2023-2024学年北京市海淀区中关村中学七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2023-2024学年北京市海淀区中关村中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．2．（3分）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±3．（3分）下列各数中，无理数是（）A． B．3.14 C． D．2π4．（3分）小明读了：“子非鱼，焉知鱼之乐乎？”后，利用电脑画出了鱼儿的各种形态，请问：图中所示的小鱼图案经过平移后得到的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝130°，则∠B的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°6．（3分）如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果∠BAC＝∠DCA，那么以下四个结论中错误的是（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ABD＝∠CDB D．∠BAD+∠ADC＝180°7．（3分）下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内三条直线a，b，c，如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补8．（3分）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣2），表示九龙壁的点的坐标为（8，2），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A．保和殿（0，2） B．养心殿（﹣2，3） C．武英殿（﹣7，﹣8） D．景仁宫（8，4）9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为3．若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（3，3）或（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）或（3，﹣3）10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），点B在y轴上，对于线段AB有如下四个结论：①线段AB的最小值是2；②线段AB的最大值是2；③线段AB可能经过点（2，0）；④线段AB可能经过点（1，3）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）的相反数是．12．（2分）点P（m﹣1，2m+4）在y轴上，则P点坐标是．13．（2分）如图，数轴上点A，B对应的实数分别是﹣1，2，点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是（写出一个即可）．14．（2分）如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是，理由是．15．（2分）在平面直角坐标系中，如果过点A（1，2）和点B的直线平行于x轴，且AB＝3，那么点B的坐标是．16．（2分）如图，直线a∥b，直线AB分别与直线a，b相交于点C和点B，过点C作射线CD⊥AB于C，若∠1＝57°，则∠2的度数是．17．（2分）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为．18．（2分）将1，，，，按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（7，3）所表示的数是；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是．三、解答题（本题共54分，第19-20题，每小题8分；第21-25题，每题5分；第26题6分；第27题7分）19．（8分）计算：（1）．（2）．20．（8分）求出下列等式中x的值：（1）4x2＝36；（2）（x﹣1）3+8＝﹣19．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（3，4），B（1，2），C（4，0），将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C′，且A′的坐标为（﹣1，2）．（1）点B′的坐标为，点C′的坐标为．（2）在平面直角坐标系中画出三角形A'B'C'，并写出一种平移方式：．22．（5分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．23．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，2），B（b，0），C（m，0），且．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）若三角形ABC的面积为6，求m的值．24．（5分）已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．25．（5分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记，（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．例如：（4，1）的一对“和谐数对”为和，（1）数对（9，5）的一对“和谐数对”是；（2）若数对（16，b）的一对“和谐数对”相同，则b的值为；（3）若数对（a，b）的一个“和谐数对”是（5，4），直接写出ab的值．26．（6分）已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点F，FG平分∠DFK，∠AEF＝α．（1）如图1，当α＝70°时，∠GFK＝°；（2）点P为射线FE上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．27．（7分）平面直角坐标系xOy中任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），小聪定义了P1，P2的“分解距离”，如下：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则|x1﹣x2|为点P1，P2的“分解距离”，即d（P，Q）＝|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则|y1﹣y2|为点P1，P2的“分解距离”，即d（P，Q）＝|y1﹣y2|．例如，点P（1，2），Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q的“分解距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3根据上面的材料，解决下列问题：（1）如图1，已知点A（2，1），B为平面内一个动点①则d（A，O）＝；②若点B（x，4﹣x）在第一象限，且点d（B，0）＝3，求点B的坐标；③动点B（x，y）满足d（A，B）＝r，所有动点B组成的图形面积为16，请直接写出r的值；（2）对于点C（﹣1，﹣1），点D（2，4），若有动点M（m，n），使得d（C，M）+d（D，M）＝5．请直接写出m的取值范围．

