命题点7等腰三角形的性质和判定(必考)

第四章三角形课标要求①理解等腰三角形的概念.②探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底

边上的高线、中线及顶角平分线重合.③探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三

角形.④探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.⑤探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是

60°的等腰三角形)是等边三角形.命题点7等腰三角形的性质和判定(必考)要点归纳

1.

等腰三角形和等边三角形项目等腰三角形等边三角形概念有两条边相等的三角形叫作等腰三角形三边都相等的三角形叫作

等边三角形性质(1)两腰相等，两底角相等(简称

“等边对等角”)；(2)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简称“三线合一”)；(3)是轴对称图形，有一条对称轴(1)三边相等；(2)三个内角相等，都等于

60°；(3)是轴对称图形，有三条

对称轴项目等腰三角形等边三角形判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(依据“等角对等边”)(1)三边相等的三角形是等边三

角形；(2)三个角都相等的三角形是等

边三角形；(3)有一个角等于60°的等腰三

角形是等边三角形面积S＝

ah(a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高)S＝

a2(a为等边三角形的边长)2.

平行线＋角平分线产生的等腰三角形(1)如图1，在△ABC中，EF∥BC，BD平分∠ABC，CD平分

∠ACB，则△BED和△CFD均为等腰三角形，且△AEF的周长＝AE＋

AF＋EF＝AB＋AC；(2)如图2，在△ABC中，DE∥AB，DF∥AC，BD平分∠ABC，CD

平分∠ACB，则△BED和△CFD均为等腰三角形，且△DEF的周长＝

DE＋DF＋EF＝BC.

3.

等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时，如果不知道已知的边是腰

还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角，就需要分类讨论.(1)已知等腰三角形的两边长分别为a，b(a≠b)，求周长C时，分两种

情况：①若腰长为a且2a＞b，则周长C＝2a＋b；②若腰长为b且2b＞a，则周长C＝2b＋a.

4.

在三角形中证明两线段相等或两角相等的常用方法(1)如果求证的线段或角在同一个三角形中，首先考虑用“等边对等角”

或“等角对等边”来证明；(2)如果求证的线段或角不在同一个三角形中，考虑通过等腰三角形“三

线合一”或全等三角形来证明.命题点7等腰三角形的性质和判定(必考)随堂检测

1.

已知等腰三角形的其中两边长分别为4

cm，9

cm，则这个等腰三角形

的周长为(

D

)A.5

cmB.13

cmC.17

cmD.22

cm解析：∵等腰三角形的一边长为4

cm，一边的长为9

cm，∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9，当三边为4，4，9时，4＋

4＜9，三角形不存在，无法计算周长；当三边为4，9，9时，9＜4＋9，三角形存在，故周长为9＋9＋4＝22（cm）.D2.

如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝

30°，AC∥EF，CA＝CF，连接AF，则∠BAF的度数是(

A

)A.127.5°B.135°C.120°D.105°A

3.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在边AB上，连接

CD.

有以下4种说法：①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形；②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形；④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形.其中错误的是

.(填序号)③解析：如图：①∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵DC＝DB，∴△BCD是等边三角形，∴①正确；②∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵AD＝CD，∴∠ACD＝30°，∠DCB＝90°－30°＝60°，∴∠CDB＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴②正确；③当DA＝DC时，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∠DCB＝90°－30°＝60°，∴∠CDB＝60°，∴△BCD为等边三角形，当AC＝AD时，易得△BCD不为等边三角形，∴③错误；④