苏科版初中数学八年级下册：可化为一元一次方程的分式方程及其应用教案

苏科版初中数学八年级下册：可化为一元一次方程的分式方程及其应用教案

一、教案基本信息

项目

内容

学科

数学

学段/年级

初中八年级下册

教材版本

苏科版（江苏科学技术出版社）

课题名称

可化为一元一次方程的分式方程及其应用（第二课时）

课时安排

1课时（45分钟）

设计理念

以发展学生数学核心素养（运算能力、模型观念、应用意识）为导向，遵循“问题情境-建立模型-求解验证-应用拓展”的学科认知规律。强调数学与现实的联系，通过结构化、序列化的任务驱动，引导学生在深度探究与合作辨析中掌握分式方程应用题的解题通法，感悟数学建模思想，提升解决复杂实际问题的能力。

二、教学指导思想与理论依据

本节课设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“方程与不等式”主题的要求，强调在真实、复杂的情境中建立方程模型。理论支点包括：

1.建构主义学习理论：知识不是被动接受的，而是学习者在原有经验基础上，通过与环境互动主动建构的。教学通过创设认知冲突（如增根的现实意义）、提供“脚手架”（如解题策略清单），促进学生主动探究与意义建构。

2.认知负荷理论：通过将解题过程结构化、策略化，将工作记忆资源集中于问题分析和等量关系建立等核心认知活动，降低因程序混乱导致的无关认知负荷，提升学习效率。

3.深度学习理论：超越机械套用解题步骤，引导学生深度理解分式方程作为数学模型的内涵（刻画相等关系），探究解的分步检验（去分母、实际问题意义）的必要性，并实现方法迁移与创新应用。

三、教学背景分析

（一）教材分析

本节课是在学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式概念及其基本性质、可化为一元一次方程的分式方程的解法（第一课时）基础上的深化与应用。苏科版教材将分式方程的应用安排为第二课时，旨在使学生掌握利用分式方程解决实际问题的完整流程。教材例题通常涵盖工程问题、行程问题等典型情境，但新课程理念要求教学不能局限于类型题的简单模仿，而应突出数学建模的一般过程和对解的合理性进行双重检验的思维严谨性。本节课是连接分式方程知识与复杂现实世界的桥梁，也是培养学生应用意识与模型观念的关键节点。

（二）学情分析

已有基础：

1.知识层面：掌握了整式方程的解法，理解了分式的基本性质，初步学会了可化为一元一次方程的分式方程的解法步骤（包括检验增根）。

2.能力层面：具备一定的从文字语言中提取数学信息的能力，对工程问题、行程问题中的基本数量关系（工作量=工作效率×工作时间，路程=速度×时间）有一定了解。

3.思维层面：初步具备方程思想，知道利用方程可以解决一些实际问题。

可能困难：

1.在复杂或非标准化的文字情境中，准确识别并表达数量关系，特别是如何用分式表示未知量（如“提前完成”、“提高效率后”等动态变化）。

2.对分式方程的解进行“双重检验”的必要性理解不深，容易遗漏对解是否符合实际意义的检验。

3.面对新颖情境时，如何类比迁移已有的建模经验，建立等量关系存在思维障碍。

4.解题步骤不清晰，书写不规范，易在去分母环节出错。

（三）教学重难点分析

1.教学重点：

1.2.从实际问题中抽象出分式方程模型的完整过程，特别是寻找和表达等量关系。

2.3.规范、熟练地求解分式方程，并对解进行双重检验（数学检验和实际意义检验）。

3.4.归纳总结利用分式方程解决应用问题的一般策略和步骤。

5.教学难点：

1.6.在情境多变、条件隐含的实际问题中，准确、灵活地建立等量关系。

2.7.深刻理解分式方程可能产生增根的根源（去分母导致定义域扩大），并自觉进行检验。

3.8.将具体的解题经验提炼、升华为具有普适性的数学建模思想。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.能熟练分析实际问题中的数量关系。