2023-2024学年北京市海淀区中关村中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BADBBADACD一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A． B． C． D．【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．2．（3分）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±【分析】根据算术平方根的定义解答．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．3．（3分）下列各数中，无理数是（）A． B．3.14 C． D．2π【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A.3，3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B.3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；C.2，﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；D.2π是无理数，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）等形式．4．（3分）小明读了：“子非鱼，焉知鱼之乐乎？”后，利用电脑画出了鱼儿的各种形态，请问：图中所示的小鱼图案经过平移后得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据平移的性质判断即可．【解答】解：B选项图形中，是由如图经过平移得到的图形，故选：B．【点评】本题考查了利用平移设计图案，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．5．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝130°，则∠B的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根据邻补角的定义及平行线的性质求解即可．【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠DCE＝130°，∴∠BCD＝50°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD＝50°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．6．（3分）如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果∠BAC＝∠DCA，那么以下四个结论中错误的是（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ABD＝∠CDB D．∠BAD+∠ADC＝180°【分析】根据平行线的判定定理及性质定理判断即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∠BAD+∠ADC＝180°，故A符合题意；B，C，D不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了平行线的判定及性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．7．（3分）下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内三条直线a，b，c，如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补【分析】根据对顶角相等、垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质判断即可．【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意；C、在同一平面内三条直线a，b，c，如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c，是真命题，不符合题意；D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．（3分）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣2），表示九龙壁的点的坐标为（8，2），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A．保和殿（0，2） B．养心殿（﹣2，3） C．武英殿（﹣7，﹣8） D．景仁宫（8，4）【分析】根据已知两个点的坐标得出原点位置及单位长度，从而得出答案．【解答】解：如图所示：保和殿（0，2），养心殿（﹣4，6），武英殿（﹣7，﹣6），景仁宫（4，8）．故保和殿的点的坐标正确．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置及单位长度是解题关键．9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为3．若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（3，3）或（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）或（3，﹣3）【分析】根据正方形的性质作出图形，结合图形直接得到答案．【解答】解：如图，由图象知，符合条件的点B的坐标为（3，3）或（﹣3，3）．故选：C．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对A、B的位置进行分类讨论，以防漏解．