2023-2024学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2023-2024学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）实数4的算术平方根是（）A．16 B．2 C．﹣2 D．2．（2分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），则点P所在的位置是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2分）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．4．（2分）1.414，，π，，，0.121121112…（每两个2之间依次多一个1），这些数中，无理数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2分）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，若∠AOE＝2∠AOC，则∠BOD的度数为（）A．25° B．30° C．45° D．60°6．（2分）估计的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间7．（2分）下列结论正确的是（）A．8的立方根是 B．没有立方根 C．算术平方根等于它本身的数是0 D．8．（2分）如图是北京地铁的部分运营线路图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示大兴新城站的点的坐标为（0，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣4，3）时，表示瀛海站的点的坐标为（6，﹣2）②当表示大兴新城站的点的坐标为（0，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣2，1.5）时，表示瀛海站的点的坐标为（3，﹣1）③当表示大兴新城站的点的坐标为（1，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣7，6）时，表示瀛海站的点的坐标为（12，﹣4）④当表示大兴新城站的点的坐标为（1.5，1.5），表示清源路站的点的坐标为（﹣2.5，4.5）时，表示瀛海站的点的坐标为（7.5，﹣0.5）上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）请写出一个大于2的无理数：．10．（2分）若点A（1+2a，4﹣a）在x轴上，则a的值为．11．（2分）若实数a，b满足，那么a+b的值是．12．（2分）如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是．13．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，﹣2），若线段AB∥y轴，且AB＝2，则点B的坐标为．14．（2分）如图，在四边形ABCD中，点F在AD的延长线上，点E在AB的延长线上，如果添加一个条件，使AB∥DC，那么可添加的条件为（写出一个即可）．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，3a+4）在第二象限，且到x轴和y轴的距离相等，则点A的坐标是．16．（2分）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数n的立方是59319，求这个正整数n．华罗庚脱口而出：39．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由103＝1000，1003＝1000000，可以确定n是两位数；②由303＝27000，403＝64000，27000＜59319＜64000可知，n的十位数字是3；③考虑到1至9的立方中，只有9的立方个位数字是9，所以确定n的个位数字是9，所以n＝39．请你根据上述步骤求出140608的立方根是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）已知4（x﹣1）2＝100，求x的值．20．（5分）如图，∠BAC＝∠BCA，AC平分∠DAB．求证：AD∥BC．21．（5分）已知正数m的两个不同平方根分别是2a+3和a﹣6，b﹣7的立方根是﹣2．（1）求a和正数m及b的值；（2）求3a+2b的算术平方根．22．（6分）如图，三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC上，BE平分∠ABC，AF∥DE交BE的延长线于点F，且∠1＝∠F．求证：∠C＝∠3．请将下面的证明过程补充完整，并在括号内写出推理的依据．证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠1＝∠2（）．∵∠1＝∠F（已知），∴∠＝∠（等量代换），∴AF∥BC（）．∵AF∥DE（已知），∴BC∥DE（），∴∠C＝∠3（）．23．（5分）如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空：（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D；（4）∠CDB＝°；（5）如果OA＝8，AB＝6，OB＝10，则点A到直线OB的距离为．24．（6分）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中．（1）写出点A的坐标；（2）将三角形ABC向下平移3个单位长度，向右平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请画出平移后的图形；（3）直接写出三角形A′B′C′的面积；（4）若点P在y轴上，且三角形OAP的面积等于三角形ABC的面积，直接写出点P的坐标．25．（6分）已知：如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．那么CD与AB的位置关系如何？为什么？26．（6分）如图，三角形DEC是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，点A（3，5），点B（2，﹣2），点D（﹣3，5），点M（m，n）为线段AB上一动点，点M经过这种变换后得到点N．（1）点E的坐标为，点N的坐标为（用m，n表示）；（2）直线MN与线段BC，EC分别交于点P和点Q，线段BC与x轴交于点F，连接OP，OQ，ON，OF，当OP平分∠QOF，且OP⊥ON时，求证：∠PQO＝2∠NOQ．27．（7分）如图1，AB∥CD，若点E为平面内一动点（点E不在直线AD和直线CD上），连接ED，过点E作EF∥CD，且点F在点E的右侧．（1）当点E运动到如图2所示位置时，求证：∠A﹣∠DEF＝∠ADE；（2）直接用等式表示出∠A，∠ADE，∠DEF之间存在的所有数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），给出如下定义：若点B（x2，y2）满足|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|（x1≠x2），则称点A是点B的“等差距点”．已知，点A（1，0）（1）如图，在点B1（0，﹣1），B2（﹣2，1），B3（1，﹣3）中，点A的“等差距点”是；（2）若点C是点A的等差距点，且点C在坐标轴上，求点C的坐标；（3）已知点D（0，d）的等差距点E在x轴上，且三角形AOD的面积大于三角形DOE的面积，直接写出d的取值范围．

