目的在于创造公因式或公式条件”，从而加深对方法本质的理解。

教师适时追问：“为什么这样分组？”“还有其他分组方式吗？”“哪种方法更简便？”等问题，引导学生从“怎么做”上升到“为什么这么做”的元认知层面。【非常重要】

（五）归纳总结，内化提升

教师引导学生从知识、方法、思想三个维度对本节课进行回顾总结。

1.【基础】知识层面：回顾因式分解的定义、提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的适用条件和操作要点。

2.【重要】方法层面：强化“一提二套三检查”的解题程序，明确方法选择的优先级顺序——先看有无公因式，再看项数选择公式或十字相乘，项数多时考虑分组分解。

3.【非常重要】思想层面：提炼本节课渗透的数学思想，包括化归与转化思想（将复杂问题转化为基本方法）、整体思想（将某部分视为整体）、数形结合思想、待定系数思想、方程思想等。

教师最后寄语学生：因式分解不仅是一种运算技能，更是一种思维体操，希望同学们在今后的学习中能自觉运用这些思想方法解决更复杂的数学问题。

（六）【分层】作业布置

1.【基础必做】完成学案中“基础达标”部分，巩固课堂所学的基本方法。

2.【综合选做】完成学案中“能力提升”部分，尝试用多种方法解决综合题，并比较优劣。

3.【拓展探究】查阅资料，了解因式分解在解一元二次方程、分式化简中的具体应用，撰写一篇不少于300字的小短文或思维导图。

六、板书设计

初中数学核心素养导向下因式分解专题融合复习课

一、知识体系

因式分解：多项式→整式积

├─一提：提公因式（系数、字母、指数）

├─二套：

│├─平方差：a²-b²=(