2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下面四个图形中，能由如图经过平移得到的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列式子正确的是（）A．±3 B． C．2 D．33．（3分）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE＝50°，则∠AOC等于（）A．40° B．45° C．50° D．60°5．（3分）在实数：，﹣3，0，，3.1415，π，，，2.123122312223…中无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°7．（3分）第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（）A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）8．（3分）已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2024的坐标是（）A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。9．（3分）电影票10排28号记为（10，28），则（3，25）表示．10．（3分）比较2，，的大小为．11．（3分）如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为（4，﹣1），北海北站的坐标为（﹣2，4），则西单站的坐标为．12．（3分）下列命题：①某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0；②两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角必相等；③垂直于同一直线的两直线平行；④同旁内角互补；是假命题的是．（填序号）13．（3分）如图，将一个三角板的60°角的顶点和直角顶点分别放在一个长方形的两条对边上，若∠1＝40°，则∠2的度数为．14．（3分）我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是．16．（3分）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'C'D'，点A，B，C，D的对应点分别为A'，B'，C'，D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．①当正方形ABCD向右移动1时，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积为；②当时，数轴上点B'表示的数是（用含a的代数式表示）．三、解答题：本大题共10个小题，共52分。17．（5分）计算：．18．（5分）解方程组：．19．（5分）如图，点P是∠ABC内一点．（1）按下列要求画出图形．①过点P画BC的垂线，垂足为点D；②过点P画直线PE∥AB交BC于点E；过点P画直线PF∥BC交AB于点F；③点P到直线BC的距离是线段的长；（2）在（1）所画出的图中，若∠ABC＝54°，则∠BEP＝°，∠DPE＝°．20．（5分）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E．求证：∠B+∠BCD＝180°．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵AD∥BC，∴＝∠E（理由：）．∵AE平分∠BAD，∴＝．∴∠BAE＝∠E．∵∠CFE＝∠E，∴∠CFE＝∠BAE，∴∥（理由：）．∴∠B+∠BCD＝180°（理由：）．21．（5分）已知△ABC经过平移之后得到△A′B′C′，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：△ABCA（a，1）B（2，3）C（1，﹣1）△A′B′C′A′（3，4）B′（7，b）C′（6，2）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝；b＝；（2）在平面直角坐标系中，画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）求△A′B′C′的面积．22．（5分）如图，已知：AB∥CD，AB与DE相交于点E，且∠2＝∠1．求证：BC∥DE．23．（5分）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示：（1）根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价；（2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（a＞15）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？24．（5分）已知x﹣2的算术平方根是3，2x+y+7的立方根是3，求x﹣7y的平方根．25．（5分）如图1，点E在AB上，点F在CD上，点M在直线AB、CD之间，且∠BEM+∠DFM＝∠EMF，（1）求证：AB∥CD；（2）如图2所示，点M、N在AB、CD之间，且位于EF的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．（3）如图3，连接EF，∠EMF＝90°；∠EFM＝α，且FM平分∠EFD．若，FN与∠BEM的三等分线交于N，则∠N＝（用含α的式子表示）．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b），k＞0，对点P进行如下操作：第一步：若a≥0，则向右平移k|a|个单位，若a＜0，则向左平移k|a|个单位；第二步：若b≥0，则向上平移k|b|个单位，若b＜0，则向下平移k|b|个单位；得到点P′，则称点P′为点P的“k倍距点”，例：点Q（2，﹣1）的“1倍距点”为Q′（4，﹣2）．若图形W上存在一点R，且点R的“k倍距点”R′恰好也在图形W上，则称图形W为“k倍距图形”．（1）点M（1，2）的“1倍距点”为；若点N的“3倍距点”为（﹣8，12），则点N的坐标为；（2）已知点A（0，3），点B（3，0），若点与线段AB组成的图形是“2倍距图形”，求点C的坐标．（3）已知n＞0，点D（0，1），E（0，1+n），F（n，1+n），G（n，1）组成一个正方形DEFG，它是一个“n倍距图形”，将该正方形水平方向移动|t|个单位后，仍然是“n倍距图形”．①t的最大值为；②t的最小值为（用含n的式子表示）．