2023-2024学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案BADCBCDD一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）实数4的算术平方根是（）A．16 B．2 C．﹣2 D．【分析】正数的算术平方根是指平方根中正的那一个．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．【点评】本题考查一个正数的算术平方根，关键是要掌握正数的算术平方根是指平方根中正的那一个．2．（2分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），则点P所在的位置是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据第一象限内点的坐标特点解答即可．【解答】解：∵3＞0，2＞0，∴点P（3，2）在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第一象限内点的坐标特点是解题的关键．3．（2分）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的定义结合具体图形中的∠1、∠2的位置进行判断即可．【解答】解：由“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”，结合各个选项中的∠1、∠2的位置可知，选项D中的，∠1和∠2是对顶角，其余均不是，故选：D．【点评】本题考查对顶角，掌握“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”是正确判断的关键．4．（2分）1.414，，π，，，0.121121112…（每两个2之间依次多一个1），这些数中，无理数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据无理数的定义判断即可．【解答】解：，，无理数有：π，，0.121121112…（每两个2之间依次多一个1），共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．5．（2分）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，若∠AOE＝2∠AOC，则∠BOD的度数为（）A．25° B．30° C．45° D．60°【分析】利用余角的关系，求得∠AOC，由对顶角相等，即可求得∠BOD．【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，即∠COA+∠AOE＝90°，∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOC+2∠AOC＝90°，∴∠AOC＝30°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD＝30°．故选：B．【点评】本是考查的是互余两角的关系，对顶角相等的问题．解题的关键就是会找互余的两个角、对顶角．6．（2分）估计的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围．【解答】解：∵，∴的值在4和5之间．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确把握最接近的有理数是解题关键．7．（2分）下列结论正确的是（）A．8的立方根是 B．没有立方根 C．算术平方根等于它本身的数是0 D．【分析】根据立方根性质逐项判断即可．【解答】解：A、8的立方根是2，原计算错误，不符合题意；B、的立方根是，原计算错误，不符合题意；C、算术平方根等于它本身的数还有1，原说法错误，不符合题意；D、，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根性质是关键．8．（2分）如图是北京地铁的部分运营线路图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示大兴新城站的点的坐标为（0，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣4，3）时，表示瀛海站的点的坐标为（6，﹣2）②当表示大兴新城站的点的坐标为（0，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣2，1.5）时，表示瀛海站的点的坐标为（3，﹣1）③当表示大兴新城站的点的坐标为（1，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣7，6）时，表示瀛海站的点的坐标为（12，﹣4）④当表示大兴新城站的点的坐标为（1.5，1.5），表示清源路站的点的坐标为（﹣2.5，4.5）时，表示瀛海站的点的坐标为（7.5，﹣0.5）上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④【分析】根据各结论所给两个点的坐标得出原点位置及单位长度，从而得出答案．【解答】解：①当表示大兴新城站的点的坐标为（0，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣4，3）时，表示瀛海站的点的坐标为（6，﹣2），故此选项符合题意；②当表示大兴新城站的点的坐标为（0，0），表示清源路站的点的坐标为（﹣2，1.5）时，表示瀛海站的点的坐标为（3，﹣1），故此选项符合题意；③当表示大兴新城站的点的坐标为（1，0），表示清源路站的点的坐标为（）时，表示瀛海站的点的坐标为（14，﹣4），故此选项不符合题意；④当表示大兴新城站的点的坐标为（1.5，1.5），表示清源路站的点的坐标为（﹣2.5，4.5）时，表示瀛海站的点的坐标为（7.5，﹣0.5），故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及每个小格的单位长度．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）请写出一个大于2的无理数：如（答案不唯一）．