小学五年级奥数讲义30讲全

小学五年级奥数讲义30讲全总序：打开奥数的奇妙大门亲爱的同学们，当你们翻开这本讲义的时候，一段充满挑战与乐趣的数学之旅就要开始了。奥数，并非高不可攀的悬崖，而是一片藏着许多奇珍异宝的数学花园。它不需要你有超人的智商，但需要你有探索的好奇心、坚韧的毅力和灵活的思维。五年级的奥数学习，将帮助我们把课本上学到的基础知识进行拓展和深化，让我们学会用更巧妙的方法去分析问题、解决问题。在这个过程中，你们会发现数学不再是枯燥的数字和公式，而是充满逻辑之美、智慧之趣的伙伴。希望这份讲义能成为你们探索数学世界的一把钥匙，开启你们对数学的热爱。记住，重要的不是记住每一个公式，而是理解每一种思路，培养独立思考的能力。准备好了吗？让我们一起出发，去发现奥数的奇妙吧！---第一讲：奇妙的运算技巧——速算与巧算初步引言：告别“死算硬算”，让计算“飞”起来在数学学习中，我们每天都要和计算打交道。如果能掌握一些巧妙的计算方法，不仅能提高计算速度，还能减少错误，让计算变得轻松有趣。这一讲，我们就来学习几种常见的速算与巧算技巧，让你的计算能力“更上一层楼”。一、“凑整”思想——让复杂变简单“凑整”是速算巧算中最常用的方法之一。它的核心思想是，通过观察数字的特点，将能够凑成整十、整百、整千的数先结合起来进行计算，从而简化运算过程。1.加法凑整：利用加法交换律和结合律，将尾数互补的数相加。*例如：计算34+56+66我们发现34和66相加能凑成100，所以可以先算34+66=100，再算100+56=156。*小技巧：记住一些常见的互补数对，如1和9，2和8，3和7，4和6，5和5等。2.减法凑整：当减数接近整十、整百时，可以先把它看作整十、整百数来减，然后根据“多减了要加，少减了要减”的原则进行调整。*例如：计算234-9898接近100，我们可以先算234-100=134，因为多减了2（100-98=2），所以要再加上2，即134+2=136。二、“基准数”法——化零为整的智慧当算式中的多个数都接近某一个数时，我们可以把这个数定为“基准数”，然后将每个数与基准数的差累计起来，再加上基准数乘以数的个数。*例如：计算28+31+32+29+30这几个数都接近30，可以把30当作基准数。原式=30×5+(-2+1+2-1+0)=150+0=150。三、例题精讲例1：计算125×32×25分析与解答：看到125和25，我们自然会想到125×8=1000，25×4=100。而32恰好可以拆分成8×4。所以，125×32×25=125×(8×4)×25=(125×8)×(4×25)=1000×100=____。例2：计算999+99+9+3分析与解答：每个数都接近整千、整百、整十数。我们可以把3拆分成1+1+1，分别加到前面的数上凑整。999+99+9+3=(999+1)+(99+1)+(9+1)=1000+100+10=1110。四、巩固练习1.计算：47+58+53+422.计算：1000-456-2443.计算：125×16×54.计算：51+48+53+47+50---第二讲：数字的奥秘——数列与数表初步引言：探寻数字排列的规律在数学的世界里，数字常常按照一定的规律排列起来，形成有趣的数列或数表。学会观察和发现这些规律，不仅能锻炼我们的观察力和思维能力，还能帮助我们解决许多看似复杂的问题。今天，我们就一起来探索数列和简单数表的奥秘。一、认识数列数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为第一项，也叫首项；排在第二位的数称为第二项，以此类推，最后一项也叫末项。1.等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。*例如：1，3，5，7，9，…（公差是2）*例如：10，8，6，4，2，…（公差是-2，也叫递减数列）2.等差数列的相关公式：*第n项=首项+(n-1)×公差*项数=(末项-首项)÷公差+1*等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2（这个公式也叫高斯求和公式）二、简单数表数表是由数字排列成的表格，常见的有方阵、三角形数表等。解决数表问题，关键是找到数字排列的周期性或递变规律。*例如：观察下面的数表，第5行第3个数是多少？12345678910...我们发现第几行就有几个数。前4行共有1+2+3+4=10个数，所以第5行的第3个数是10+3=13。三、例题精讲例1：已知等差数列5，9，13，17，…，请问：（1）这个数列的第15项是多少？（2）85是这个数列的第几项？分析与解答：（1）首项是5，公差是9-5=4。第15项=5+(15-1)×4=5+14×4=5+56=61。（2）项数=(85-5)÷4+1=80÷4+1=20+1=21。所以85是第21项。例2：计算1+3+5+7+...+99分析与解答：这是一个首项为1，末项为99，公差为2的等差数列。首先求项数：(99-1)÷2+1=98÷2+1=49+1=50项。