2.会利用分式方程刻画工程、行程、销售等类型问题中的等量关系，并正确列出方程。

3.能规范、准确地解所列分式方程，并会对解进行双重检验，给出合理解释。

4.能用清晰、准确的数学语言表述解题过程。

（二）过程与方法

1.经历“审、设、列、解、验、答”的完整解题过程，体会数学建模的基本思想与方法。

2.通过合作探究与辨析，发展分析问题、寻找等量关系的能力。

3.通过对比归纳，形成解决分式方程应用问题的策略性知识。

（三）情感、态度与价值观

1.在解决贴近生活的实际问题中，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心。

2.在克服困难、纠正错误的过程中，养成严谨、细致、实事求是的科学态度。

3.通过小组合作与交流，培养团队协作精神和勇于表达、乐于倾听的品质。

五、教学策略与方法

1.主要教学策略：情境导入策略、探究式教学策略、支架式教学策略、合作学习策略。

2.教学方法：

1.3.问题驱动法：以核心问题链贯穿课堂，驱动学生思考与探究。

2.4.范例教学法：通过典型例题的精讲与变式，揭示解题通法。

3.5.讨论辨析法：针对易错点、难点组织讨论，在思维碰撞中深化理解。

4.6.归纳总结法：引导学生对解题过程、方法、思想进行自主归纳与提炼。

六、教学资源准备

1.教师：多媒体课件（包含问题情境动画、动态图示、解题步骤提示卡等）、实物投影仪。

2.学生：导学案、练习本、双色笔。

七、教学过程设计与实施

（一）创设情境，问题导学（预计时间：5分钟）

【学生活动】

1.观看课件展示的“学校绿化改造工程”情境短片，并阅读导学案上的文字描述：“我校计划对一块草坪进行改造。若由甲工程队单独施工，恰好能在规定工期完成；若由乙工程队单独施工，则需超过规定工期3天才能完成。现学校决定先由甲队单独工作2天后，剩下的工程再由两队合作完成，结果恰好按规定工期完工。你能求出规定的工期是多少天吗？”

2.独立思考，尝试理解问题背景，初步感知其中的数量关系。

3.产生认知需求：如何用数学工具解决这个看似复杂的时间规划问题？

【教师活动】

1.呈现真实、贴近学生生活的工程问题情境，激发探究兴趣。

2.引导学生复述问题，明确已知条件和未知量（规定工期）。

3.提问引导：“这个问题和我们以前用一元一次方程解决的问题有什么不同？涉及的‘工作效率’、‘工作时间’、‘工作量’之间有什么关系？当两队合作或先后工作时，总工作量如何表示？”

4.揭示课题：今天我们就运用分式方程这一有力工具，来解决这类含有“合作”、“先后”等复杂关系的实际问题。

【设计意图】从真实情境出发，制造认知冲突，让学生体会学习分式方程应用的必要性。复习工程问题的基本数量关系，为后续建模做好铺垫。

（二）探究建模，策略建构（预计时间：18分钟）

【核心任务一】分析数量关系，尝试建立模型

【学生活动】

1.自主探究（3分钟）：在导学案上独立完成：

1.2.设：设规定工期为x

x

x天。

2.3.表：用含x

x

x的代数式表示：

1.3.4.甲队单独完成所需天数：______

2.4.5.乙队单独完成所需天数：______

3.5.6.甲队的工作效率（每天完成的工作量）：______

4.6.7.乙队的工作效率：______

5.7.8.甲队先工作2天完成的工作量：______

6.8.9.剩余的工作量：______

7.9.10.两队合作的工作效率：______

8.10.11.两队合作的工作时间：______（用含x的代数式表示）

12.小组合作（5分钟）：

1.13.组内交流各自的代数式表示结果，相互纠错、解释。

2.14.共同讨论并确定本题的“等量关系”是什么？（提示：从“结果恰好按规定工期完工”这句话中找。）

3.15.尝试根据等量关系列出方程。

16.全班展示与辨析（5分钟）：

1.17.小组代表上台（或通过投影）展示本组的代数式表示和所列方程。可能出现不同列法，如：

方程1：2

x

+

(

1

x

+

1

x

+

3

)

(

x

−

2

)