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），点B在y轴上，对于线段AB有如下四个结论：①线段AB的最小值是2；②线段AB的最大值是2；③线段AB可能经过点（2，0）；④线段AB可能经过点（1，3）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【分析】根据点到坐标轴距离的计算方法及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，依次对四个结论进行判断即可．【解答】解：∵点A（2，1），∴点A到y轴的距离为2，又∵点B在y轴上，∴线段AB的最小值是2．故①正确．显然线段AB无最大值，故②错误．∵点（2，1）和点（2，0）的横坐标相等，∴过这两个点的线段与y轴平行，又∵点B在y轴上，∴线段AB不可能经过点（2，0）．故③错误．∵过点（1，3）和（2，1）的直线函数解析式为y＝﹣2x+5，则当x＝0时，y＝5，∴当点B坐标为（0，5）时，线段AB经过点（1，3）．故④正确．故选：D．【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知点到坐标轴距离的计算方法及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）的相反数是．【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．12．（2分）点P（m﹣1，2m+4）在y轴上，则P点坐标是（0，6）．【分析】根据y轴上点的坐标特点得出关于m的方程，求出m的值，进而可得出P点坐标．【解答】解：∵点P（m﹣1，2m+4）在y轴上，∴m﹣1＝0，解得m＝1，∴2m+4＝2+4＝6，∴P（0，6）．故答案为：（0，6）．【点评】本题考查的是点的坐标，熟知y轴上点的横坐标等于0是解题的关键．13．（2分）如图，数轴上点A，B对应的实数分别是﹣1，2，点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据所写无理数的取值范围可得答案．【解答】解：在﹣1和2之间的无理数可以是、、π﹣2等，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查实数与数轴，会估算无理数的大小是解题关键．14．（2分）如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是PB，理由是垂线段最短．【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线的性质即可得到结论．【解答】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故答案为：PB，垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段最短，熟记垂线的性质是解题的关键．15．（2分）在平面直角坐标系中，如果过点A（1，2）和点B的直线平行于x轴，且AB＝3，那么点B的坐标是（﹣2，2）或（4，2）．【分析】根据AB所在直线平行于x轴，点A的坐标为（1，2），可知点B的纵坐标为2．然后分两种情况讨论①当点B在点A的左边；②当点B在点A的右边．【解答】解：∵AB所在直线平行于x轴，点A的坐标为（1，2），∴点B的纵坐标为2．①当点B在点A的左边时，∵点B到点A的距离为3，∴点B的横坐标为1﹣3＝﹣2．∴点B的坐标为（﹣2，2）．②当点B在点A的右边时，∵点B到点A的距离为3，∴点B的横坐标为1+3＝4．∴点B的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（﹣2，2）或（4，2）．故答案为（﹣2，2）或（4，2）．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行于坐标轴的两点的横纵坐标特点：平行于横轴时纵坐标相等，平行于纵轴时横坐标相等．16．（2分）如图，直线a∥b，直线AB分别与直线a，b相交于点C和点B，过点C作射线CD⊥AB于C，若∠1＝57°，则∠2的度数是33°．【分析】根据平行线的性质可得求出∠3＝57°，根据垂线定义可得∠DCB＝90°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝57°，∵CD⊥AB，∴∠DCB＝90°，∴∠2＝∠DCB﹣∠3＝33°，故答案为：33°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．17．（2分）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为（4，240°）．【分析】直接利用坐标的意义得出C点坐标即可．【解答】解：如图所示：船C的位置应表示为（4，240°）．故答案为：（4，240°）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．18．（2分）将1，，，，按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（7，3）所表示的数是；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是2．【分析】（7，3）表示第7排从左向右第3个数，表示按1，，•••排列后的第1+2+3+4+5+6+3＝24个数，由24＝5×4+4，得（7，3）表示按1，，排列后的第4个数，即；先求（5，2）表示．同理可得（20，17）也表示，故（5，2）与（20，17）标的两数之积是2．【解答】解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，表示按1，，•••排列后的第1+2+3+4+5+6+3＝24个数，由24＝5×4+4，得（7，3）表示按1，，排列后的第4个数，即．故答案为：．（5，2）表示第5排从左向右第2个数，表示按1，，•••排列后的第1+2+3+4+2＝12个数，由12＝5×2+2，得（5，2）表示按1，，排列后的第2个数，即．同理可得（20，17）也表示，故（5，2）与（20，17）标的两数之积是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了数列，解题关键是正确应用找到的规律．三、解答题（本题共54分，第19-20题，每小题8分；第21-25题，每题5分；第26题6分；第27题7分）19．（8分）计算：（1）．（2）．【分析】（1）根据立方根、绝对值、二次根式的性质与化简分别计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）＝22；（2）．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．20．（8分）求出下列等式中x的值：（1）4x2＝36；（2）（x﹣1）3+8＝﹣19．【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答即可．