【分析】首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．【解答】解：大于2的无理数有：须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数．10．（2分）若点A（1+2a，4﹣a）在x轴上，则a的值为4．【分析】根据x轴上点的坐标特点得出关于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：∵点A（1+2a，4﹣a）在x轴上，∴4﹣a＝0，解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．11．（2分）若实数a，b满足，那么a+b的值是1．【分析】直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质，正确把握相关定义和性质是解题关键．12．（2分）如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是垂线段最短．【分析】根据垂线段最短求解即可．【解答】解：∵PB⊥MN，∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键．13．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，﹣2），若线段AB∥y轴，且AB＝2，则点B的坐标为（1，0）或（1，﹣4）．【分析】根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，知点B的横坐标为1，设点B（1，t），根据两点的距离公式列出方程，求解即可．【解答】解：∵线段AB∥y轴，且点A的坐标为（1，﹣2），∴点B的横坐标为1，设点B（1，t），又∵AB＝2，∴|t﹣（﹣2）|＝2，解得：t＝0或t＝﹣4．∴点B（1，0）或（1，﹣4）故答案为：（1，0）或（1，﹣4）．【点评】本题主要考查坐标与图形性质，熟记平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点横坐标相等是解题关键．14．（2分）如图，在四边形ABCD中，点F在AD的延长线上，点E在AB的延长线上，如果添加一个条件，使AB∥DC，那么可添加的条件为∠FDC＝∠A（答案不唯一）．（写出一个即可）．【分析】结合平行线的判定条件进行分析即可．【解答】解：当∠FDC＝∠A时，由同位角相等，两直线平行得AB∥DC；当∠ADC+∠A＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥DC；当∠C+∠ABC＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥DC；故答案为：∠FDC＝∠A（答案不唯一）．【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，3a+4）在第二象限，且到x轴和y轴的距离相等，则点A的坐标是（﹣1，1）．【分析】根据题意列出方程式﹣a＝3a+4，即可作答．【解答】解：∵点A（a，3a+4）在第二象限，且到x轴和y轴的距离相等，∴﹣a＝3a+4，∴a＝﹣1，∴3a+4＝﹣3+4＝1，∴点A的坐标是（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题主要考查点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．16．（2分）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数n的立方是59319，求这个正整数n．华罗庚脱口而出：39．华罗庚迅速求出立方根的过程如下：①由103＝1000，1003＝1000000，可以确定n是两位数；②由303＝27000，403＝64000，27000＜59319＜64000可知，n的十位数字是3；③考虑到1至9的立方中，只有9的立方个位数字是9，所以确定n的个位数字是9，所以n＝39．请你根据上述步骤求出140608的立方根是52．【分析】根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可．【解答】解：由103＝1000，1003＝1000000，可以确定n是两位数，由503＝125000，603＝216000，125000＜175616＜216000可知，n的十位数字是5，考虑到1至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方8，所以确定n的个位数字是2，即n＝52．故答案为：52．【点评】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：．【分析】根据绝对值的性质、乘方的意义、立方根和平方根定义，先算乘方和开方，再去绝对值符号，最后算加减即可．【解答】解：．【点评】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、乘方的意义、立方根和平方根定义．18．（5分）计算：．【分析】先去括号，再进行加减运算即可．【解答】解：＝2＝（2）+（2）．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．（5分）已知4（x﹣1）2＝100，求x的值．【分析】根据平方根的定义进行解题即可．【解答】解：4（x﹣1）2＝100，（x﹣1）2＝25，x﹣1＝±5，x＝6或x＝﹣4．【点评】本题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．20．（5分）如图，∠BAC＝∠BCA，AC平分∠DAB．求证：AD∥BC．【分析】由角平分线定义得到∠BAC＝∠DAC，而∠BAC＝∠BCA，得到∠DAC＝∠BCA，即可证明AD∥BC．【解答】证明：∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC．∵∠BAC＝∠BCA，∴∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC．【点评】本题考查平行线的判定，关键是由角平分线定义推出∠DAC＝∠BCA．21．（5分）已知正数m的两个不同平方根分别是2a+3和a﹣6，b﹣7的立方根是﹣2．（1）求a和正数m及b的值；（2）求3a+2b的算术平方根．【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数即可求出a的值，进而求出这个正数，由立方根的定义即可求出b的值；（2）把a、b的值代入代数式计算，然后再求其算术平方根即可．【解答】解：（1）∵正数m的两个不同平方根分别是2a+3和a﹣6，∴2a+3+a﹣6＝0，∴a＝1，∴2a+3＝5．∴m＝25．∵b﹣7的立方根为﹣2，∴b﹣7＝﹣8．∴b＝﹣1．