2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列数中，无理数的是（）A．π B． C． D．3.14159262．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2分）下列各式中，正确的是（）A．2 B．9 C．±3 D．±±34．（2分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣2m+1＜﹣2n+1 C． D．m﹣n＜05．（2分）下列选项中是方程2x﹣y＝5的解的是（）A． B． C． D．6．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE+∠BOD＝90° C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD+∠BOD＝180°7．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．8．（2分）如图，直线a∥b，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠3的大小为（）A．60° B．70° C．80° D．90°9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，3），AB∥x轴，且AB＝4，则点B的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（﹣2，3） C．（2，﹣1）或（2，7） D．（﹣2，3）或（6，3）10．（2分）为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）．第1天第2天第3天第4天第5天低强度25002200200015001600高强度34004000450040002500休息00000小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（）A．若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步9800m B．若小李第4天休息，则他这5天最多跑步10400m C．小李这5天最少跑步6000m D．小李这5天最多跑步11000m二、填空题（共12分，每题2分）11．（2分）4的平方根是．12．（2分）关于x的方程kx﹣1＝2x的解为正数，则k的取值范围是．13．（2分）用一个a的值说明命题“如果a＞﹣3，那么a2＞9”是假命题，这个值可以是a＝．14．（2分）如图，小方同学位于玉渊潭公园，小程同学在小方北侧1800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为x米/分钟，小程的平均速度为y米/分钟，则根据题意可列方程组．15．（2分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝62°，则∠AEG＝°．16．（2分）在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次“跳马运动”．例如：如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是．①P进行一次“跳马运动”可能到达的点有8个；②P进行三次“跳马运动”后可以到达（1，0）；③P进行四次“跳马运动”后可以到达（3，0）．三、解答题（共68分，第17题5分，第18题8分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：．18．（8分）解下列方程组：（1）；（2）．19．（5分）解不等式组：，并求出它的整数解．20．（5分）完成下面的证明．已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．证明：∵CD⊥AB（已知），∴∠ADC＝（垂直的定义）．∴∠1+＝90°，∵∠1+∠2＝90°（已知），∴＝∠2（）．∴DE∥BC（）．21．（5分）如图，AB，CD相交于点O，∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，过点O作OM的垂线，点N，E是垂线上的点，点N在直线AB的上方，点E在直线AB的下方，连接线段MN．（1）依题意补全图形；（2）线段MN与MO长度的大小关系为：MNMO，（填“＞”“＝”或“＜”），依据是；（3）求∠AOE的大小．22．（5分）为庆祝建校110周年，“朝阳红”的同学们想利用“青年创客空间”的激光雕刻机制作一批文创产品，如图是他们设计的部分图案．已知图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A和点B分别是“正”和“志”上的点，点A的坐标为（﹣5，1），点B的坐标为（6，2）．（1）在图中画出平面直角坐标系xOy；（2）点C的坐标为；（3）平移图中的“正志”使点A与点C重合，在图中画出点B的对应点D的位置，点D的坐标为．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为（1，2），（﹣3，0），（2，﹣1）．（1）直接写出三角形ABC的面积；（2）点P是x轴上的点，若三角形AOP的面积是三角形ABC面积的一半，求点P的坐标．24．（5分）为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？25．（5分）小李同学探索的近似值的过程如下：∵面积为137的正方形的边长是且，∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积又∵S正方形＝137∴112+2×11•x+x2＝137，当x2＜1时，可忽略x2，得121+22x≈137，解得x≈0.73，∴（1）的整数部分为；（2）仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程）26．（6分）对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式是“k﹣关联”的．例如不等式x＞2和不等式x＜4是“1﹣关联”的．