2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案ACAADDAD一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下面四个图形中，能由如图经过平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．【解答】解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．故选：A．【点评】本题考查了平移的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．2．（3分）下列式子正确的是（）A．±3 B． C．2 D．3【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐一求解可得．【解答】解：A、3，错误；B、无意义，错误；C、2，正确；D、3，错误；故选：C．【点评】本题主要考查立方根与算术平方根，解题的关键是掌握立方根与算术平方根的定义．3．（3分）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程组组中的第一个方程不是整式方程，所以方程组不是二元一次方程组，故本选项符合题意；B．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意；D．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义（只含有两个不同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，共有两个方程，并且每个方程都是整式方程，这样的方程组叫二元一次方程组）是解此题的关键．4．（3分）如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE＝50°，则∠AOC等于（）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】利用余角、对顶角的定义计算即可．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠DOE+∠BOD＝90°，∵∠DOE＝50°，∴∠BOD＝90°﹣50°＝40°，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝40°．故选：A．【点评】本题考查的是余角、对顶角的定义，熟练掌握互余的两角和为90°，对顶角相等这些性质是解题的关键．5．（3分）在实数：，﹣3，0，，3.1415，π，，，2.123122312223…中无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】对所给的数逐个判断并计数即可．【解答】解：是无理数；﹣3是有理数；0是有理数；1是有理数；3.1415是有理数；π是无理数；12是有理数；是无理数；2.123122312223…是无理数，因此，共有4个无理数．故选：D．【点评】本题考查无理数的概念，熟悉无理数常见的三种形式是解题的关键．6．（3分）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】先根据平行线的性质求出∠ABD的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD∴∠ABC＝∠1＝50°，∠ABD+∠BDC＝180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝100°，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝80°，∴∠2＝∠BDC＝80°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．7．（3分）第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（）A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减解答即可．【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．∵P′在x轴上，Q′在y轴上，则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，∵0﹣m＝﹣m，∴m﹣4﹣m＝﹣4，∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；故选：A．【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．8．（3分）已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2024的坐标是（）A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）【分析】根据题目所给的信息，确定点P关于点A的对称点为P1，则点A为点P和点P1的中点，根据公式可以求出点P1的坐标，依次类推求出点P2，点P3，点P4，点P5，点P6，点P7……总结规律，利用周期原理，求出点P2024的坐标．【解答】解：设P1（x，y），∵点P（0，2）关于点A的对称点为P1，∴点A为点P和点P1的中点，∵A（1，﹣1），∴，∴x＝2，y＝﹣4，∴P1（2，﹣4），同理可得：P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4）……．，∴每6个点坐标循环一次，∵，∴P2024（﹣4，2），∴每6个点坐标循环一次，∴点P2024的坐标是（﹣4，2）．故选：D．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中中点坐标公式的应用．解题的关键是总结规律．二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。9．（3分）电影票10排28号记为（10，28），则（3，25）表示3排25号．【分析】根据题意知第一个数字表示排数、第2个数字表示号数，由此解答可得．【解答】解：根据题意，10排28号记为（10，28），则（3，25）表示3排25号，故答案为：3排25号．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．10．（3分）比较2，，的大小为2．【分析】让各个数字都变成六次方的形式即可进行比较．【解答】解：∵26＝64，（）6＝125，（）6＝49，∴2，故答案为：2．【点评】本题主要考查实数比较大小，利用幂的乘方对原数进行变形是解题的关键．11．（3分）如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为（4，﹣1），北海北站的坐标为（﹣2，4），则西单站的坐标为（﹣4，2）．【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：西单站的坐标为（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．12．（3分）下列命题：①某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0；②两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角必相等；③垂直于同一直线的两直线平行；④同旁内角互补；是假命题的是③④．