分式方程（第2课时分式方程的增根）（课件）（新教材苏科版）数学八年级下册教学课件

八年级苏科版数学下册第十章分式10.5分式方程第二课时分式方程的增根3学习目标15课堂小结习题巩固4知识详解26布置作业典例分析学习目标1.理解增根的概念：知道什么是分式方程的增根，明白增根是去分母后整式方程的根，但使原分式方程分母为0，不是原方程的解。2.掌握增根产生的原因：清楚解分式方程时两边同乘含未知数的整式，可能扩大未知数取值范围，从而产生增根。3.会判断增根：能根据增根满足的两个条件，判断某个数是否为分式方程的增根。4.会利用增根求参数：已知分式方程有增根，能求出方程中字母参数的值。课程导入一个“奇怪”的解方程之旅

在正式讲解新知识之前，我们先来玩一个小小的“解谜游戏”。

我将和大家一起解一个分式方程，看看在这个过程中，会出现哪些意想不到的“奇怪”现象？

让我们一起出发，去探索其中的奥秘吧！问题

👨‍🎓左边同学的解法🧑‍🎓右边同学的质疑概念解读什么是“增根”？刚才我们在解分式方程时，遇到了一个看似成立却又“奇怪”的解。

这其实就是分式方程中特有的现象——增根。

接下来，让我们正式揭开它的神秘面纱，深入剖析增根的定义、产生原因以及判定方法。核心概念在解分式方程的过程中，我们通过去分母将其转化为整式方程。若该整式方程的解，使得原分式方程的最简公分母的值为零，则此解不是原分式方程的解，我们称之为增根(ExtraneousRoot)。关键点强调●来源：增根是在“去分母”解分式方程的过程中，人为产生的额外解。●本质：它是转化后整式方程的有效解，但却是原分式方程的无效解。●判定：将解代入原方程的最简公分母，若结果为0，则判定为增根。💡一句话总结：增根是一个“冒牌”的解，它只满足整式方程，却会让原分式方程的分母为零，失去意义。归纳总结深度探究增根是如何产生的？

在去分母的变形过程中，我们究竟“创造”了什么？为什么原本的方程会多出一个不满足定义的根？回顾第一步：去分母的依据操作：方程两边同乘以3(x-2)。依据：等式基本性质——等式两边同时乘以同一个不为零的数或整式，等式仍然成立。核心追问：这个整式一定不为零吗？不一定！因为x是未知数。若x的值恰好使3(x-2)=0，我们实际上是在等式两边同时乘以了0，这违背了性质的前提条件。结论：增根产生的根本原因解分式方程时，通过去分母（同乘含未知数的整式），扩大了未知数的取值范围，从而产生了使原方程分母为零的“额外”的根（增根）。教材P143-144例题

解：(1)方程两边同乘x(x+1)，得30(x+1)=20x解这个一元一次方程，得x=-3检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0.所以原方程的解为x=-3(2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得x=-2检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0,x=-2是增根.所以原方程无解★核心口诀：“一化二解三检验”，检验步骤不可少，公分母为零即增根。●例3解方法技巧解分式方程的“三步曲”01.化整：在方程两边同乘以各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。02.求解：按照解整式方程的一般步骤，解出转化后的整式方程的根。03.检验：将整式方程的解代入最简公分母中进行检验：若最简公分母的值不为零，则该解是原分式方程的解；若最简公分母的值为零，则该解是增根，原分式方程无解。核心口诀：一化二解三检验，验根必须记心间。公分母为零是增根，原方无解要判断。教材P144练习课内练习

基础巩固题知识点

分式方程的增根1.【2025河北邢台调研】下列关于分式方程增根的说法正确的是(

)DA.使所有的分母的值都为零的解是增根

B.分式方程的解为零就是增根C.使分子的值为零的解就是增根

D.使最简公分母的值为零的解是增根【解析】分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解．故选D.归纳总结增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值或取值范围．

易错点1

分类讨论不完全，只考虑增根，忽略转化的整式方程无解

易错点2

不检验、分子未变号、常数项未乘公分母致错

小丁：解：去分母，得

，去括号，得

，合并同类项，得

，解得

，

原方程的解是

.小迪：解：去分母，得

，去括号，得

，合并同类项，得

，解得

.经检验，

是方程的增根，所以原方程无解.你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程.#1.3

能力提升题m≠1且m≠0m＜2且m≠1解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝2(x－2)．整理，得mx＝－8.∵增根为

x＝2，∴2m＝－8，解得m＝－4.若分式方程有增根，则(x＋2)(x－2)＝0.∴x＝－2或

x＝2.当

x＝－2时，－2m＝－8，解得m＝4；当

x＝2时，2m＝－8，解得m＝－4.∴若分式方程有增根，则m＝±4.(2)若分式方程有增根，求m的值；由(2)知，当

m＝±4时，分式方程有增根，即分式方程无解；去分母后的方程为mx＝－8，当

m＝0时，方程无意义，即方程无解．综上，若分式方程无解，则

m＝±4或

m＝0.(3)若分式方程无解，求m