（1）请判断不等式x﹣1＜3和x﹣2≥1是否是“1﹣关联”的，并说明理由；（2）若3x﹣a＜0和x＞0是“1﹣关联”的，求a的最大值；（3）若不等式﹣x﹣1＜﹣2b和x+2b＜15是“b﹣关联”的，直接写出b的值．27．（7分）已知定点A，点M在点A的左侧，直线l在直线AM的下方，l∥AM，点P是这两条直线之间的一个动点，∠MAP＝α，点B在直线l上，满足∠APB＝60°．（1）如图1，当α＝15°时，∠1是线段PB与直线l的夹角，求∠1的大小；（2）过点P作平分∠APB的直线m，若直线m∥l，直接写出α的大小；若直线m与直线l相交于点Q，当∠PQB＝20°时，直接写出α的大小．28．（7分）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转30°得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系xOy中，对于该平面内的任意一点P，过点P分别作y轴，x轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为m与n，则称有序数对（m，n）为点P的坐标．对于任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）和常数k（k＞0），定义dk（P1，P2）＝|x1﹣x2|+k|y1﹣y2|为点P1与P2的“k﹣度量”．≈℃如图2，在斜坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（3，2），回答下列问题：（1）点A与点O的“度量”为；（2）已知点C（0，c），过点C作平行于x轴的直线l．当c＝﹣2时，直接写出直线l上与点O的“度量”为2的点的坐标；若直线l上存在与点O的“度量”为2的点，直接写出c的取值范围；（3）已知点，，若线段AB上存在点P，在线段MN上存在点Q，使得d1（P，Q）＝5，直接写出m的取值范围．

2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ADDBDCBCDD一、选择题（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列数中，无理数的是（）A．π B． C． D．3.1415926【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．π是无理数；B．，是整数，属于有理数；C．，是整数，属于有理数；D．3.1415926是有限小数，属于有理数．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．【解答】解：∵点（2，﹣1）的横坐标是正数，纵坐标是负数，∴点（2，﹣1）在第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标的特点是解本题的关键，第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）．3．（2分）下列各式中，正确的是（）A．2 B．9 C．±3 D．±±3【分析】根据开平方、完全平方，二次根式的化简的知识分别计算各选项，然后对比即可得出答案．【解答】解：A、2，故本选项错误；B、3，故本选项错误；C、3，故本选项错误；D、±3，故本选项正确；故选：D．【点评】此题考查了算术平方根的知识，属于基础题，解答本题的需要我们掌握开平方、完全平方的计算，难度一般．4．（2分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣2m+1＜﹣2n+1 C． D．m﹣n＜0【分析】利用不等式的性质，不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐项进行分析判断即可．【解答】解：A、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，原不等式不正确，不符合题意；B、∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，∴﹣2m+1＜﹣2n+1，正确，符合题意；C、∵m＞n，∴，原不等式不正确，不符合题意；D、∵m＞n，∴m﹣n＞0，原不等式不正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，关键是不等式性质的熟练应用．5．（2分）下列选项中是方程2x﹣y＝5的解的是（）A． B． C． D．【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．【解答】解：A、把代入方程得：左边＝﹣4﹣1＝﹣5，右边＝5，左边≠右边，不是方程的解；B、把代入方程得：左边＝0﹣5＝﹣5，右边＝5，左边≠右边，不是方程的解；C、把代入方程得：左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝5，左边≠右边，不是方程的解；D、把代入方程得：左边＝6﹣1＝5，右边＝5，左边＝右边，是方程的解，故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE+∠BOD＝90° C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD+∠BOD＝180°【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．【解答】解：A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD＝∠BOC，此选项正确；B、由EO⊥CD知∠DOE＝90°，所以∠AOE+∠BOD＝90°，此选项正确；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD，此选项错误；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD＝180°，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．7．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可．【解答】解：由不等式组得，再分别表示在数轴上为，故选B．