和=(1+99)×50÷2=100×50÷2=2500。四、巩固练习1.已知等差数列3，7，11，15，…，第20项是多少？2.数列2，5，8，11，…，其中101是第几项？3.计算10+20+30+...+1004.观察下面的数表，第6行第4个数是多少？135791113151719...---第三讲：有趣的数阵图引言：让数字在图中“站队”数阵图是一种非常有趣的数学游戏，它要求我们把一些数字按照一定的规则填在特定形状的图形中，使每条线上或每个区域内的数字之和相等。这不仅需要我们会计算，更需要我们开动脑筋，寻找规律，进行合理的尝试。一、辐射型数阵图（如：三角形、五角星、十字形等）特点：有一个中心数，其余数字分布在几条射线上。解题关键：1.确定中心数（如果题目未给出）。中心数往往是重叠使用次数最多的数。2.计算每条线的数字和（幻和）。3.根据幻和和已知数字，填出其他数字。*例如：将1-7这七个数字填入下图的圆圈内，使每条直线上的三个数之和都等于12。（图：一个中心圆，三条直线交于中心圆，每条直线上还有两个圆）设中心数为a，三条直线上的数字总和为3×12=36。这个总和也等于1-7的和再加上中心数a的2倍（因为中心数被算了3次，多算了2次）。1+2+3+4+5+6+7=28。所以28+2a=36，解得a=4。然后每条直线上另外两个数的和是12-4=8。在剩下的数字1,2,3,5,6,7中，1+7=8，2+6=8，3+5=8。分别填入即可。二、封闭型数阵图（如：三角形、四边形、多边形等）特点：数字分布在封闭的图形边上，每个顶点的数字会被两条边共用。解题关键：1.设出顶点数字（通常是重叠数）。2.根据每条边上的数字和相等列出关系式。3.结合数字范围进行试填。*例如：将1-6这六个数字填入下图的三角形顶点及边上的圆圈内，使每条边上的三个数之和都相等。（图：一个三角形，三个顶点各一个圆，每条边中点各一个圆）设三个顶点的数字分别为a,b,c，每条边的和为S。三条边的总和为3S=(1+2+3+4+5+6)+(a+b+c)=21+(a+b+c)。所以21+(a+b+c)必须是3的倍数，即a+b+c是3的倍数。a,b,c是1-6中的三个不同数字，最小和是1+2+3=6，最大和是4+5+6=15。所以a+b+c可以是6,9,12,15。然后分别尝试，比如取a=1,b=2,c=3，则S=(21+6)/3=9。那么各边上中间的数分别是9-1-2=6，9-2-3=4，9-3-1=5。正好是4,5,6，符合要求。三、例题精讲例：将1-9这九个数字填入下图的九个圆圈内，使每条边上四个数的和都等于20。（图：一个三角形，三个顶点各一个圆，每条边上还有两个圆，共3+3×2=9个圆）分析与解答：设三个顶点的数字分别为a,b,c（它们是重叠数，每个用两次）。三条边的总和为3×20=60。这个总和等于1-9的和加上a+b+c，即45+(a+b+c)=60。所以a+b+c=15。在1-9中，三个数相加等于15的组合有很多，比如1,5,9；1,6,8；2,4,9；2,5,8；2,6,7；3,4,8；3,5,7；4,5,6等。我们可以尝试其中一组，比如a=2,b=5,c=8(2+5+8=15)。那么，顶点为2和5的边上，另外两个数的和是20-2-5=13。从剩下的数字1,3,4,6,7,9中选两个和为13的，比如4和9(4+9=13)。顶点为5和8的边上，另外两个数的和是20-5-8=7。剩下数字1,3,6,7中，1+6=7。顶点为8和2的边上，另外两个数的和是20-8-2=10。剩下数字3,7，3+7=10。这样就得到一种填法：顶点2,5,8；边2-4-9-5，5-1-6-8，8-3-7-2。（答案不唯一）四、巩固练习1.将1-5这五个数字填入十字形的五个圆圈内（中心一个，上下左右各一个），使每条直线上的三个数之和相等。2.将1-8这八个数字填入正方形的八个顶点圆圈内，使每条边上的三个数之和都等于15。---第四讲：和差问题引言：已知两数和与差，求这两数在我们的日常生活中，经常会遇到已知两个数的和以及它们的差，求这两个数各是多少的问题。这类问题看似简单，但也需要我们掌握一定的方法和技巧，才能快速准确地解答。这就是我们今天要学习的“和差问题”。一、基本数量关系已知两个数的和为`S`，差为`D`，求这两个数`大数`和`小数`。*大数=(和+差)÷2*小数=(和-差)÷2或者，小数=和-大数，大数=和-小数。理解：如果我们把小数加上差`D`，那么小数就和大数相等了。这时，总和就变成了`S+D`，相当于两个大数的和。所以，大数=(S+D)÷2。同理，如果把大数减去差`D`，就和小数相等了，总和变成`S-D`，相当于两个小数的和，所以小数=(S-D)÷2。二、解题步骤1.找出题目中的“和”与“差”：有些题目会直接给出和与差，有些则需要通过分析条件间接得出。2.确定哪一个是大数，哪一个是小数（有时不影响计算）。3.代入公式计算：根据上述基本数量关系求出大数和小数。4.验算：将结果代入原题，看是否满足和与差的条件。三、例题精讲例1：五（1）班共有学生