（填序号）【分析】根据假命题的定义、绝对值、相反数、算术平方根、平行线的性质与判定解决此题．【解答】解：某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，是真命题，故①不符合题意；两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角必相等，是真命题，故②不符合题意；同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原说法时假命题，故③符合题意；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原说法时假命题，故④符合题意；故答案为：③④．【点评】本题主要考查假命题、绝对值、相反数、算术平方根、平行线的性质与判定，熟练掌握假命题的定义、平行线的性质与判定是解决本题的关键．13．（3分）如图，将一个三角板的60°角的顶点和直角顶点分别放在一个长方形的两条对边上，若∠1＝40°，则∠2的度数为70°．【分析】根据直角三角形得出∠3+∠2＝90°，利用平行线的性质得出∠3＝∠4，进而解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4＝60°﹣∠1＝60°﹣40°＝20°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣20°＝70°，故答案为：70°．【点评】考查平行线的性质以及直角三角形的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键．14．（3分）我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是．【分析】由甜果苦果共买千可得出x+y＝1000，利用总价＝单价×数量可得出xy＝999，联立两方程组成方程组即可得出结论．【解答】解：∵甜果苦果共买千，∴x+y＝1000；∵甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱，∴xy＝999．联立两方程组成方程组．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是（﹣2，8）或（﹣2，﹣10）．【分析】根据点A的坐标是（﹣2，﹣1），AB∥y轴，且AB＝9，可以得到点B的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣1+9＝8或﹣1﹣9＝﹣10，然后即可写出点B的坐标．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，﹣1），AB∥y轴，且AB＝9，∴点B的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣1+9＝8或﹣1﹣9＝﹣10，∴点B的坐标为（﹣2，8）或（﹣2，﹣10），故答案为：（﹣2，8）或（﹣2，﹣10）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点B的坐标．16．（3分）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'C'D'，点A，B，C，D的对应点分别为A'，B'，C'，D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．①当正方形ABCD向右移动1时，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积为a；②当时，数轴上点B'表示的数是或（用含a的代数式表示）．【分析】（1）根据题意和平移性质表示出重叠部分长方形的长和宽，再计算即可；（2）分向右和向左运动讨论，并分别表示出重叠部分长方形的长和宽，再利用线段的和差关系表示出OB'的长，即可求出坐标．【解答】解：（1）当正方形ABCD向右移动1时，如图，此时AB'1，AD，∴移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积为：（1）＝a．故答案为：a；（2）分两种情况：①当向右平移时，如图，∵S，AD，∴AB'1，∴BB'，∴OB'＝OB+BB'＝1，此时点B'表示的数为：，②当向左平移时，如图，∵S，BC，∴AB'1，∴BB'，∴OB'＝OB﹣BB'＝1﹣（），此时点B'表示的数为：，综上，点B'表示的数为：或．故答案为：或．【点评】本题考查列代数式，解答时涉及平移性质，数轴，正方形性质，整式的运算，二次根式运算等，解题的关键是能熟练运用平移性质表示出点的运动距离．三、解答题：本大题共10个小题，共52分。17．（5分）计算：．【分析】根据立方根、算术平方根和绝对值的性质化简，再合并即可求解．【解答】解：．【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是关键．18．（5分）解方程组：．【分析】①+②×3得出10x＝﹣10，求出x，再把x＝﹣1代入①求出y即可．【解答】解：，①+②×3，得10x＝﹣10，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入①，得﹣1+3y＝2，解得：y＝1，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．19．（5分）如图，点P是∠ABC内一点．（1）按下列要求画出图形．①过点P画BC的垂线，垂足为点D；②过点P画直线PE∥AB交BC于点E；过点P画直线PF∥BC交AB于点F；③点P到直线BC的距离是线段PD的长；（2）在（1）所画出的图中，若∠ABC＝54°，则∠BEP＝126°，∠DPE＝36°．【分析】（1）①直接利用尺规过点P作PD⊥BC的垂线即可；②利用尺规通过平移分别作BC，AB的平行线即可；③点P到直线BC的距离是线段PD的长；（2）利用平行线的性质和垂直的定义求得结论即可．【解答】解：（1）①如图所示；②作∠PEC＝∠ABC，则PE∥AB；作∠FPE＝∠PEC，则PF∥BC，如图所示；③点P到直线BC的距离是线段PD的长；故答案为：PD；（2）∵AB∥PE，FP∥BD，∴∠PED＝∠B＝54°，∴∠BEP＝180°﹣∠PED＝126°，∴∠DPE＝90°﹣54°＝36°，故答案为：126，36．【点评】本题考查了基本作图的中的垂线和平行线的作法，平行线的性质．要求能熟练地运用尺规作图，并保留作图痕迹，这是解答本题的关键．20．（5分）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E．求证：∠B+∠BCD＝180°．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E（理由：两直线平行，内错角相等）．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE．∴∠BAE＝∠E．