2026年全国一卷高三二模高考模拟数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届高三第二次仿真模拟一、单选题（每小题5分，共40分）1．若，则（

）A． B．2 C． D．42．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．4．已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（

）A． B．1 C． D．5．有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（

）A．42 B．50 C．54 D．606．如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（

）

A． B． C．2 D．37．已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（

）A． B． C． D．8．三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（每小题6分，共18分）9．已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（

）A．B．的展开式中的系数为3C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项10．已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（

）A．过点有且只有一条直线与直线、都垂直B．过点有且只有一个平面与直线、都垂直C．过点有且只有一个平面与直线、都平行D．过点有且只有一个平面与直线、都相交11．已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（

）A．的三角形式为B．若，则实数的值为3C．，，……，中有44个正整数D．三、填空题（每小题5分，共15分）12．双曲线：的渐近线的斜率为______.13．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______.14．将一个棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成______个部分.

四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.16．已知在中，.(1)求的值；(2)若边上的高等于，求.17．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.(1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望.(2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？18．已知双曲线(1)，求双曲线的渐近线方程.(2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值；(3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率.19．已知，(1)当时，证明：；(2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围；(3)证明：对任意的正整数，总有.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】根据复数乘法的运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：C2．B【分析】根据存在量词命题的否定求解.【详解】根据存在量词命题的否定可知，的否定是，故选：B3．B【分析】由，根据诱导公式求解.【详解】因为，所以.故选：B.4．A【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为，由扇形面积公式及题意得，解得，由圆心角公式得圆心角大小为.故选：A.5．D【分析】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论：当是第1名时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法；当不是第1名且不是第5名时，先排第1名，从中选一人为第1名，有种选法；再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法，所以共有种不同的排法，由分类计数原理得，共有种不同的排列情况.故选：D.6．D【分析】先分解向量，用圆心出发的向量表示所有待处理向量（利用圆的半径、直径性质），再用数量积分配律展开化简，代入模长、夹角等已知条件，将式子转化为包含目标向量点积的形式，随后求解即可.【详解】因为圆半径，，所以，因为，所以，所以因为，所以又因为，代入得，所以，即，又因为，所以故选：D.7．A【分析】先将数列的前项的乘积表示出来，观察到其中的指数方程分别决定了的大小和的正负，再求出指数部分的最值来分类讨论的最值即可.【详解】由题得，前项积，易得决定的大小，而决定的正负，因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于，①当时，，，所以为的最小值；②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即.③当时，，，所以为的最大值；④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即.综上，.故选：A.8．D【分析】取中点，连接，由题易知为三棱锥的外接球球心，且外接球半径为，再根据球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，转化为求点到平面ABC的距离，最后根据即可求得答案.【详解】如图，取中点，连接，因为三棱锥中，，所以与均为直角三角形，且为公共斜边，所以，即点为三棱锥的外接球球心，半径为，设点到平面ABC的距离，球心到平面ABC的距离所以球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，即，因为二面角的平面角为锐角，所以点到平面ABC的距离，当且仅当时等号成立，所以球心到平面ABC的距离，即三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为.故选：D9．BCD【分析】根据二项式展开式的概念，根据常数项求出参数值，写出二项式的展开式，进而逐一判断各选项正误.【详解】二项式的展开式的第项为，当时，即时，可得，解得，所以A错误；可得二项式，展开式中的系数为3，所以B正确；各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确；可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确；故选：BCD.10．AC【分析】根据异面直线的性质以及线面平行、垂直的判定定理，对过点与直线、的不同位置关系的情况进行逐一分析.【详解】在B选项中，若一个平面与两条异面直线都垂直，那么这两条异面直线平行，而与不平行，所以不存在这样的平面，所以B选项错误，在C选项中，过点分别作直线与的平行线、，则，平面，平面，所以平面，同理可知平面，所以过点有且只有一个平面与直线、都平行，所以C选项正确，在A选项中，由C选项可知，过点有且只有一个平面与直线、都平行，且该平面为平面，因为过点有且只有一条直线与平面垂直，记该直线为直线，因为平面，所以，因为，所以，同理可知，所以，因此过点有且只有一条直线与直线、都垂直，所以A选项正确，在D选项中，过点与直线、都相交的平面有无数个，所以D选项错误.故选：AC.11．BC【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断．【详解】对于A，当时，，则对应的三角形式为，故A错误；对于B，，又，所以，则的虚部为，，，解得，B正确；对于C，先求，根据复数模的性质：若，则，对于，模为，所以，要使为正整数，则必须是完全平方数，即（），则，因为，所以，即，因为，，，又因为，所以，故，所以从到，共个正整数，选项C正确；对于D，由，，，，故D错误．故选：BC．12．【分析】根据双曲线的标准形式方程求其渐近线的斜率.【详解】由题意知双曲线：，则可得双曲线的标准方程为，故可得双曲线的渐近线为，所以渐近线的斜率为.故答案为：13．【分析】先根据恒成立代入特殊值求出的大致范围，再利用导数证明所求范围内恒成立即可.【详解】由可得.因为当时，恒成立，所以时，；设，，所以为增函数，又，所以，即.当时，，，所以，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即.所以当时，恒成立，的取值范围为.故答案为：14．21【分析】利用正四面体和正四棱锥的性质来计算相邻两个面的二面角，通过两个二面角互补，可判断两平面共面，再证明面面平行，可确定这是一个三棱柱，从而可确定结果.【详解】

因为上图是棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥，所以取的中点为，可知即正四面体的一个二面角的平面角为，正四棱锥的两侧面形成的一个二面角的平面角为，由已知可得：，所以，又由已知可得：，所以，由于，因为，所以，从而可得侧面与侧面共面，即四边形是菱形，可得，再利用正四面体与正四棱锥的性质可知，侧面与侧面也共面，即四边形是菱形，可得，由于平面，平面，所以平面，同理平面，又因为平面，所以平面平面，所以这个几何体是一个三棱柱，其中三个侧面侧面，侧面所在的平面可将空间分成个部分，再由两个平行底面与底面又将空间分成上、中、下个部分；所以这五个面所在的平面可以将空间分成个部分.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求前项和.【详解】（1）由，可得，当时，，又因为，即对也成立，所以.（2）①，②，，得，所以.16．(1)(2)【分析】（1）代入两角和差的正切公式，再进行化简求得，再利用同角三角函数的关系，求得；（2）利用三角形的面积公式得出等量关系，求出边之间的关系，再代入余弦定理进行求解；【详解】（1），，，所以解得，又因为，又因为为三角形内角，故则.（2）设，高为，则面积.由面积公式，，得.由，，得代入余弦定理：，得，代入，得.17．(1)分布列见详解；(2)7个或8个【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望；（2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可.【详解】（1）若小球落入球槽的号码为，，则小球共经过4次碰撞，向右次，可得，则；；；，，所以X的分布列为X12345PX的期望为.（2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为，则小球落入2号球槽的概率为，设80个小球落入2号球槽的个数为，则，令，即，解得，且，即，所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个.18．(1)(2)(3)【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解；（2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解；（3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率.【详解】（1）当时，双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为；（2）由题意，设，则，，则，，又点在双曲线上，则，化简得，又所以；（3）将点代入双曲线方程得，解得：，故双曲线方程为；设直线斜率为，则直线斜率为直线方程为，联立双曲线与直线:，其中即且，由韦达定理，则，同理以代，则，则，，故.19．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得；（2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围；（3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证.【详解】（1），，则，定义域为