【解答】解：（1）4x2＝36，x2＝9，∴x＝±3；（2）（x﹣1）3+8＝﹣19，（x﹣1）3＝﹣27，x﹣1＝﹣3，∴x＝﹣2．【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（3，4），B（1，2），C（4，0），将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C′，且A′的坐标为（﹣1，2）．（1）点B′的坐标为（﹣3，0），点C′的坐标为（0，﹣2）．（2）在平面直角坐标系中画出三角形A'B'C'，并写出一种平移方式：将三角形ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A'B'C'．【分析】（1）由题意可得，三角形ABC是向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形A'B'C'，即可得点B'，C'的坐标．（2）根据点A'，B'，C'的坐标，描点再连线即可；根据平移的性质可得答案．【解答】解：（1）∵A（3，4），A′（﹣1，2），∴三角形ABC是向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形A'B'C'，∴点B′的坐标为（﹣3，0），点C′的坐标为（0，﹣2）．故答案为：（﹣3，0）；（0，﹣2）．（2）如图，三角形A'B'C'即为所求．平移方式：将三角形ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A'B'C'（答案不唯一）．故答案为：将三角形ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的三角形A'B'C'．【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．22．（5分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．【分析】根据邻补角的性质得到∠BOC＝180°，由角平分线的性质得到∠COE＝70°，根据邻补角的性质可求出答案．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE∠BOC＝70°，∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝110°．【点评】本题考查的是邻补角和角平分线的定义，掌握邻补角的和等于180°和角平分线的定义是解题的关键．23．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，2），B（b，0），C（m，0），且．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）若三角形ABC的面积为6，求m的值．【分析】（1）因为（b+1）2＝0，所以a﹣2＝0，b+1＝0，解得a、b的值，即得点A，B的坐标；（2）已知三角形ABC的面积为6，A（2，2），B（﹣1，0），C（m，0），可得2×|m﹣（﹣1）|＝6，可解得m的值．【解答】解：（1）∵（b+1）2＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴A（2，2）、B（﹣1，0）；（2），如图，AB在3×2的网格中，∵三角形ABC的面积为6，A（2，2），B（﹣1，0），C（m，0），∴2×|m﹣（﹣1）|＝6，解得：m＝5或m＝﹣5．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形ABC的面积yA×BC是本题的关键．24．（5分）已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．【分析】推出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠1＝∠DAB，∠2＝∠DAC，推出∠DAB＝∠DAC即可．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝∠EFC＝90°，∴AD∥EF，∴∠1＝∠DAB，∠2＝∠DAC，∴∠DAB＝∠DAC，即AD平分∠BAC．【点评】本题考查了垂直定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．25．（5分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记，（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．例如：（4，1）的一对“和谐数对”为和，（1）数对（9，5）的一对“和谐数对”是（，）和（，）；（2）若数对（16，b）的一对“和谐数对”相同，则b的值为；（3）若数对（a，b）的一个“和谐数对”是（5，4），直接写出ab的值或．【分析】（1）根据新定义即可得出结论；（2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论；（4）根据新定义，分情况列方程组，解出即可得出结论．【解答】解：（1）∵m，n，∴数对（16，5）的一对“和谐数对”是（，）和（，），故答案为：（，）和（，）；（2）∵数对（16，b）的一对“和谐数对”相同，∴，∴b；故答案为：；（3）∵数对（a，b）的一个“和谐数对”是（5，4），∴或，解得或，∴ab或．故答案为：或．【点评】本题考查新定义，二次根式，解方程（组），理解和应用新定义是解本题的关键．26．（6分）已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点F，FG平分∠DFK，∠AEF＝α．（1）如图1，当α＝70°时，∠GFK＝55°；（2）点P为射线FE上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．【分析】（1）由平行线的性质得∠KFC＝∠FEA＝α，由平角的定义得∠AFK＝110°再由角平分线的定义求解即可；（2）①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②分当PN∥FG时和当PM∥FG时两种情况讨论即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠KFC＝∠FEA＝α，∵α＝70°，∴∠KFC＝70°，∴∠DFK＝180°−70°＝110°，∵FG平分∠DFK，∴∠GFK∠DFK＝55°，故答案为：55；①过点P作PQ∥AB，如图，则PQ∥AB∥CD，∴∠AMP+∠MPQ＝180°，∠QPM＝∠BMP，∵PN⊥PM，∴∠MPN＝90°，即∠MPQ+∠QPN＝90°，∴∠QPN＝90°−∠QPM＝90°−∠BMP，∵∠PNC+∠NPQ＝180°，∴∠PNC+（90°−∠BMP）＝180°，∴∠PNC−∠