=

1

\frac{2}{x}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3})(x-2)=1

x2​+(x1​+x+31​)(x−2)=1

方程2：x

−

2

x

+

x

−

2

x

+

3

=

1

−

2

x

\frac{x-2}{x}+\frac{x-2}{x+3}=1-\frac{2}{x}

xx−2​+x+3x−2​=1−x2​

2.18.其他小组提问、质疑、补充。

3.19.重点辨析：等量关系“甲做的工作量+甲乙合作完成的工作量=总工作量（1）”的不同代数表达形式，理解其本质一致性。

【教师活动】

1.巡视指导，关注学生设未知数是否合理、代数式表示是否准确，特别是“乙队天数”表示为“x+3”，“合作工作效率”表示为“1/x+1/(x+3)”。

2.参与小组讨论，适时点拨，引导学生抓住“总工作量为1”和“恰好按期完工”这两个关键点寻找等量关系。

3.组织全班交流，聚焦不同列法背后的相同等量关系，强调数学模型建立的多样性及本质统一性。利用课件动态演示工作量分割的过程，帮助学生直观理解。

4.策略小结（板书）：

1.5.审：仔细读题，明确已知、未知，识别问题类型（工程问题）。

2.6.设：直接设元（设规定工期x天）。

3.7.表：用含未知数的代数式表示其他相关量（工作效率、部分工作量等）。这是建模的核心和难点！

4.8.列：找出等量关系，列出方程。

【设计意图】将复杂的应用题分解为“设、表、列”三个关键步骤，搭建思维“脚手架”。通过小组合作与全班辨析，让学生暴露思维过程，在互动中自主构建正确的数量关系网络，深刻理解建模过程。

【核心任务二】规范求解，双重检验

【学生活动】

1.独立求解（3分钟）：从小组认可的方程中选择一个，在导学案上独立完成解方程的过程。

2.检验与互评（2分钟）：

1.3.完成解方程后，同桌交换导学案。

2.4.按照“检验步骤清单”互评：①是否去分母化为整式方程？②解整式方程是否正确？③是否将解代入最简公分母检验？④是否检验解是否符合实际意义（如天数是否为正整数）？

3.5.标记出对方的错误或存疑步骤。

【教师活动】

1.投影展示一份规范的解题过程样本，强调步骤完整、书写清晰。

2.重点讲解与提问：

1.3.去分母时，方程两边同乘以最简公分母x

(

x

+

3

)

x(x+3)

x(x+3)，注意每一项都要乘，特别是整数项“2”。

2.4.解出整式方程的解x

=

6

x=6

x=6后，追问：“x

=

6

x=6

x=6一定是原分式方程的解吗？为什么必须检验？”