【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．（2分）如图，直线a∥b，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠3的大小为（）A．60° B．70° C．80° D．90°【分析】先根据两直线平行同位角相等求出∠4的度数，再根据三角形外角性质求出∠5的度数，最后根据对顶角相等即可求出结果．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠4＝∠1＝120°，∵∠4＝∠2+∠5，∴∠5＝∠4﹣∠2＝120°﹣40°＝80°，∴∠3＝∠5＝80°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，对顶角相等，熟练掌握各知识点是解题的关键．9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，3），AB∥x轴，且AB＝4，则点B的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（﹣2，3） C．（2，﹣1）或（2，7） D．（﹣2，3）或（6，3）【分析】根据AB∥x轴，可得B点纵坐标，再根据AB＝4，可以得到可以得到B点位于A左右两边的两个坐标点．【解答】解：∵点A的坐标为（2，3），AB∥x轴，∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等为3，∵AB＝4，∴点B的横坐标为2﹣4＝﹣2或2+4＝6，∴点B的坐标为（﹣2，3）或（6，3），故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形，解题的关键是根据题意推理计算．10．（2分）为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）．第1天第2天第3天第4天第5天低强度25002200200015001600高强度34004000450040002500休息00000小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（）A．若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步9800m B．若小李第4天休息，则他这5天最多跑步10400m C．小李这5天最少跑步6000m D．小李这5天最多跑步11000m【分析】根据有理数运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A．选择“低强度”方案，5天共跑步：2500+2200+2000+1500+1600＝9800（m），结论正确，故不符合题意；B．第1天高强度，第2天休息，第3天高强度，第4天休息，第5天高强度，此时跑步最远：3400+4500+2500＝10400（m），结论正确，故不符合题意；C．第1天低强度，第2天休息，第3天低强度，第4天低强度，第5天休息，此时跑步最少：2500+2000+1500＝6000（m），结论正确，故不符合题意；D．第1天高强度，第2天低强度，第3天休息，第4天高强度，第5天低强度，此时跑步最远：3400+2200+4000+1600＝11200（m），结论错误，故符合题意；故选：D．【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算法则是关键．二、填空题（共12分，每题2分）11．（2分）4的平方根是±2．【分析】一个数x的平方等于a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4，∴4的平方根是±2，故答案为：±2．【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．12．（2分）关于x的方程kx﹣1＝2x的解为正数，则k的取值范围是k＞2．【分析】先解方程得x，再根据解是正数即x＞0列出不等式求解即可．【解答】解：∵方程kx﹣1＝2x的解为正数，∴x0，即k﹣2＞0，解得k＞2．故答案为：k＞2．【点评】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次不等式，比较简单．13．（2分）用一个a的值说明命题“如果a＞﹣3，那么a2＞9”是假命题，这个值可以是a＝1（答案不唯一）．【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果．【解答】解：当a＝1时，1＞﹣3，12＝1＜9，∴“如果a＞﹣3，那么a2＞9”是假命题，故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟知这些知识点是解题的关键．14．（2分）如图，小方同学位于玉渊潭公园，小程同学在小方北侧1800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为x米/分钟，小程的平均速度为y米/分钟，则根据题意可列方程组．【分析】根据小程同学在小方北侧1800米处的花园桥，两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程，可列方程组求解．【解答】解：根据题意得：，故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，看懂图示各种量的关系是关键．15．（2分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝62°，则∠AEG＝56°．【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠FEG，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝62°，∵沿EF折叠D到D′，∴∠FEG＝∠DEF＝62°，∴∠AEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°，故答案为：56．【点评】本题考查了平行线的性质，折叠性质，矩形的性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．16．