∵∠CFE＝∠E，∴∠CFE＝∠BAE，∴AB∥CD（理由：同位角相等，两直线平行）．∴∠B+∠BCD＝180°（理由：两直线平行，同旁内角互补）．【分析】由平行线的性质得到∠DAE＝∠E，由角平分线的定义得到∠DAE＝∠BAE，再根据题意得出∠CFE＝∠BAE，即可判定AB∥CD，由平行线的性质即可得解．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E（理由：两直线平行，内错角相等），∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E．∵∠CFE＝∠E，∴∠CFE＝∠BAE，∴AB∥CD（理由：同位角相等，两直线平行）．∴∠B+∠BCD＝180°（理由：两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：∠DAE；两直线平行，内错角相等；∠DAE；∠BAE；AB；CD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．21．（5分）已知△ABC经过平移之后得到△A′B′C′，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：△ABCA（a，1）B（2，3）C（1，﹣1）△A′B′C′A′（3，4）B′（7，b）C′（6，2）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝﹣2；b＝6；（2）在平面直角坐标系中，画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）求△A′B′C′的面积．【分析】（1）利用平移变换的性质求出a，b即可．（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．【解答】解：（1）由题意，a＝﹣2，b＝6．（2）如图，△A′B′C′即为所求．（3）△A′B′C′的面积＝4×42×31×42×4＝7．【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形面积．22．（5分）如图，已知：AB∥CD，AB与DE相交于点E，且∠2＝∠1．求证：BC∥DE．【分析】由AB∥CD得出∠2＝∠BCD，再由已知∠2＝∠1得出∠1＝∠BCD得出BC∥DE．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠BCD，∵∠2＝∠1，∴∠1＝∠BCD，∴BC∥DE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示：（1）根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价；（2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（a＞15）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为x，y元，由题意得，，计算求解即可；（2）由题意知，80a+15b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为，为15＜a＜22.5，对a，b的取值进行求解讨论即可．【解答】解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x，y元，由题意得，，解得，∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元；（2）由题意知，80a+15b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为，∴15＜a＜22.5，a，b为正整数，当a＝18时，b＝24；当a＝21，b＝8；∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意并正确的列等式是解题的关键．24．（5分）已知x﹣2的算术平方根是3，2x+y+7的立方根是3，求x﹣7y的平方根．【分析】利用立方根，算术平方根的意义求得x，y的值，再代入运算即可．【解答】解：∵x﹣2的算术平方根是3，∴x﹣2＝9，∴x＝11，∵2x+y+7的立方根是3，∴2x+y+7＝27，把x的值代入解得y＝﹣2，把x，y的值代入得：x﹣7y＝25．∴x﹣7y的平方根是±5．【点评】本题主要考查了立方根，算术平方根，熟练掌握上述定义与性质是解题的关键．25．（5分）如图1，点E在AB上，点F在CD上，点M在直线AB、CD之间，且∠BEM+∠DFM＝∠EMF，（1）求证：AB∥CD；（2）如图2所示，点M、N在AB、CD之间，且位于EF的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．（3）如图3，连接EF，∠EMF＝90°；∠EFM＝α，且FM平分∠EFD．若，FN与∠BEM的三等分线交于N，则∠N＝或30°（用含α的式子表示）．【分析】（1）过点M作MN∥AB，则∠BEM＝∠EMN，再由∠BEM+∠DFM＝∠EMF＝∠EMN+∠FMN得出∠DFM＝∠FMN，从而证明MN∥CD，即可证明结论；（2）过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥MP∥NQ，可得∠AEM＝∠EMP，∠PMN＝∠MNQ，∠QNF＝∠NFD，从而推出∠EMN﹣∠MNF＝∠AEM﹣∠NFD，再根据2∠EMN＝3∠MNF等量代换即可得出结论；（3）根据平行线的性质，分和两种情况，证明即可．【解答】（1）证明：如图1，过点M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠BEM＝∠EMN．∵∠BEM+∠DFM＝∠EMF，∠EMN+∠FMN＝∠EMF，∴∠DFM＝∠FMN．∴MN∥CD．∴AB∥CD．（2）解：，理由如下：如图2，过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，NQ∥AB，∴AB∥CD∥MP∥NQ．∴∠AEM＝∠EMP，∠PMN＝∠MNQ，∠QNF＝∠NFD．∴∠EMN＝∠EMP+∠PMN＝∠AEM+∠MNQ，∠MNF＝∠MNQ+∠QNF＝∠MNQ+∠NFD．∴∠EMN﹣∠MNF＝∠AEM﹣∠NFD．∵2∠EMN＝3∠MNF，∴．∴．∴．（3）解：或30°；分两种情况：①当时，如图3﹣1，过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∵FM平分∠EFD，∠EFM＝α，∴∠MFD＝∠EFM＝α，．∵AB∥CD，MP∥AB，∴AB∥CD∥MP．∴∠PMF＝∠MFD＝α，∠BEM＝∠EMP．∵∠EMF＝90°，∴∠BEM＝∠EMP＝90°﹣α．∴，∵AB∥CD，NQ∥AB，∴AB∥CD∥NQ．∴，．∴．②当时，如图3﹣2，过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，同理可得：，．∴．【点评】本题主要考查了平行线的判断和性质，正确作出辅助线利用平行线的判定和性质