3.5.引导学生从两方面阐述检验必要性：一是数学上，去分母可能产生增根（当x

=

0

x=0

x=0或x

=

−

3

x=-3

x=−3时，公分母为零）；二是实际意义上，工期必须是正数。

4.6.板书检验过程：经检验，x

=

6

x=6

x=6是原方程的解，且符合题意。

7.策略续接（板书）：

1.8.解：准确解分式方程。

2.9.验：双重检验（数学检验→是否增根；实际检验→是否合理）。

3.10.答：完整作答。

【设计意图】将“解、验、答”步骤规范化、程序化。通过互评强化检验意识，特别是“双重检验”的不可或缺性，培养学生严谨的思维习惯和负责任的学习态度。

（三）变式应用，能力进阶（预计时间：15分钟）

【变式探究一】行程问题中的分式方程

问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等。江水的流速是多少？

【学生活动】

1.独立审题，识别为行程问题，回顾顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。

2.类比工程问题的解题策略，独立完成“审、设、表、列”。

1.3.设：江水流速为v

v

v千米/时。

2.4.表：顺流速度______，逆流速度______；顺流时间______，逆流时间______。

3.5.列：等量关系是______=______。

6.列出方程并快速求解、检验。同桌互相检查结果。

【教师活动】

1.引导学生对比此问题与例题的异同（类型不同，但建模步骤、数学结构相似）。

2.提问：“这里的等量关系是‘时间相等’，还可以是别的吗？”（如“速度差固定”等，拓展思路）。

3.关注学生能否正确表示顺、逆流速度，以及根据“时间=路程/速度”列出分式方程。

4.简单点评，强调不同问题类型中基本数量关系的准确应用。

【设计意图】实现从工程问题到行程问题的横向迁移，巩固建模步骤，检验学生对策略的掌握情况。强调对基础数量关系的熟练运用。

【变式探究二】情境拓展与开放性思考

问题：某工厂计划生产一批零件，如果每天比原计划多生产20个，那么提前5天完成任务；如果每天比原计划少生产20个，那么推迟10天完成。原计划每天生产多少个零件？

【学生活动】

1.小组合作讨论。这道题情境与之前有何不同？（涉及“比原计划多/少”，是生产问题，核心是“总工作量=日均产量×天数”）

2.共同分析：

1.3.可以设什么为未知数？（原计划每天生产x

x

x个）

2.4.原计划天数如何表示？（设总零件数为N

N

N，则原计划天数为N

/

x

N/x

N/x）——出现两个未知数。

3.5.能否只设一个未知数？等量关系是什么？（总零件数不变）

6.尝试列出方程。可能会出现：N

x

+

20

=

N

x

−

5

\frac{N}{x+20}=\frac{N}{x}-5

x+20N​=xN​−5和N

x

−

20

=

N

x

+

10

\frac{N}{x-20}=\frac{N}{x}+10

x−20N​=xN​+10。如何消去N

N

N？

7.深入思考：通过两个方程都可以表示N

N

N，从而建立关于x

x

x的方程。或者，直接利用总工作量相等，列出方程：(

x

+

20

)

(

N

x

−

5

)

=

(

x

−

20

)

(

N

x

+

10

)

=

N

(x+20)(\frac{N}{x}-5)=(x-20)(\frac{N}{x}+10)=N

(x+20)(xN​−5)=(x−20)(xN​+10)=N，从中消去N

N

N求解x

x

x。

【教师活动】

1.这是一个挑战性任务，教师提供“思维路标”：①本题中有哪些不变的量？（总零件数）②变化的量是什么？（日产量、天数）③如何用未知数表示“原计划天数”？

2.引导学生发现设一个未知数（原计划日产量x

x

x）后，表示“原计划天数”需要引入中间量（总零件数N

N

N），但最终可以通过等量关系“总零件数不变”消去N

N

N，得到关于x

x

x的分式方程。

3.鼓励小组展示不同的列方程思路，比较优劣。重点展示如何从两个变动情况中利用“总工作量相等”列出方程并联立或转化。

4.渗透“设而不求”或“引入辅助元”的数学思想。

【设计意图】设置更具综合性和思维挑战性的问题，打破类型题的套路。引导学生面对复杂情境时，依然紧扣“寻找不变量”、“表达变量关系”这一建模核心，提升分析能力和思维灵活性。引入辅助未知数，为后续学习做铺垫。

（四）归纳反思，体系内化（预计时间：5分钟）

【学生活动】

1.对照板书和导学案，独立梳理本节课学习的主要内容：

1.2.解决分式方程应用题的一般步骤是什么？（“审、设、表、列、解、验、答”）

2.3.每一步的关键点和注意事项是什么？（重点反思“表”和“验”）

3.4.解决工程、行程等问题的核心数量关系是什么？

5.完成导学案上的“反思驿站”：

1.6.我今天掌握得最好的步骤是______。

2.7.我觉得最容易出错的地方是______，原因是______。

3.8.通过今天的学习，我体会到数学建模的关键是______。

9.小组内交流分享反思心得。

【教师活动】

1.引导学生回顾板书，形成知识和方法的结构化网络。

2.提炼升华：强调分式方程是解决涉及“分式关系”的实际问题的有效模型，其应用核心在于“用代数式表示数量关系”和“寻找等量关系”。检验是保证模型有效的必要环节。

3.进行课堂总结性评价，肯定学生的探索精神和思维成果。

【设计意图】引导学生进行自主归纳与反思，将零散的知识点和方法整合成系统化的策略体系。通过反思性提问，促进元认知发展，深化对数学建模思想的理解。

（五）分层作业，拓展延伸

【必做题】

1.教材课后练习中与例题难度相当的2-3道分式方程应用题。

2.整理本节课的错题和经典例题，写出解题思路分析。

【选做题】

1.（实践探究）请你根据生活中的一个现象或问题（如：家庭购物折扣比较、往返学校的平均速度等），自己编一道可以用分式方程解决的应用题，并给出解答。

2.（思维挑战）查阅资料，了解分式方程在物理学（如并联电阻）、化学（如溶液浓度）中的简单应用实例，尝试理解其中的等量关系。

【设计意图】分层作业满足不同层次学生的发展需求。必做题巩固基础，选做题引导实践应用和跨学科视野拓展，激发深度学习兴趣。

八、板书设计

（左边主板书区）

可化为一元一次方程的分式方程及其应用

一、一般步骤（策略）

审→设→表→列→解→验→答

（核心）（关键）

二