（2分）在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次“跳马运动”．例如：如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是①②．①P进行一次“跳马运动”可能到达的点有8个；②P进行三次“跳马运动”后可以到达（1，0）；③P进行四次“跳马运动”后可以到达（3，0）．【分析】根据题中“跳马运动”的移动规则逐项进行分析判断即可．【解答】解：①由题可知P（0，0），进行一次跳马运动，首先沿任一坐标轴方向平移2个单位，可以到达（0，2），（0，﹣2），（﹣2，0），（2，0）四个点，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，以上4个点都有向上或向下2种情况，故可能到达的点有8个，故①正确；②P（0，0），可以先向下平移2各单位，再向右平移到（1，﹣2），再向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到（3，﹣1），第三次向左平移2个单位，再向上平移1各单位得到（1，0），故②正确；③按照规则如何移动四次都无法到达（3，0），故③错误，综上所述正确的有：①②，故答案为：①②．【点评】本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标移动规则是解题关键．三、解答题（共68分，第17题5分，第18题8分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：．【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，计算各项再计算计算加法即可．【解答】解：．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．18．（8分）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）利用代入消元法，进行计算即可解答；（2）利用加减消元法，进行计算即可解答．【解答】解：（1），把①代入②中得：3x+4x＝7，解得：x＝1，把x＝1代入①中得：y＝2，∴原方程组的解为：；（2），①×2得：2x﹣8y＝26③，②﹣③得：9y＝﹣27，解得：y＝﹣3，把y＝﹣3代入②中得：2x﹣3＝﹣1，解得：x＝1，∴原方程组的解为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．19．（5分）解不等式组：，并求出它的整数解．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到它的整数解．【解答】解：解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤4，故原不等式组的解集为2＜x≤4．故它的整数解为x＝3或4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．20．（5分）完成下面的证明．已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．证明：∵CD⊥AB（已知），∴∠ADC＝90°（垂直的定义）．∴∠1+∠CDE＝90°，∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠CDE＝∠2（同角的余角相等）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据CD⊥AB可得∠1+∠CDE＝90°，由∠1+∠2＝90°可得∠CDE＝∠2，即可求出DE∥BC．【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），∴∠ADC＝90°（垂直的定义）．∴∠1+∠CDE＝90°，∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠CDE＝∠2（依据1：同角的余角相等），∴DE∥BC（依据2：内错角相等，两直线平行）．故答案为：90°，∠CDE，∠CDE，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此题的关键是掌握平行线的判定定理的运用．21．（5分）如图，AB，CD相交于点O，∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，过点O作OM的垂线，点N，E是垂线上的点，点N在直线AB的上方，点E在直线AB的下方，连接线段MN．（1）依题意补全图形；（2）线段MN与MO长度的大小关系为：MN＞MO，（填“＞”“＝”或“＜”），依据是垂线段最短；（3）求∠AOE的大小．【分析】（1）根据题意的描述语言进行作图，即可作答；（2）根据垂线段最短解答即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）结合（1）的图，得比较MN与MO的大小为：MN＞MO，是因为垂线段最短；故答案为：＞，垂线段最短；（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，∴，∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．∴∠AOE＝180°﹣∠AON＝180°﹣65°＝115°．【点评】本题考查的是点到直线的距离，垂线的定义，角平分线的定义，掌握点到直线的距离是解题的关键．22．（5分）为庆祝建校110周年，“朝阳红”的同学们想利用“青年创客空间”的激光雕刻机制作一批文创产品，如图是他们设计的部分图案．已知图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A和点B分别是“正”和“志”上的点，点A的坐标为（﹣5，1），点B的坐标为（6，2）．（1）在图中画出平面直角坐标系xOy；（2）点C的坐标为（﹣2，﹣6）；（3）平移图中的“正志”使点A与点C重合，在图中画出点B的对应点D的位置，点D的坐标为（9，﹣5）．【分析】（1）根据A的坐标为（﹣5，1），点B的坐标为（6，2）建立直角坐标系即可；（2）根据坐标系直接写出点C的坐标即可；（3）根据点A与点C重合求出平移方式，即可得出点D的坐标．