∴a＝1，m＝25，b＝﹣1；（2）由（1）可知a＝1，b＝﹣1，∴3a+2b＝3×1+2×（﹣1）＝1，∴3a+2b的算术平方根为1．【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．22．（6分）如图，三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC上，BE平分∠ABC，AF∥DE交BE的延长线于点F，且∠1＝∠F．求证：∠C＝∠3．请将下面的证明过程补充完整，并在括号内写出推理的依据．证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠1＝∠2（角平分线的定义）．∵∠1＝∠F（已知），∴∠2＝∠F（等量代换），∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行）．∵AF∥DE（已知），∴BC∥DE（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等）．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠1＝∠2（角平分线的定义）．∵∠1＝∠F（已知），∴∠2＝∠F（等量代换），∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行）．∵AF∥DE（已知），∴BC∥DE（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等）．故答案为：角平分线的定义；2；F；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同位角相等．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．23．（5分）如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空：（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D；（4）∠CDB＝90°；（5）如果OA＝8，AB＝6，OB＝10，则点A到直线OB的距离为4.8．【分析】（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D；（4）利用两直线平行同位角相等即可确定答案；（5）利用等积法即可求得线段AC的长．【解答】解：（1）如图；（2）如图；（3）如图；（4）∵CD∥OA，∴∠CDB＝∠OAB＝90°；（5）AC4.8．【点评】本题考查了基本作图的知识，正确的根据题意作出图形是解答本题的关键，难度不大．24．（6分）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中．（1）写出点A的坐标；（2）将三角形ABC向下平移3个单位长度，向右平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请画出平移后的图形；（3）直接写出三角形A′B′C′的面积；（4）若点P在y轴上，且三角形OAP的面积等于三角形ABC的面积，直接写出点P的坐标．【分析】（1）由图可得答案．（2）根据平移的性质作图即可．（3）利用割补法求三角形的面积即可．（4）设点P的坐标为（0，m），由题意可列方程为5，求出m的值，即可得出答案．【解答】解：（1）由图可得，A（﹣2，4）．（2）如图，三角形A′B′C′即为所求．（3）三角形A′B′C′的面积为10﹣2﹣3＝5．（4）设点P的坐标为（0，m），∵三角形A′B′C′的面积为5，∴三角形ABC的面积为5．∵三角形OAP的面积等于三角形ABC的面积，∴5，解得m＝5或﹣5，∴点P的坐标为（0，5）或（0，﹣5）．【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．25．（6分）已知：如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．那么CD与AB的位置关系如何？为什么？【分析】根据平行线的判定与性质可得，∠3＝∠BCD，继而得HF∥CD，又FH⊥AB于H，即∠FHB＝90°，可得∠CDB＝∠90°，即CD⊥AB．【解答】解：CD⊥AB．理由：∵∠1＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2＝∠BCD，∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠BCD，∴HF∥CD，∵FH⊥AB于H，即∠FHB＝90°，∴∠CDB＝∠90°，即CD⊥AB．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．26．（6分）如图，三角形DEC是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，点A（3，5），点B（2，﹣2），点D（﹣3，5），点M（m，n）为线段AB上一动点，点M经过这种变换后得到点N．（1）点E的坐标为（﹣2，﹣2，点N的坐标为（用m，n表示）（﹣m，n）；（2）直线MN与线段BC，EC分别交于点P和点Q，线段BC与x轴交于点F，连接OP，OQ，ON，OF，当OP平分∠QOF，且OP⊥ON时，求证：∠PQO＝2∠NOQ．【分析】（1）根据点的签完字写出坐标；（2）证明QO＝QP，QO＝QN，可得结论．【解答】（1）解：E（﹣2，﹣2），N（﹣m，n）；故答案为：（﹣2，﹣2），（﹣m，n））；（2）证明：∵OP平分∠QOF，∴∠QOF＝2∠QOP．∵OP⊥ON，∴∠NOP＝90°，∴∠NOQ+∠POQ＝90°，∴∠POQ＝90°﹣∠NOQ．∵M（m，n），N（﹣m，n），∴MN∥x轴，∴∠PQO+∠QOF＝180°，∴∠PQO+2∠QOP＝180°，∴∠PQO+2（90°﹣∠NOQ）＝180°，∴∠PQO＝2∠NOQ．【点评】本题考查几何变换的类型，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，掌握轴对称变换的性质．27．（7分）如图1，AB∥CD，若点E为平面内一动点（点E不在直线AD和直线CD上），连接ED，过点E作EF∥CD，且点F在点E的右侧．（1）当点E运动到如图2所示位置时，求证：∠A﹣∠DEF＝∠ADE；（2）直接用等式表示出∠A，∠ADE，∠DEF之间存在的所有数量关系．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等和角的关系解答即可；（2）可分为四种情况，依次画出情况，利用平行线的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC，∵EF∥CD，∴∠DEF＝∠EDC，∴∠A﹣∠DEF＝∠ADC﹣∠EDC，即∠A﹣∠DEF＝∠ADE．（2）解：当点E在AD左侧，且在CD上方，根据（1）可得∠A﹣∠DEF＝∠ADE；如图，当点E在AD右侧时，且在CD