【解答】解：（1）根据点A的坐标为（﹣5，1），点B的坐标为（6，2）建立直角坐标系如下：（2）由直角坐标系可知C（﹣2，﹣6），故答案为：（﹣2，﹣6）；（3）∵平移图中的“正志”使点A与点C重合，∴图形向右平移3个单位，向下平移7各单位，则B（6，2）向右平移3个单位，向下平移7各单位，得到D（9，﹣5），故答案为：（9，﹣5）．【点评】本题考查了建立直角坐标系，写出直角坐标系中点的坐标，根据点的坐标求出平移方式，根据平移方式求出点的坐标，准确作出直角坐标系，是解题关键．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为（1，2），（﹣3，0），（2，﹣1）．（1）直接写出三角形ABC的面积；（2）点P是x轴上的点，若三角形AOP的面积是三角形ABC面积的一半，求点P的坐标．【分析】（1）利用网格求三角形面积即可；（2）根据点P是x轴上的点，先求出纵坐标，再根据三角形AOP的面积是三角形ABC面积的一半，求出两种情况的点P的横坐标即可．【解答】解：（1）；（2）∵P在x轴上，∴点P的纵坐标为0，∴，∴P的坐标为或．【点评】本题考查了利用网格求三角形面积，求直角坐标系中点的坐标．24．（5分）为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？【分析】（1）设每件甲种纪念品x元，每件乙种纪念品y元，根据“购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m件甲种纪念品，则购买（1000﹣m）件乙种纪念品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3800元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设每件甲种纪念品x元，每件乙种纪念品y元，根据题意得：，解得：．答：每件甲种纪念品3元，每件乙种纪念品2元；（2）设购买m件甲种纪念品，则购买（1000﹣m）件乙种纪念品，根据题意得：3m+2（1000﹣m）≤2800，解得：m≤800，∴m的最大值为800．答：最多可以购买甲种纪念品800件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（5分）小李同学探索的近似值的过程如下：∵面积为137的正方形的边长是且，∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积又∵S正方形＝137∴112+2×11•x+x2＝137，当x2＜1时，可忽略x2，得121+22x≈137，解得x≈0.73，∴（1）的整数部分为12；（2）仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程）【分析】（1）判断出，即可解答；（2）仿造示例画出图形，可得，即可解答．【解答】解：（1）∵，∴，∴的整数部分为12，故答案为：12；（2）示意图如图所示：∵面积为150的正方形边长为，且，∴设，其中0＜x＜1，根据示意图，可得图中正方形面积为，∵S正方形＝150，∴122+2×12x+x2＝150，当x2＜1时，可忽略x2，得：144+24x≈150，解得：x≈0.25，即．【点评】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键．26．（6分）对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式是“k﹣关联”的．例如不等式x＞2和不等式x＜4是“1﹣关联”的．（1）请判断不等式x﹣1＜3和x﹣2≥1是否是“1﹣关联”的，并说明理由；（2）若3x﹣a＜0和x＞0是“1﹣关联”的，求a的最大值；（3）若不等式﹣x﹣1＜﹣2b和x+2b＜15是“b﹣关联”的，直接写出b的值．【分析】（1）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断，即可求解；（2）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断出，即可求解；（3）分别解出两个不等式，由新定义进行判断出当b＝0时，﹣1＜x＜15，可判断b≠0，由新定义可得1≤b＜4，分类讨论①当b＝1时，②当b＝2时，③当b＝3时，即可求解．【解答】解：（1）是“1﹣关联”的，理由如下：由x﹣1＜3得，x＜4，由x﹣2≥1得，x≥3，∴3≤x＜4，∴同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有1个整数3，∴两个不等式是“1﹣关联”的；（2）解：由3x﹣a＜0得，，∵3x﹣a＜0和x＞0是“1﹣关联”的，∴和x＞0是“1﹣关联”的，∴，解得：3＜a≤6，∴a的最大值是6；（3）解：由﹣x﹣1＜﹣2b得，x＞2b﹣1，由x+2b＜15得，x＜15﹣2b，∵是“b﹣关联”的，∴当b＝0时，﹣1＜x＜15，此时是“15﹣关联”的，故矛盾，∴b≠0，∴b≥1，且b为整数，∴2b﹣1＜15﹣2b，解得：b＜4，∴1≤b＜4，①当b＝1时，1＜x＜13，此时有11个整数解，∴是“11﹣关联”的，不合题意，此情况不存在；②当b＝2时，3＜x＜11，此时有7个整数解，∴是“7﹣关联”的，不合题意，此情况不存在；③当b＝3时，5＜x＜9，此时有3个整数解，∴是“3﹣关联”的；综上所述：b的值为3．【点评】本题考查了新定义：两个不等式是“k﹣关联”的，求一元一次不等式组整数解；理解新定义，能根据新定义进行分类讨论是解题的关键．27．（7分）已知定点A，点M在点A的左侧，直线l在直线AM的下方，l∥AM，点P是这两条直线之间的一个动点，∠MAP＝α，点B在直线l上，满足∠APB＝60°．（1）如图1，当α＝15°时，∠1是线段PB与直线l的夹角，求∠1的大小；（2）过点P作平分∠APB的直线m，若直线m∥l，直接写出α的大小；若直线m与直线l相交于点Q，当∠PQB＝20°时，直接写出α的大小．【分析】（1）过P作PC∥AM，由平行的判定方法得l∥AM∥PC，由平行线的性质得∠APC＝∠MAP＝15°，∠1＝∠BPC，即可求解；（2）直线m∥l时，①当P在A的左侧时，由平行的判定方法得m∥AM，由平行线的性质即可求解；②当P在A的右侧时，同理可求解；当∠PQB＝20°时，①当P在A的左侧时，过P作PC∥AM，同理可求解；②当